等比数列知识点总结与典型例题 答案

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义： 2、通项公式： an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ，首项： a1 ；公比： q q an a ? q ? n?m n am am an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? ， q 称为公比 an?1 推广： an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项： （1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式： （1）当 q ? 1 时， Sn ? na1 （2）当 q ? 1 时， Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? an q 1? q a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' （ A, B, A ', B ' 为常数） 1? q 1? q 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的 n ，都有 an?1 ? qan或 an?1 ? q(q为常数，an ? 0) ? {an } 为等比数列 an （2）等比中项： an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 （3）通项公式： an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1 7、等比数列的性质： 1 （2）对任何 m, n ? N * ，在等比数列 {an } 中，有 an ? amqn?m 。 （3）若 m ? n ? s ? t (m,n, s ,t ?N *) ，则 an ? am ? as ? at 。特别的，当 m ? n ? 2k 时，得 an ? am ? ak 2 注： a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? 等差和等比数列比较： 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项 A? a n ?1 ? a n ? d 等比数列 a n ?1 ? q ( q ? 0) an a n ? a n ?1 q a n ? a n ?1 ? d ； a n ? a m?n ? md ； a n ? a m q n ?m a n ? a1 ? (n ? 1)d a n ? a1 q n?1 （ a1 , q ? 0 ） a n?k ? a n? k （ n, k ? N * , n ? k ? 0 ） 2 Sn ? n (a1 ? a n ) 2 G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) （ n, k ? N * , n ? k ? 0 ） 前 n 项和 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 ?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q ? ? 重要 性质 am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N *