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Recherches autour de la theorie de Markoff


Recherches autour de la th? eorie de Marko?

arXiv:math-ph/0307032v1 16 Jul 2003

Serge Perrine

R? esum? e. Le texte concerne des g? en? eralisations de l’? equation de Marko? en th? eorie des nombres, d? eduites des fractions continues. Il d? ecrit la m? ethode pour une r? esolution compl` ete de ces nouvelles ? equations, ainsi que leur interpr? etation en alg? ebre et en g? eom? etrie alg? ebrique. Cette approche alg? ebrique est compl? et? ee par un d? eveloppement analytique concernant les groupes fuchsiens. Le lien avec la th? eorie de Teichm¨ uller des tores perc? es est compl` etement d? ecrit, les classi?ant au moyen d’une th? eorie de la r? eduction. Des consid? erations plus g? en? erales au sujet des surfaces de Riemann, les g? eod? esiques et leur ? etude hamiltonienne sont cit? ees, de m? eme que des applications ` a la physique, au bruit en 1/f et a ` la fonction z? eta. Des id? ees relatives a ` d’importantes conjectures sont pr? esent? ees. On donne aussi des raisons pour lesquelles la th? eorie de Marko? appara? ?t dans di?? erents contextes g? eom? etriques, gr? ace a ` des r? esultats de d? ecomposition valables dans le groupe GL(2, Z).

Abstract. The text deals with generalizations of the Marko? equation in number theory, arising from continued fractions. It gives the method for the complete resolution of such new equations, and their interpretation in algebra and algebraic geometry. This algebraic approach is completed with an analytical development concerning fuchsian groups. The link with the Teichm¨ uller theory for punctured toruses is completely described, giving their classi?cation with a reduction theory. More general considerations about Riemann surfaces, geodesics and their hamiltonian study are quoted, together with applications in physics, 1/f -noise and zeta function. Ideas about important conjectures are presented. Reasons why the Marko? theory appears in di?erent geometrical contexts are given, thanks to decomposition results in the group GL(2, Z).

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”Tout voir, tout entendre, ne perdre aucune id? ee” Evariste Galois

”Saisir les propri? et? es des choses, d’apr` es leur mode d’existence dans l’in?niment petit” Discours de F? elix Klein sur Bernhard Riemann et son in?uence

”Sans l’esp? erance, on ne trouvera pas l’inesp? er? e, qui est introuvable et inaccessible” H? eraclite

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1. Remerciements Mes remerciements s’adressent ` a di?? erentes personnes sans lesquelles ce texte n’aurait jamais vu le jour, et ` a tous ceux qui m’ont aid? e pour sa mise en forme. Je pense en particulier aux personnes suivantes : - Georges Rhin qui tout au long de ces derni` eres ann? ees a pr? et? e attention aux di?? erents documents que je lui adressais p? eriodiquement. - Michel Planat avec qui une coop? eration r? eguli` ere et des discussions passionnantes autour d’observations physiques qu’il avait faites ont beaucoup soutenu ma curiosit? e pour la th? eorie de Marko?. Mon int? er? et pour ce sujet venait de consid? erations sur le codage de l’information. Mais voir appara? ?tre le spectre de Marko? dans les caract? eristiques physiques d’un oscillateur ` a v? erouillage de phase a consid? erablement relanc? e mes travaux. En observant le comportement d’oscillateurs construits sur mesure, pourrions-nous comprendre certaines parties de cette th? eorie restant encore ? enigmatiques, pourrions-nous inversement construire certains mod` eles de bruit utiles ` a la physique ? Ces questions ont orient? e mes travaux. - Michel Mend` es France et Michel Waldschmidt qui se sont ` a di?? erentes reprises int? eress? es ` a mes travaux, et m’ont fourni l’occasion de les perfectionner et de les exposer. Je les remercie tr` es chaleureusement de leurs encouragements et de leurs commentaires sans concession que j’ai toujours consid? er? es comme une source de progr` es. Je voudrais aussi remercier C? ecile et les enfants pour leur grande patience ` a supporter le temps consid? erable que j’ai pass? e sur ce travail.

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2. Pr? esentation g? en? erale Le but du pr? esent travail est d’exposer une d? emarche de recherche conduite autour de la th? eorie de Marko?, ainsi que les r? esultats qu’elle a fournis. Cette th? eorie est une branche de ce que Hermann Minkowski a appel? e la ”g? eom? etrie des nombres” [552][124]. Elle fournit une r? eponse partielle au probl` eme suivant : Une forme quadratique r? eelle ? etant donn? ee f (x, y ) = ax2 + bxy + cy 2 ∈ R[x, y ], quelle est la valeur minimale du nombre | f (x, y ) | lorsque x et y sont des entiers non tous deux simultan? ement nuls ? Pour une forme d? e?nie f (x, y ), c’est-` a-dire telle que ?(f ) = b2 ? 4ac < 0, ce probl` eme a ? et? e r? esolu par Joseph Louis Lagrange. Sa solution se d? eduit aussi d’un r? esultat plus g? en? eral de Charles Hermite [339] donnant : 1 ≤ √ = C (x2 + xy + y 2 ). 3 | ?(f ) | √ Il a aussi ? et? e d? emontr? e ([124] p.33) que pour tout nombre ρ ∈]0, (1/ 3)], on peut trouver une forme quadratique d? e?nie f (x, y ) ∈ R[x, y ] telle que : C (f ) = ρ = C (f ). Si la forme f (x, y ) est ind? e?nie, c’est-` a-dire telle que ?(f ) = b2 ? 4ac > 0, on sait depuis [443] que l’on a : 1 C (f ) ≤ √ = C (x2 ? xy ? y 2 ). 5 Pour les autres valeurs, on a [443] : 1 C (f ) ≤ √ = C (x2 ? 2y 2 ). 8 C’est pour mieux comprendre le cas ind? e?ni qu’Andrei A. Marko? a d? evelopp? e sa √ th? eorie [522]. Celle-ci identi?e l’in?nit? e des valeurs C (f ) comprises entre (1/ 5) et (1/3) et les trous sans constante qui les s? eparent. Ces valeurs sont isol? ees et convergent vers (1/3). Pour les valeurs inf? erieures ` a (1/3), il n’existait jusqu’` a une date r? ecente aucune approche comparable ` a la th? eorie de Marko?. Des r? esultats lacunaires existent sur des trous sans constante, mais la situation reste globalement m? econnue aujourd’hui encore. Une synth` ese de ce qui ? etait connu en 1988 a ? et? e r? ealis? ee par Thomas W. Cusick et Mary E. Flahive [180], au moment o` u l’auteur soutenait sa th` ese sur le m? eme sujet. La recherche men? ee depuis cette p? eriode s’est appuy? ee sur les deux derni` eres contributions cit? ees. Il s’agissait d’aller au del` a des r? esultats connus sur le sujet. On a trouv? e quelques r? esultats relatifs ` a de nouveaux trous du spectre, mais assez rapidement l’id? ee a germ? e de chercher ` a disposer d’une g? en? eralisation de la th? eorie de Marko? pour essayer d’en d? eduire des r? esultats analogues ` a ceux disponibles au dessus de (1/3). Parall` element la mise en ? evidence en physique, autour d’oscillateurs sp? eciaux, de valeurs physiques ? egales aux constantes C (f ) donn? ees par la th? eorie de Marko? a? et? e particuli` erement motivante. Cet accomplissement du ` a Michel Planat [635] a conduit ` a envisager la construction d’oscillateurs particuliers permettant de ”voir” la structure du spectre de Marko? en des endroits o` u sa structure est su?samment chaotique pour rester ` a ce jour m? econnue. L’exploration de ce sujet, et son lien possible avec une mod? elisation du bruit en (1/f ) qui reste ` a ce jour assez ? enigmatique, inf (x,y)∈Z2 ?{(0,0)} | f (x, y ) |

