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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式知识

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 疱工巧解牛 知识?巧学 一、倍角公式 1.公式的推导:倍角公式是和角公式的特例,只要在和角公式中令 α =β ,就可得出相应的倍 角公式. sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ 2 2 2 ? ?? ?令 ? ?? ? ?? ?令 ? ?? 2 sin2α =2sinα cosα 2 2 ; 由 于 cos2α =cos α -sin α . 2 2 sin α +cos α =1 , 显 然 , 把 sin α =1-cos α 代 入 cos2α =cos α 2 2 2 2 2 cos2α =cos α -sin α =cos α -(1-cos α )=2cos α -1. 2 2 同理,消去 cos α ,得 cos2α =1-2sin α . tan(α +β )= -sin α , 得 tan? ? tan ? 2 tan? ? ?? ?令 ? ?? tan 2? ? . 1 ? tan? ? tan ? 1 ? tan2 ? 综上,我们把公式 叫做二倍角公式. 2.二倍角公式中角 α 的范围 由 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 可 知 S2α 、 C2α 中 的 角 α tan2α = 是 任 意 的 , 但 公 式 T2α 即 2 tan ? 中的角是有条件限制的. 1 ? tan 2 ? 有意义,需满足 1-tan α ≠0 且 tanα 有意义 . 当 tanα 2 要使 tan2α α ≠ 有意义时, ? ? 2 +kπ (k∈Z);当 1-tan α ≠0,即 tanα ≠±1 时,α ≠± +kπ (k∈Z).综上,可知要 2 4 ? ? ? 使 T2α 有意义,需 α ≠± +kπ 且 α ≠ +kπ (k∈Z).特别地,当 α = +kπ (k∈Z)时,虽 4 2 2 然 tanα 的值不存在,但 tan2α 的值是存在的,这时求 tan2α 的值,可用诱导公式进行,即 tan2( ? +kπ )=tan(π +2kπ )=tanπ =0. 2 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的, 它的角 α 除了使解析式有意义外, 还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的 二倍角公式不仅仅可用于将 2α 作为 α 的 2 倍的情况,对于两个角的比值等于 2 的情况 都成立,如 8α 是 4α 的二倍角,4α 是 2α 的二倍角,3α 是 3? ? ? 的二倍角, 是 的二倍 2 2 4 1 角, ? ? 是 的二倍角等. 3 6 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时,无论正用还是逆用, 都可直接使用这一公 式 . 例 sin ? 3 ? 2 sin ? 6 cos ? 6 , cos ? 3 ? cos 2 ? 6 ? sin 2 ? 6 ? 2 cos 2 2 ? 6 -1=1-2sin 2 2 ? ; 6 ; sin3α ·cos3α = 1 1 (2sin3α cos3α )= sin6α 2 2 1 3? 3? 1 2 tan 35 ? sin cos ? sin 3? ; =tan70°等. 2 2 2 4 1 ? tan 2 35 ? ; cos 2α -sin 2α =cos4α 4.倍角公式的几种变形形式 2 2 (sinα ±cosα ) =1±sin2α ;1+cos2α =2cos α ; 1-cos2α =2sin α ;cos α = 2 2 ? 2? ,1-cosα =2sin 称为升幂换半角公式,利用该公式 2 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 消去常数项,便于提取公因式化简三角函数式;把 cos α = ,sin α = 称 2 2 学法一得 我们常把 1+cosα =2cos 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ;sin α = . 2 2 为降幂换倍角公式,利用该公式能使之降次,便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出 了 α 的三角函数与 2α 的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用, 还应会逆用和变用. 5.倍角公式与和角公式的内在联系 只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式, 才能及时捕捉到有价值的信息, 完成问题的解答. 典题?热题 知识点一 直接应用倍角公式求值 例 1 求下列各式的值: 3 3 2 tan 22 .5? ? ? ? ? sin 15? ;(3) cos cos . ;(4) sin 2 14 7 24 24 12 1 ? tan 22 .5? 1 解:(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°= . 2 (1)2sin15°sin105°;(2) (2)原式= 3 3 3 3 3 3 2 ? ? (1-2sin 15°)= cos30°= . 14 14 14 2 28 1 2 tan 22.5? 1 1 1 ? ? tan 45 ? ? ? 1 ? . . 2 2 1 ? tan 22.5? 2 2 2 1 ? ? 1 ? 1 1 1 cos ? sin ? ? ? . (4)原式= sin 2 12 12 4 6 4 2 8 (3)原式= 方法归纳 倍角公式中的角是相对的,对它应该有广义上的理解,即 ? 2 n ? 2 sin ? 2 n ?1 cos ? 2 n ?1 2 (n∈N ), cos * ? 2 n ? cos 2 ? 2 n ?1 ? sin 2 ? 2n ? 1 (n∈N ), tan * ? 2 n ? 2 tan ? 2 n?1 1 ? tan2 ? (n∈N ). * 2 n?1 知识点

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