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est devenu progressivement un projet important. Construire dans ce contexte de nouvelles th? eories analogues ` a celle de Marko? est apparu utile On a donc mis au point des notations destin? ees ` a permettre l’appr? ehension de nouvelles th? eories plus g? en? erales que la th? eorie originale de Marko?. Cet objectif, entrevu a l’issue du travail de th` ese de l’auteur, n’avait pas d? ebouch? e` a ce moment sur des exemples signi?catifs et complets. La d? emarche a consist? e ` a comprendre comment construire de fa? con directe sur des suites de nombres entiers positifs un processus de cr? eation arborescente qui fournisse toujours des suites attach? ees ` a une m? eme ? equation diophantienne du type de celle de Marko?. A cet ? egard, l’article [619] s’est av? er? e d? eterminant. Il a permis de disposer de ce mode de construction pour certaines suites assez g? en? erales, en faisant en sorte qu’elles restent attach? ees ` a l’? equation x2 + y 2 + z 2 = 4xyz ? x. On a ainsi pu disposer d’une th? eorie compl` ete permettant d’obtenir des constantes d’approximations convergentes vers la valeur (1/4) ainsi que quelques trous du spectre. Il est ensuite apparu que le mode de construction d? ecouvert laissait invariantes des ? equations de forme plus g? en? erale. A cette occasion le lien naturel qui existe avec les sommes de Dedekind [664] a ? et? e mis en ? evidence. Ceci a permis d’identi?er d’autres ? equations permettant de construire des constantes d’approximations qui convergent vers (1/3) comme dans la th? eorie de Marko? classique, mais cette fois par valeurs inf? erieures. On a ainsi pu obtenir des informations sur une partie totalement m? econnue du spectre. Un exemple complet a ? et? e d? etaill? e [625] concernant l’? equation x2 + y 2 + z 2 = 3xyz + 2x. Pour cette derni` ere, on a fourni toutes les solutions enti` eres dans N ou Z. Il est remarquable qu’` a la di?? erence de la th? eorie de Marko? classique, les solutions enti` eres positives se r? epartissent en deux classes, et non pas en une seule. On a montr? e cependant comment ces deux classes donnent naissance ` a un arbre unique de triplets de Cohn, pour lesquels la construction sur les suites d’entiers s’applique compl` etement. Les triplets de Cohn sont d? e?nis de fa? con g? en? erale par la condition x > y > z . Les constantes donn? ees par l’? equation pr? ec? edentes sont di?? erentes de celles mises en ? evidence dans la m? eme zone du spectre de Marko? par David J. Crisp et William Moran [177]. C’est ainsi que le mod` ele g? eom? etrique construit par Harvey Cohn ` a partir du demi-plan de Poincar? e H, prolong? e par l’? etude des g? eod? esiques ferm? ees du tore perc? e se coupant elles-m? emes [722], est devenu insu?sant pour d? ecrire la complexit? e du spectre de Marko? au voisinage de (1/3). Le projet a donc ? et? e fait de revisiter cette interpr? etation g? eom? etrique. Ceci a ? et? e men? e` a bien et a permis de comprendre la nature des ? equations que l’on identi?ait progressivement. Avant cela, dans [628] on a ? etendu le mode de construction arborescent de suites de nombres entiers positifs pour mettre en ? evidence d’autres ? equations de forme l? eg` erement plus g? en? erale donnant des constantes d’approximation dans le voisinage de (1/3) : x2 + y 2 + z 2 = 3xyz + sx, s > 0. Sur de telles ? equations, o` u s > 0, on a pu montrer dans [619] l’existence d’un nombre ?ni de classes de solutions. Le m? eme r? esultat est valable aussi pour s ≤ 0. Mais alors que dans un cas (s > 0) il convient d’introduire une notion de solution fondamentale pour obtenir ce r? esultat, dans l’autre cas (s ≤ 0) c’est une notion

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di?? erente de solution minimale qui permet de conclure. Au demeurant, ces derni` eres ? equations apparaissent li? ees entre elles compte tenu de l’expression des minima arithm? etiques des formes quadratiques binaires associ? ees. L’approche pr? ec? edente qui donne des valeurs C (f ) inf? erieures s’accumulant sur (1/3), c’est-` a-dire ` a nouveau dans la partie haute et m? econnue du spectre, a aussi ? et? e? etendue ` a d’autres situations. Ainsi un nouvel exemple de th? eorie de Marko? g? en? eralis? ee a ? et? e trait? e avec l’? equation x2 + y 2 + z 2 = 3xyz + yz ? 2x. Il a permis de donner une nouvelle interpr? etation ` a d’anciens travaux de Collin √ J. Hightower [342]. Le point d’accumulation correspondant est ? egal ` a 1/(1 + 5). On a aussi compris comment la connaissance d’une partie du spectre permettait d’obtenir des informations sur une partie plus √basse du spectre. Dans le dernier cas eterminante. cit? e, c’est la valeur maximale du spectre (1/ 5) qui est d? Au ?nal on a consid? er? e que la bonne g? en? eralisation de la th? eorie de Marko? u s1 et s2 ? etait relative ` a des ? equations diophantiennes not? ees M s1 s2 (a, ?K, uθ ), o` signes respectifs de ε1 et ε2 ∈ {?1, +1}, a ∈ N\{0}, ?K ∈ Z, uθ ∈ Z : x2 + ε2 y 2 + ε1 z 2 = (a + 1)xyz + (ε2 ?K )yz ? uθ x, x, y, z ∈ N\{0}. Une telle forme d’? equation recouvre celles ? evoqu? ees ci-dessus. Il a donc sembl? e que ce type d’? equation ? etait la bonne. Et en r? ealit? e on a pu montrer comment elles apparaissaient naturellement par un calcul relatif aux fractions continues. On a montr? e ? egalement qu’elles correspondent ` a une formule de trace ainsi qu’` a une propri? et? e remarquable de la fonction η de Dedekind [632]. Pour ces ? equations on a pu mettre au point une m? ethode g? en? erale de r? esolution qui s’apparente ` a la descente in?nie ch` ere aux arithm? eticiens. Elle fait jouer un r? ole essentiel au groupe du triangle T3 qui classe les solutions. On a aussi montr? e comment le recours ` a des triplets de Cohn permettait dans l’essentiel des cas de conclure ` a l’existence d’une classe contenant une in?nit? e de solutions, ainsi qu’un nombre ?ni de telles classes. Ce nombre de classes a d’ailleurs un lien avec le nombre de classes des corps quadratiques, mais le travail reste ` a faire pour mettre cette observation en ? etat pr? esentable. On a pu ? etudier de fa? con directe les surfaces ayant pour ? equation la forme que l’on vient de donner. Ces surfaces cubiques sont rationnelles, on en a donn? e une repr? esentation rationnelle. Coup? ees par un plan, elles donnent des courbes elliptiques dans de nombreux cas. Toutes les courbes elliptiques ` a coe?cients rationnels sont obtenues ainsi. Ceci permet d’avoir une id? ee quant ` a des ph? enom` enes pouvant a?ecter des courbes elliptiques di?? erentes port? ees par une m? eme surface cubique. Un sujet arithm? etique prometteur qui s’est ainsi d? egag? e concerne le lien entre les th? eories de Marko? g? en? eralis? ees et la structure des points entiers sur les courbes elliptiques [631]. Les r? e?exions dans ce dernier domaine ne sont pas achev? ees.On a ? egalement pu montrer que tout r? eseau complet d’un corps quadratique permet de construire une ? equation cubique du type pr? ec? edent. Ce r? esultat important donne un sens alg? ebrique aux ? equations que l’on ? etudie. Il permet facilement de comprendre ce que l’on vient d’indiquer sur le nombre de classes de solutions. Toutes les constructions qui pr? ec` edent ont aussi un support analytique commun analogue ` a celui d? ecouvert par Harvey Cohn pour la th? eorie de Marko? classique [144]. Pour mieux comprendre cette interpr? etation g? eom? etrique, on a ? etudi? e de fa? con directe les tores perc? es. Ceci a introduit une distinction entre les tores

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perc? es conformes paraboliques et hyperboliques. Le cas parabolique donne une g? en? eralisalisation tr` es satisfaisante de la th? eorie de Marko?, mettant en ? evidence des groupes fuchsiens dont on a ? etabli qu’ils sont libres ` a deux g? en? erateurs. Ce sont les groupes de Fricke qui sont ainsi tous obtenus, mais ils correspondent seulement ` a l’? equation de la th? eorie de Marko? classique qui les caract? erise tous. Pour le cas hyperbolique, on a pu construire un exemple original illustrant le fait d? ecouvert que les groupes fuchsiens correspondants ne sont pas libres. Comme les surfaces intervenant dans ce contexte, des tores perc? es, sont des quotients du demi plan de Poincar? e par un groupe fuchsien agissant sur lui, la th? eorie de Teichm¨ uller [706] constitue un cadre bien adapt? e pour appr? ehender le sujet. On l’a donc approfondie jusqu’` a en donner une pr? esentation qui montre clairement comment elle g? en? eralise la th? eorie de Marko?. La th? eorie de Teichm¨ uller d? ecrit les propri? et? es des di?? erentes structures conformes d? e?nissant une surface de Riemann donn? ee sur un m? eme support topologique. Elle d? etermine par r? eduction une structure cristalline pour laquelle on a donn? e quelques ? el? ements d’information dans l’ouvrage [632]. On a pu comprendre pourquoi il n’y a pas ` a consid? erer de tores perc? es elliptiques, ainsi que la nature du lien entre nos ? equations de Marko? g? en? eralis? ees et la th? eorie de Teichm¨ uller. On a aussi vu que tous les tores perc? es conformes paraboliques d? e?nis sur un m? eme tore topologique perc? e peuvent ? etre distingu? es par deux nombres r? eels positifs. Ce type de r? esultat est connu depuis les travaux de R. Fricke [144]. Mais les m? ethodes issues de la th? eorie de Marko? conduisent ` a se restreindre ` a un premier nombre, un module compris entre 1 et 2. Le module 1 correspond au tore perc? e d’un groupe dit de Klein. Le module 2 correspond au tore perc? e du groupe de Hecke [336]. On voit ainsi apparaitre de fa? con naturelle les deux tores ? etudi? es dans [144]. Tous les modules interm? ediaires correspondent ` a d’autres tores perc? es conformes paraboliques isomorphes en tant qu’espaces topologiques mais non en tant que surfaces de Riemann. Le fait que ces tores ne soient pas conform? ement ? equivalents a des cons? equences g? eom? etriques int? eressantes pour les classement des groupes fuchsiens associ? es. Ce r? esultat a ? et? e compl? et? e en montrant que tous les tores perc? es paraboliques sont class? es au moyen de deux param` etres r? eels, tous deux d? e?nis ` a partir de la seule ? equation de Marko? classique : x2 + y 2 + z 2 = xyz. Le module d? e?nit le domaine fondamental et un second param` etre r? eel dit accessoire d? ecrit la fa? con dont ses bords sont identi?? es. es naLes th? eories de Marko? des ? equations M s1 s2 (a, ?K, uθ ) conduisent tr` turellement ` a d? e?nir des g? en? erateurs A et B de groupes fuchsiens ` a deux g? en? erateurs. Elles donnent dans le cas parabolique les groupes de Fricke bien connus [681] [528]. On l’a d? emontr? e de fa? con rigoureuse. Les cas qui correspondent ` a des matrices A et B ` a coe?cients entiers ont ? et? e compl` etement d? ecrits. Il en r? esulte la possibilit? e de caract? eriser les tores perc? es paraboliques correspondants. La th? eorie de la r? eduction valable pour les nombres alg? ebriques de degr? e 2 s’? etend alors aux syst` emes g? en? erateurs de ces groupes de Fricke. Un r? esultat qui en d? ecoule [364] concerne la d? etermination des repr? esentations du groupe ` a deux g? en? erateurs F2 dans les groupes GL(2, Z). En approfondissant cette question, on a mis en ? evidence le lien avec le th? eor` eme de Dyer et Formanek [265]. Sa d? emonstration classique repose sur des propri? et? es des repr? esentations ρ : Aut(F2 ) ?→ GL(m, Z). Les th? eories de Marko? correspondantes donnent de telles repr? esentations issues du groupe ` a deux g? en? erateurs F2 dans le groupe GL(2, Z). Caract? eriser ces repr? esentations est

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essentiel et on a pu comprendre comment ceci revenait ` a consid? erer dans l’essentiel des cas des structures conformes sur des tores perc? es. Le lien esquiss? e` a cette occasion avec la th? eorie de noeuds m? eriterait d’? etre creus? e plus avant [99], comme si au del` a des noeuds toriques on pouvait introduire une nouvelle sous-cat? egorie de noeuds li? es aux tores perc? es. A partir de ces r? e?exions, on a surtout obtenu une meilleure connaissance du groupe GL(2, Z). Deux d? ecompositions ternaires qui semblent nouvelles ont ? et? e donn? ees dans [629] pour toute matrice de GL(2, Z). Ceci permet notamment de relier la th? eorie de Marko? classique ` a la structure du groupe du triangle T3 et de repr? esenter ce dernier dans GL(2, Z) ` a l’aide d’un groupe di? edral. Il est probable que tous les groupes ?nis donnent des r? esultats analogues et permettent de construire des structures arborescentes, et on conjecture que tous peuvent ? etre repr? esent? es dans GL(2, Z). L’auteur pense que l’on obtient par un tel proc? ed? e toutes ses g? en? eralisations de l’? equation de Marko?. Quelques r? esultats ont ? et? e obtenus en ce sens mais il ne sont pas encore pr? esentables. Une cons? equence importante qui pourrait en d? ecouler est la conjecture que tout groupe ?ni est obtenu comme groupe des classes d’un corps quadratique r? eel. Mais y a-t-il un lien entre ces derni` eres th? eories de Marko? et les g? eod? esiques des tores perc? es conformes associ? es ? En y r? e?? echissant l’auteur a envisag? e` a partir de cette question un domaine d’application pour ses g? en? eralisations de la th? eorie de Marko? au codage des g? eod? esiques des surfaces de Riemann [704]. Il a approfondi la dualit? e naturelle qui existe entre points et g? eod? esiques sur une telle surface. Malheureusement cette ? etude apparemment nouvelle n’a pas su?samment d? ebouch? e pour donner lieu ` a publication. On a cependant donn? e quelques ? el? ements au chapitre 7 de l’ouvrage [632]. La question particuli` ere de la caract? erisation des g? eod? esiques ferm? ees par des suites ?nies d’entiers qui les codent, puis construisent des propri? et? es alg? ebriques diverses, est tr` es int? eressante. Elle est aussi importante pour comprendre l’approche ergodique [722] [725] [704]. Les g? eod? esiques d? ependent de la structure conforme adopt? ee sur le tore topologique perc? e qui la porte. Les transformations conformes qui changent une g? eod? esique ferm? ee en une autre d? e?nissent des op? erations de transcodage sur les suites d’entiers associ? ees. Il y a l` a une perspective d’application dans le codage de l’information, en particulier le codage en ?ot (stream cyphering) et les g? en? erateurs pseudo-al? eatoires. Tout changement de g? eod? esique se traduit par une d? eformation de la structure alg? ebrique de ces suites. Les r? e?exions sur ce sujet ont ? et? e nombreuses, mais restent assez lacunaires. On a donn? e au chapitre 7 de [632] des pistes pour approfondir le probl` eme. On a en particulier rappel? e comment se d? eveloppe dans un tel contexte l’approche hamiltonienne de la m? ecanique, en mettant l’accent sur son caract` ere quasi fonctoriel. Quelques cons? equences en r? esultent pour la compr? ehension m? eme de ce que constituent le calcul math? ematique [259] et certains objets physiques. Un point qui tourne librement sur une g? eod? esique ferm? ee peut repr? esenter un syst` eme physique stable, donc observable. Les changements de solutions dans nos ? equations diophantiennes correspondent alors ` a des sauts quantiques dans l’? evolution d’un tel syst` eme selon des g? eod? esiques di?? erentes sur un tore perc? e. Cette id? ee donne une structuration quantique au syst` eme consid? er? e, structure que l’on peut esp? erer retrouver dans des syst` emes r? eels. On a un ph? enom` ene comparable sur les courbes elliptiques d’une m? eme surface donn? ee par nos ? equations. De l` a` a ? etendre la probl? ematique pour se poser des probl` emes de m? ecanique statistique et de th? eorie ergodique, il n’y a qu’un pas que les travaux de dynamique symbolique de

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Caroline Series [722] [725] ont depuis longtemps franchi. Le lien est aussi ? evident avec le probl` eme des ”petits diviseurs”, les r? esonances proches de fr? equences dans un mouvement quasi p? eriodique, et certains mod` eles de bruit en 1/f (voir [27] [854] [340] [221] [637]). Qui dit g? eod? esique ? evoque le calcul des vatiations d’Euler-Lagrange, la propagation des ondes, mais aussi le th? eor` eme KAM et les tores invariants. C’est ce dernier point qui est aussi ` a la base de l’int? er? et de di?? erents physiciens pour la th? eorie de Marko? [325]. Si un syst` eme physique ? evolue librement selon des trajectoires g? eod? esiques qui peuvent ? etre repr? esent? ees sur un tore, par identi?cation de deux mouvements p? eriodiques fondamentaux, et si un point de ce tore ne peut jamais ? etre atteint, une th? eorie de Marko? g? en? eralis? ee apparait naturellement. Les trois derniers th` emes que l’on vient d’? evoquer ne sont pas compl` etement ? epuis? es par les recherches r? esum? ees. Par contre elles ont aussi conduit ` a approfondir de fa? con tr` es syst? ematique le sujet de l’interpr? etation de Harvey Cohn de la th? eorie de Marko? classique. C’est ainsi qu’il a ? et? e? etabli qu’on rencontre cette th? eorie d` es qu’intervient le groupe GL(2, Z) des matrices 2 × 2 de d? eterminant ±1. La raison essentielle mise en ? evidence est l’existence dans GL(2, Z) d’un sous-groupe di? edral D6 ` a 12 ? el? ements non normal d? e?nissant intrins` equement un quotient ` a droite ` l’arbre complet de la th? eorie de Marko? (respectiveGL(2, Z)/?D6 qui s’identi?e a equipotent). Ce r? esultat assure l’ubiquit? e ment un quotient ` a gauche GL(2, Z)/D6 ? ? du groupe du triangle T3 = C2 ? C2 ? C2 produit libre de trois groupes cycliques ` a deux ? el? ements C2 dans des situations aussi diverses que les ?br? es vectoriels, les ordres des anneaux de quaternions, le topographe de Conway... [686] [354] [807] [165]. L’article [629] d? eveloppe cet aspect et a ? et? e repris en tant que chapitre 6 dans l’ouvrage [632]. Tout au long des travaux men? es on a conserv? e le souci d’une coh? erence globale. Il s’agissait de sortir du cadre trop contraignant de la seule ? equation de Marko? classique pour construire d’autres exemples mais en cherchant simultan? ement ` a comprendre comment appr? ehender le ”chaos” du spectre des constantes d’approximation des nombres alg? ebriques de degr? e 2. On voulait ? egalement permettre de maitriser les applications ` a la physique. Ces deux pr? eoccupations ont constitu? e les ?ls conducteurs de la d? emarche d? evelopp? ee tout au long de ces derni` eres ann? ees. C’est ainsi que l’on a recherch? e et ?nalement trouv? e un op? erateur di?? erentiel intrins` equement li? e` a la th? eorie de Marko? classique, la question restant ouverte de calculer son spectre et de le comparer au spectre de Marko?. La m? ethode utilis? ee pour le construire est transposable aux ? equations M s1 s2 (a, ?K, uθ ). Elle a conduit ` a s’int? eresser aux ? equations hyperg? eom? etriques, aux ? equations de Lam? e qui interviennent sur les param` etres accessoires des tores perc? es [421], et qui ne sont que des ? equations de Schr¨ odinger particuli` eres dont le groupe de monodromie associ? e peut ? etre ? etudi? e [818]. Une pr? esentation d? evelopp? ee des travaux que l’on vient d’? evoquer a ? et? e donn? ee dans l’ouvrage [632]. Celui-ci peut ? etre r? esum? e comme suit. On a mis au point un formalisme g? en? eral et d? ecrit ses liens avec les sommes de Dedekind. On a d? egag? e les ? equations qui g? en? eralisent l’? equation de Marko? classique, et on les a interpr? et? ees avec une formule de trace et les sommes li? ees ` a la fonction η de Dedekind. Partant de ces ? equations, on en a ? etudi? e de fa? con directe les solutions. Ceci a fait appara? ?tre des structures g? en? eralisant celle d? ecouverte par A. A. Marko?. Dans quelques exemples particuliers, on a d? ecrit les classes de solutions pour l’action du groupe T3 .

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On a d? etaill? e l’application ` a l’? etude du spectre de Marko?. On a fait le lien avec des sujets classiques d’arithm? etique quadratique, notamment la recherche des points entiers sur les courbes elliptiques. On a ? etudi? e les groupes fuchsiens agissant sur le demi-plan de Poincar? e H et consid? er? e le cas des groupes libres ` a deux g? en? erateurs, ainsi que les cons? equences pour la structure du groupe GL(2, Z). Ceci a montr? e l’importance alg? ebrique de la th? eorie de Marko? classique et son lien avec la K th? eorie et le th? eor` eme de Dyer Formanek relatif au groupe des automorphismes d’un groupe libre. Etudiant de fa? con g? en? erale les surfaces de Riemann et la th? eorie de Teichm¨ uller relative aux m? etriques sur une m? eme surface, on a fourni de nombreuses perspectives dans le chapitre 7 de l’ouvrage [632] en cherchant ` a pr? eciser le contexte qui leur donne naissance. L’un des points qui para? ?t le plus important ` a l’auteur concerne les d? eveloppements relatifs ` a la fonction η de Dedekind, ` a son lien avec le laplacien d’objets ` a g? eom? etrie hyperbolique, et ` a ses g? en? eralisations en physique nucl? eaire. On a aussi donn? e quelques pistes pour r? e?? echir ` a d’importantes conjectures. Le texte qui suit condense l’ouvrage que l’on vient de r? esumer, en identi?ant les r? esultats nouveaux obtenus. Dans chaque chapitre on pr? ecise dans le premier paragraphe la probl? ematique envisag? ee dans le texte qui suit, et on r? esume dans le dernier paragraphe les perspectives de recherches futures ` a mener. Le lecteur d? esireux d’aller ` a l’essentiel peut donc, au del` a de la pr? esente introduction passer tous les d? etails techniques qui sont pr? esent? es dans chaque chapitre en ne lisant que les introductions et les conclusions. Dans les paragraphes d? etaill? es, on a ? et? e ` a l’essentiel en n’insistant ni sur les d? e?nitions donn? ees ni sur les calculs men? es. On a renvoy? e pour l’essentiel ` a l’ouvrage [632], sachant que les d? e?nitions qu’il adopte sont les plus g? en? eralement admises. Tout ce qui est relatif aux d? e?nitions classiques et aux r? esultats bien connus a ? et? e extrait dans la mesure du possible. Le chapitre 5 est consacr? e ` a la g? en? eralisation de la th? eorie de Marko? aux surfaces de Riemann hyperboliques. On a voulu bien identi?er des th` emes qui ont un sens par rapport ` a une probl? ematique de codage et de quanti?cation de l’information port? ee par une telle surface, et plus g? en? eralement par rapport aux limitations du calcul qui mod? elise la physique. Le chapitre comprend peu de r? esultats nouveaux hors l’? equation di?? erentielle intrins` equement li? ee ` a la th? eorie de Marko?. Il fournit le point de vue ? elabor? e par l’auteur pour comprendre la signi?cation de grandes conjectures encore d’actualit? e. Il d? eveloppe aussi une signi?cation profonde de la fonction ? eta de Dedekind expliquant sa d? ecomposition en produit in?ni, et les produits in?nis qui en r? esultent pour d’autres fonctions classiques, telles que les fonctions th? eta ou les fonctions elliptiques. On a ? egalement voulu jeter quelques bases pour faire le lien avec les solitons et les travaux d’actualit? e en g? eom? etrie non commutative ([158] ` a [164]) et en th? eorie du chaos quantique. Dans le texte on utilise le m? eme syst` eme d’indexation des propositions que dans l’ouvrage [632]. Elles sont rep? er? ees dans chaque chapitre avec deux nombres, mais cit? ees en faisant pr? ec? eder ces derniers d’un nombre indiquant le chapitre o` u elles se trouvent. On a aussi ajout? e quelques ? el? ements nouveaux d? ecouverts depuis la publication de l’ouvrage [632], ainsi que quelques r? ef? erences compl? ementaires qui paraissent importantes. La bibliographie est l? eg` erement plus large que ce qui est strictement utilis? e dans le texte, pour facilter des travaux ult? erieurs en cours.

CHAPITRE 1

G? en? eralisation de la th? eorie de Marko?
1. Introduction Historiquement, la th? eorie de Marko? a ? et? e construite vers 1880 gr? ace aux fractions continues [522]. Puis elle a ? et? e progressivement reconsid? er? ee en mettant en avant les formes quadratiques correspondantes [123]. Aujourd’hui, elle est usuellement pr? esent? ee ` a l’envers en partant de la r? esolution de l’? equation diophantienne qui concluait les deux articles fondateurs [180] :
`me On a cherch? e au d? ebut du 20e si` ecle, et de fa? con infructueuse, les ? equations ` a? etudier pour construire une g? en? eralisation de cette th? eorie [274]. Reprenant ce probl` eme, l’auteur a consid? er? e que le retour aux fractions continues ? etait la m? ethode la plus r? ealiste pour atteindre un tel objectif. Il a ainsi pu construire un formalisme g? en? eralis? e et les ? equations diophantiennes qui en r? esultent [632] en partant des suites d’entiers strictement positifs les plus g? en? erales

x2 + y 2 + z 2 = 3xyz, x, y, z ∈ N\{0}.

S = (a0 , a1 , ..., an ). 2. Pr? esentation de la th? eorie 2.1. Notations. La matrice de la suite S et son d? eterminant sont donn? es par MS = M(a0 ,a1 ,...,an) = a0 1 1 0 a1 1 1 0 ... an 1 1 0 = m m ? K2 K1 K1 ? l ,

La suite miroir de S est S ? = (an , an?1 , ..., a0 ), et on associe ` a S deux suites ? etendues sur la gauche et sur la droite avec S ? = (?S ? )? et : ?S = (1, a0 ? 1, a1 , ..., an ) (a1 + 1, ..., an ) si a0 = 1 si a0 = 1 .

εS = det(MS ) = (?1)n+1 .

Les matrices MS engendrent le groupe GL(2, Z) des matrices de d? eterminant ±1. Elles agissent sur la droite projective r? eelle P 1 (R) = R ∪ {∞} ou la droite complexe P 1 (C) = C ∪ {∞} par αz + β α β , (z ) = γ δ γz + δ avec des notations classiques pour les fractions continues : 1 . MS (∞) = [S ] = [a0 , a1 , ..., an ] = a0 + 1 a1 + 1 ... + an
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14

? ERALISATION ? ? 1. GEN DE LA THEORIE DE MARKOFF

Les nombres alg? ebriques de degr? e 2, dits nombres de Marko?, dont le d? eveloppement en fraction continue est p? eriodique et peut ? etre ? ecrit avec une p? eriode (S ? , a) sont ebrique. La th? eorie not? es θa (S ) = [0, S ? , a]. On peut en donner une expression alg? de Marko? g? en? eralis? ee s’appuie sur une d? ecomposition de forme : S ? = (an , an?1 , ..., a0 ) = (X1 , b, X2 ), o` u les suites X1 et X2 d? e?nissent des matrices de suites dans GL(2, Z) : MX1 = m1 k1 m2 k21 m1 ? k12 k1 ? l1 m2 ? k2 k21 ? l2 avec det(MX1 ) = ε1 ∈ {?1, +1}, avec det(MX2 ) = ε2 ∈ {?1, +1},

MX2 =

On obtient ainsi les expressions suivantes : m = (b + 1)m1 m2 + m1 k21 ? m2 k12 , εS = ?ε1 ε2 . On d? e?nit deux param` etres auxiliaires t1 , t2 , et deux nombres u et ?K importants : t1 = k1 + k12 ? m1 , t2 = k2 + k21 ? m2 , u = m2 t1 ? m1 t2 , ?K = ε2 (K1 ? K2 ). Ils permettent d’? evaluer : m1 k2 ? m2 k1 = (b + 1)m1 m2 ? m ? u, ε1 m2 = K1 m1 ? k1 m, ε2 m1 = k2 m ? K2 m2 . La r? esolution des deux derni` eres ? equations de Bezout calcule K1 , K2 , k1 , k2 , ` a partir du seul triplet (m, m1 , m2 ) et de (ε1 , ε2 ). On en d? eduit les autres param` etres. Ceci permet de reconstruire la suite S ? et sa d? ecomposition avec X1 et X2 . Cette m? ethode a ? et? e utilis? ee pour construire les premiers exemples de th? eories de Marko? g? en? eralis? ees [624]. Le point d? ecouvert a ? et? e que pour (ε1 , ε2 ) = (±1, ±1) donn? e, et ` a la r? esolution d’? equations de Bezout pr` es, le triplet (m, m1 , m2 ) contient toute l’information n? ecessaire pour reconstruire les suites X1 et X2 , ainsi que b et la suite S ? , puis la d? ecomposition matricielle associ? ee pour MS ? . On a pu s’assurer qu’il ? existe une suite T ? eventuellement vide, telle que l’on ait X1 = (?X2 , c, T ). Ceci impose une propri? et? e de miroir partielle ` a la suite S :
? ?S ? = (X2 , c, T, b, X2 ).

Comme les cas T = ? et X2 = ? sont envisageables, on a obtenu ainsi un r? esultat essentiel pour la construction de la g? en? eralisation de la th? eorie de Marko? que l’on recherche : Proposition 2.1. Hors le cas des suites (1) et (b, 1), toute suite S admet une d? ecomposition
? S ? = (?X2 , c, T, b, X2 ),

avec X2 et T suites d’entiers strictement positifs, ? eventuellement vides, ainsi que b et c entiers strictement positifs.

? ? 2. PRESENTATION DE LA THEORIE

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2.2. Forme de Marko?. Dans le cas le plus g? en? eral, on dispose d’une matrice M(S ? ,a) correspondant ` a la p? eriode du nombre
? θa (S ) = [0, S ? , a] = [0, ?X2 , c, T, b, X2 , a].

Cette matrice d? e?nit une forme quadratique issue de la recherche des points ?xes de la transformation de M¨ obius d? e?nie par la matrice M(S ? ,a) [143] [722]. Cette forme quadratique binaire enti` ere ind? e?nie dite forme de Marko? s’? ecrit : mFθ (x, y ) = m(x ? θa (S )y )(x ? θa (S )y ). Un calcul direct donne [619][620] : Proposition 2.2. On a : Fθ (K1 , m) = Fθ (K2 ? (a + 1)m, m) = ε1 ε2 = ?εS , Fθ (K1 x + ((a + 1)K1 ? l)y, mx + ((a + 1)m ? K2 )y ) = ?εS Fθ (x, y ). 2.3. R? eduction. La th? eorie de la r? eduction des formes quadratiques binaires remonte ` a C. F. Gauss [282]. Elle concerne les formes quadratiques ind? e?nies que l’on ? ecrit avec des coe?cients r? eels λ ∈ R\{0} et β , γ ∈ R λf (x, y ) = λ(x2 + βxy + γy 2 ). Chacune a un discriminant strictement positif ?(λf ) = λ2 (β 2 ? 4γ ) = λ2 ?(f ). Elle poss` ede un minimum arithm? etique m(λf ) =
(x,y )∈Z2 ?{(0,0)}

= mx2 + (((a + 1)m ? K2 ) ? K1 )xy ? ((a + 1)K1 ? l)y 2

inf

|λf (x, y )| = |λ| m(f ). ?(f ) = C (f ).

Ceci donne sa constante de Marko?, ne d? ependant pas du coe?cient λ C (λf ) = m(λf )/ ?(λf ) = m(f )/

Le spectre de Marko? est d? e?ni comme ? etant l’ensemble de toutes les constantes de Marko? de formes quadratiques r? eelles ind? e?nies. Il poss` ede un sous ensemble particulier M ark de constantes des formes quadratiques ind? e?nies ` a coe?cients entiers. C’est le spectre quadratique. Le lien entre les deux spectres a fait l’objet de di?? erents travaux [180][790]. L’? equivalence de deux formes λf et λ′ f ′ est d? e?nie avec des entiers v11 , v12 , v21 , v22 v? eri?ant : λ′ f ′ (v11 x + v12 y, v21 x + v22 y ) = λf (x, y ), v11 v22 ? v12 v21 = ±1. Elle donne avec des notations comparables ` a celles de A. A. Marko? [522] le classique lemme de r? eduction : Proposition 2.3. Pour toute forme quadratique r? eelle ind? e?nie λf (x, y ) il existe une forme r? eduite ? equivalente λ0 f0 (x, y ), v? eri?ant les conditions suivantes :
′ λ0 f0 (x, y ) = λ0 (x2 + β0 xy + γ0 y 2 ) = λ0 (x ? ξ0 y )(x ? ξ0 y ),

ξ0 =

? β0 +

2 ? 4γ β0 0 = [α0 , α1 , ..., αj , ...] > 1, 2 2 ? 4γ β0 0 = ?[0, α?1 , α?2 , ..., α?j , ...] < 0. 2

′ ?1 < ξ0 = ?(1/η0 ) =

? β0 ?

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? ERALISATION ? ? 1. GEN DE LA THEORIE DE MARKOFF

La suite des nombres entiers strictement positifs (αn )n∈Z est associ? ee de fa? con unique (` a la sym? etrie pr` es αj → α?j et aux d? ecalages pr` es αj → αj +t o` u t ∈ Z) a ` λf (x, y ). Si l’on consid` ere les di?? erentes valeurs ξj = [αj , αj +1 , ..., α2j , ...] > 1, 2 ′ 2 ? 4γ , = ξj ? ξj = βj j Lj d? e?nissant pour tout j ∈ Z une forme r? eduite ? equivalente a ` λf (x, y ) :
′ ?1 < ξj = ?(1/ηj ) = ?[0, αj ?1 , αj ?2 , ..., α0 , ...] < 0,

′ λj fj (x, y ) = λj (x2 + βj xy + γj y 2 ) = λj (x ? ξj y )(x ? ξj y ).

Le nombre λj = λj fj (1, 0) est repr? esent? e par la forme λf (x, y ). Et on a : C (λf ) = C (f0 ) = C (fj ) = inf (
j ∈Z

Lj ). 2

Depuis [522], il est clair que travailler sur les formes de Marko? est ? equivalent ` a utiliser la th? eorie classique de la r? eduction des formes quadratiques : Proposition 2.4. Toute forme quadratique ind? e?nie f (x, y ) a ` coe?cients entiers d? e?nit un nombre ?ni de formes de Marko? Fθ (x, y ) ? equivalentes a ` f (x, y ), de nombres de Marko? θa (S ) correspondant compris entre 0 et 1, et de suites associ? ees (S ? , a). De plus on a ? equivalence des propri? et? es suivantes : 1/ Fθ (x, y ) forme de Marko? 2/ Fθ (?x, y ) forme r? eduite 2.4. Calcul des constantes et approximation diophantienne. L’? etude du spectre quadratique M ark dans le spectre de Marko? est faisable de fa? con exhaustive en ? etudiant [619] les constantes des formes Fθ (x, y ) : ?(Fθ ) = ((a + 1)m + K1 ? K2 )2 ? 4ε1 ε2 ?a (S ) = , 2 m m2 m?s ≤ Fθ (1, 0) = 1. m m ?a (S ) .

0 < m(Fθ ) = inf {| Fθ (x, y ) |; (x, y ) ∈ Z2 ? {(0, 0)}} =

La th? eorie du polygone de Klein [430] permet d’? ecrire m m?s 0 < C (Fθ ) = m(Fθ ) = ≤ ?a (S ) ?a (S ) Elle fournit un lien avec l’approximation diophantienne :

Proposition 2.5. Soit θa (S ) un nombre de Marko? r? eel alg? ebrique de degr? e2 associ? ea ` la forme Fθ (x, y ), l’ensemble des points d’accumulation de l’ensemble {| q (qθa (S ) ? p) |; p, q ∈ Z}, est ?ni et s’? ecrit sous la forme { | mj | ?a (S ) ; mj ∈ Z? },

o` u mj est un entier repr? esent? e par la forme mFθ (x, y ) sur une r? eduite (pj /qj ) de θa (S ) = [0, S ? , a] : mFθ (pj , qj ) = mj .

? ? 2. PRESENTATION DE LA THEORIE

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C’est aussi l’ensemble des points d’accumulation de l’ensemble Sa plus petite valeur n’est autre que la constante de Marko? C (Fθ ) = C (θa (S )). Sa plus grande valeur peut ? etre tr` es di?? erente de C (θa (S )). Et si l’on note θa (S ) = [0, S ? , a] = [b0 , b1 , b2 , ...], on peut aussi ? ecrire avec les r? eduites de ce nombre qj (qj θa (S ) ? pj ) = C (Fθ ) = C (θa (S )) = (?1)j , (bj +1 + [0, bj +2 , bj +3 , ...] + [0, bj , bj ?1 , ..., b1 ]) {| q (qθa (S ) ? p) |; p, q ∈ Z}.

1 . lim supj →∞ (bj +1 + [0, bj +2 , bj +3 , ...] + [0, bj , bj ?1 , ..., b1 ])

2.5. Extrema positif et n? egatif. On est conduit ` a se demander si le minimum arithm? etique de Fθ est atteint positivement ou n? egativement. On note νθ la plus grande valeur strictement n? egative repr? esent? ee par Fθ et ?θ la plus petite valeur strictement positive repr? esent? ee par Fθ . On pose : m ? s? m ? sν 1 ≥ ?θ = > 0, νθ = ? < 0. m m La situation o` u ?νθ = ?θ , comme dans la th? eorie de Marko? classique, est exceptionnelle. C’est pourquoi on ne doit plus l’utiliser comme un argument d? eterminant dans l’? etude des constantes de Marko?, ainsi que cela est fait depuis les travaux de Remak [673], notamment dans [123]. Consid? erant la p? eriode du nombre de Marko? ? associ? e` a (S ? , a) = (?X2 , c, T, b, X2, a), on a ? et? e conduit ` a se demander si les nombres b et c ne d? eterminent pas la fa? con dont la forme Fθ atteint ses valeurs ?θ ou νθ . En fait ceci d? epend de ε1 et ε2 car on a : mFθ (k2 , m2 ) 1 = ε2 > 0. 1 1 ?a (S ) c+ + ? , c, ...] ? , b, T ? , c, ...] [T, b, X2 , a, ?X2 [X2 ?, a, X2 1 mFθ (k1 , m1 ) = ? ε1 > 0. 1 1 ?a (S ) b+ + ? , c, T, b, ...] ? , b, ...] [X2 , a, ?X2 [T ? , c, X2 ?, a, X2 Si l’on ? ecrit le dernier nombre sous la forme m ? sb on obtient le r? esultat essentiel suivant : Proposition 2.6. Avec les expressions pr? ec? edentes qui d? e?nissent sb , on a : sb = (b ? a)m1 m2 ? u. Cette formule remarqu? ee dans l’article [628] a une d? emonstration directe : mFθ (k1 , m1 ) = k1 (mk1 ? m1 K1 ) + (a + 1)m1 (mk1 ? m1 K1 ) + m1 (m1 l ? K2 k1 )
2 = mk1 + ((a + 1)m ? K2 ? K1 )k1 m1 ? ((a + 1)K1 ? l)m2 1

?a (S )

,

= ?ε1 (m ? ((b ? a)m1 m2 ? u)).

= ?ε1 (k1 + (a + 1)m1 )m2 + ε1 m1 k2 = ε1 ((b + 1)m1 m2 ? m ? u) ? ε1 (a + 1)m1 m2

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? ERALISATION ? ? 1. GEN DE LA THEORIE DE MARKOFF

Elle donne un compl? ement ` a la proposition 1.2.2 : Proposition 2.7. La forme de Marko? v? eri?e avec les param` etres introduits ε1 Fθ (k1 , m1 ) = ε2 Fθ (k2 ? (a + 1)m2 , m2 ) = ?((m + (a ? b)m1 m2 + u)/m) < 0. On obtient maintenant en comparant les cas ε1 = 1 et ε1 = ?1 : Proposition 2.8. Pour toute forme de Marko? Fθ , on a le majorant suivant pour son minimum arithm? etique : m + u + (a ? b)m1 m2 , m(Fθ ) ≤ m avec les in? egalit? es suivantes : (b ? a)m1 m2 < m + u < (a + b + 2)m1 m2 ? (a + 1)?Km2 2, ?Km2 < m1 . Vouloir ? etudier s? eparement les deux extrema positif ou n? egatif pourrait conduire ` a consid? erer chacune des deux parties du polygone de Klein pour elle-m? eme. En fait les fractions continues adapt? ees pour ce faire sont les fractions continues r? eguli` eres r? eduites, dites de Jung-Hirzebruch, qui s’? ecrivent : 1 [[a0 , a1 , ..., an ]] = a0 ? . 1 a1 ? 1 ... ? an Ces nouvelles r? eduites correspondent [261] ` a des sommets du polygone de Klein sup? erieur si et seulement si on a an = 2. Elles sont reli? ees aux fractions continues ordinaires utilis? ees ci-dessus ([353] (p. 215) [576] [216]) par la formule g? en? erale suivante : [a0 , a1 , z ] = [[a0 + 1, 2a1 ?1 , z + 1]]. 2.6. L’? equation de Marko? g? en? eralis? ee. Dans le cas le plus g? en? eral, on peut mettre en ? evidence de plusieurs fa? cons l’existence d’une ? equation diophantienne g? en? eralisant celle de Marko?. Comme dans [123] on peut utiliser une nouvelle forme quadratique reli? ee ` a Fθ (x, y ) : Elle poss` ede la propri? et? e de multiplicativit? e suivante : Proposition 2.9. On a φθ (z1 , y1 )φθ (z2 , y2 ) = φθ (z1 z2 + εS y1 y2 , y1 z2 + z1 y2 + ((a + 1)m + K1 ? K2 )y1 y2 ). Elle est invariante par di?? erentes transformations [123] : Proposition 2.10. On a : = ?εS φθ (y, ?εS z ) = φθ (z + ((a + 1)m + K1 ? K2 )y, ?y ) φθ (z, y ) = φθ (?z, ?y ) φθ (z, y ) = z 2 + ((a + 1)m + K1 ? K2 )zy ? εS y 2 = m2 Fθ (x, y ), z = mx ? K1 y.

= ?εS φθ (?y, ?εS z ? ((a + 1)m + K1 ? K2 )εS y ).

= φθ (?z, y ? ((a + 1)m + K1 ? K2 )εS z ) = ?εS φθ (y ? εS ((a + 1)m + K1 ? K2 )z, εS z )

? ? 2. PRESENTATION DE LA THEORIE

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Cette derni` ere proposition donne φθ (?ε1 m2 , m1 ) = m2 Fθ (k1 , m1 ) et l’expresee, dont les sion vue pour sb fait apparaitre l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) recherch? termes ne d? ependent que de la suite S ? : Proposition 2.11. Soit S ? = (a0 , a1 , ..., an ) = (X1 , b, X2 ) une suite d’entiers positifs donnant les param` etres m, m1 , m2 , ?K , u, ε1 , ε2 , le triplet d’entiers (m, m1 , m2 ) ∈ (N\{0})3 est solution de l’? equation diophantienne M s1 s2 (b, ?K, u)
2 m2 + ε 2 m2 1 + ε1 m2 = (b + 1)mm1 m2 + ε2 ?Km1 m2 ? um.

En notant uθ = u +(a ? b)m1 m2 = ?sb pour tout a ∈ N\{0}, le triplet d’entiers (m, m1 , m2 ) v? eri?e aussi l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ )
2 m2 + ε 2 m2 1 + ε1 m2 = (a + 1)mm1 m2 + ε2 ?Km1 m2 ? uθ m.

2.7. Autres d? emontrations. Trois autres d? emonstrations de cette proposition ont ? et? e d? ecouvertes. Elles sont d? etaill? ees dans l’ouvrage [632]. ? Une premi` ere g? en? eralise le calcul original de Marko? [522]. ? Une seconde met en oeuvre les sommes de Dedekind [630], dont le lien avec l’? equation de Marko? a ? et? e reconnu depuis longtemps [354](pp. 158-165) au travers de leur classique formule de r? eciprocit? e [664]. La somme de Dedekind est d? e?nie pour (δ, γ ) ∈ Z × Z ? {0} comme suit : s(δ, γ ) = s(δ, |γ |) =
|γ |

k=1

kδ |γ |

k |γ |

.

La premi` ere mention des sommes s(δ, γ ) se trouve dans l’? etude de la fonction η faite par R. Dedekind dans son commentaire du fragment XXVIII de B. Riemann [676] (p. 397). Cette fonction est issue des calculs d’Eisenstein pour donner des produits in?nis exprimant les fonctions elliptiques [839], et analogues ` a ceux d? ecouverts par Euler pour les fonctions trigonom? etriques [250] (Tome1 ch. IX). La somme de Dedekind est pr? esente dans l’exposant donnant ε, la racine 24ie `me de l’unit? e de la formule de transformation de η par un ? el? ement de P SL(2, Z) : η( ατ + β 1 ) = ε(γτ + δ ) 2 η (τ ). γτ + δ

? Une troisi` eme d? emonstration interpr` ete l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) comme une formule de trace utilisant les matrices bm2 + k21 m2 ? , εA = det(Ab ) Ab = M(?X2 ,b) = bk2 + l2 k2
? ?,c) = Bc = M(X1

(c + 1)m ? K1 m . (c + 1)K2 ? l K2 Ces matrices sont dans GL(2, Z) et non seulement dans SL(2, Z). Notre ? equation 1 ?1 se d? eduit d’une formule de Fricke qui donne pour tr(Ab Bc A? B ) la valeur : c b
? ,b) M(X ? ?,c) = M(?S ?,c) = Ab Bc = M(?X2 1

(c + 1)m1 ? k1 m1 (c + 1)(m1 ? k12 ) ? (k1 ? l1 ) m1 ? k12

, εB = det(Bc )

1 ?1 Il su?t de calculer par une autre m? ethode la trace du commutateur Ab Bc A? b Bc dans le cas o` u b = c pour retrouver notre ? equation diophantienne comme simple formule de trace [632].

εA tr(Ab )2 + εB tr(Bc )2 + εA εB tr(Ab Bc )2 ? εA εB tr(Ab )tr(Bc )tr(Ab Bc ) ? 2.

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? ERALISATION ? ? 1. GEN DE LA THEORIE DE MARKOFF

2.8. Compl? ement. Dans le cas g? en? eral il n’y a pas d’hypoth` ese ` a faire sur le nombre δ = pgcd(m1 , m2 ). Il s’agit d’un nombre qui peut ? etre di?? erent de 1 et divise u. Il v? eri?e : Proposition 2.12. On a les ? egalit? es δ = pgcd(m1 , m2 ) = pgcd(m2 , m) = pgcd(m, m1 ) = pgcd(m, m1 , m2 ). La situation g? en? erale se distingue donc clairement de la th? eorie de Marko? classique o` u l’on a toujours δ = 1. Comme cette derni` ere condition est utilis? ee de fa? con assez centrale dans l’expos? e [123], notamment au travers de ses lemmes 5 et 6, on comprend a posteriori pourquoi il a fallu changer de paradigme pour d? egager notre g? en? eralisation de la th? eorie de Marko?. 3. Perspectives Les calculs qui pr? ec` edent s’appliquent ` a toutes les formes quadratiques binaires ind? e?nies. Ceci explique pourquoi les ? equations diophantiennes mises en ? evidence sont tr` es g? en? erales. On a indiqu? e qu’elles sont aussi donn? ees par une formule de trace, ainsi que par une propri? et? e de la fonction η de Dedekind. Il s’agit l` a de r? esultats tout ` a fait nouveaux qui ouvrent un domaine de r? e?exion tr` es important. On peut chercher ` a g? en? eraliser ce qui pr? ec` ede ` a des formes homog` enes de plus grand degr? e ou poss? edant plus de variables. Il est possible qu’il faille privil? egier dans ce contexte un algorithme [301] [567] [453] [216] g? en? eralisant les fractions continues r? eguli` eres r? eduites [[a0 , a1 , ..., an ]] de Jung-Hirzebruch, dont on peut syst? ematiser l’utilisation dans ce qui pr? ec` ede. La fonction η de Dedekind vient des calculs d’Eisenstein pour la d? ecomposition des fonctions elliptiques en produits in?nis [839]. Une question qui se pose est de savoir s’il existe une fonction g? en? eralisant η pour d’autres fonctions trigonom? etriques. Un projet est de d? eduire de l` a des sommes plus g? en? erales que celles de Dedekind, et de comprendre ce que pourrait ? etre une formule de r? eciprocit? e correspondante, ainsi qu’une ? equation diophantienne associ? ee. Ce projet est accessible ` a partir de la th? eorie des groupes de Lie [41]. Chercher ` a partir de l` a des formules de trace plus g? en? erales semble ? etre un sujet d’une grande importance. En liaison avec des travaux de C. Procesi [658] une autre piste concerne l’? etude d’une formule plus g? en? erale que celle de Fricke pour la trace du commutateur de deux matrices 2 × 2. Egalement, en liaison avec ce qui a ? et? e vu pour les extrema positif et n? egatif, il est int? eressant d’examiner les cons? equences pour les approximations asym? etriques des nombres irrationnels et le r? esultat classique de B. Segre [11].

CHAPITRE 2

R? esolution compl` ete de nos ? equations
1. Introduction Ayant identi?? e une bonne g? en? eralisation de l’? equation de Marko? classique, on a? etudi? e ensuite la r? esolution directe de l’? equation diophantienne M s1 s2 (a, ?K, uθ ), o` u s1 et s2 signes respectifs de ε1 et ε2 ∈ {?1, +1}, a ∈ N\{0}, ?K ∈ Z, uθ ∈ Z : x2 + ε2 y 2 + ε1 z 2 = (a + 1)xyz + (ε2 ?K )yz ? uθ x, x, y, z ∈ N\{0}. Il s’agissait de comprendre comment s’organisent les triplets de solutions que l’on note (m, m1 , m2 ). Une m? ethode de r? esolution a ? et? e mise au point sur des cas particuliers M ++ (2, 0, 0), M ++ (2, 0, ?2), M ++ (3, 0, 1). Elle est essentiellement d? ecrite dans [625]. D? esormais cette m? ethode est compl` ete et permet la r? esolution de toutes les ? equations M s1 s2 (a, ?K, uθ ). 2. M? ethode de r? esolution et cons? equences 2.1. Invariance par le groupe du triangle. La m? ethode de r? esolution classique de l’? equation de Marko? pr? esent? ee dans [123], en ? evitant les redondances entre des triplets de solutions pouvant se d? eduire les uns des autres, casse en r? ealit? e la structure de l’ensemble des solutions. Pour l’? etendre ` a une ? equation erer toutes les solutions, sans restriction. Pour M s1 s2 (a, ?K, uθ ) mieux vaut consid? simpli?er le probl` eme il est aussi utile de consid? erer les solutions dans Z3 . Pour tout 3 ensemble de solutions dans Z , on dit que son intersection avec l’ensemble (N\{0})3 est son empreinte dans (N\{0})3 . Il existe di?? erentes possibilit? es pour d? eduire une solution dans Z3 d’une autre. s1 s2 (a, ?K, uθ ) est invariante par les involutions suivantes : L’? equation M X : (m, m1 , m2 ) ?→ ((a + 1)m1 m2 ? m ? uθ , m1 , m2 ) = (m′ , m1 , m2 ), N : (x, y, z ) ?→ (x, ?y, ?z ).

Z : (m, m1 , m2 ) ?→ (m, m1 , ε1 ((a + 1)mm1 + ε2 ?Km1 ) ? m2 ) = (m, m1 , m′ 2 ), On a les conditions N 2 = X 2 = Y 2 = Z 2 = Id. XN = N X, Y N = N Y, ZN = N Z. Pour ε1 = ε2 , il existe une autre involution qui laisse invariante l’? equation : Elle v? eri?e : P : (x, y, z ) ?→ (x, z, y ). P 2 = Id, XP = P X, ZP = P Y, Y P = P Z, N P = P N.
21

Y : (m, m1 , m2 ) ?→ (m, ε2 ((a + 1)mm2 + ε2 ?Km2 ) ? m1 , m2 ) = (m, m′ 1 , m2 ),

22

? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

Modi?ant X , remarquons que si on utilise m? = (a + 1)m1 m2 ? m au lieu de equation de m? eme forme qui m′ , l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) se transforme en une ? eventuellement s’? ecrit M s1 s2 (a, ?K ? ε2 uθ (a + 1), ?uθ ). Cette observation permet ? de concentrer l’attention sur les ? equations telles que uθ = 0 ou s = ?uθ > 0. Avec les involutions X , Y et Z , s’introduit T3 , le groupe du triangle aussi not? e T? (∞, ∞, ∞). C’est le produit libre de trois groupes cycliques ` a deux ? el? ements C2 : T3 = C2 ? C2 ? C2 . Par le th? eor` eme de la forme normale pour un tel produit libre [139] (p. 26), tout ? el? ement de T3 peut ? etre ? ecrit comme un mot ch = ch(X, Y, Z ), produit d’involutions formelles X , Y , Z , dont deux lettres cons? ecutives sont toujours di?? erentes. Notre ? equation est invariante par l’action du groupe C2 × T3 construite avec N , X , Y , Z . Et comme sa partie la moins ? evidente vient de l’action induite de T3 , c’est sur cette derni` ere que l’on met l’accent. 2.2. Di?? erentes structures d’arbres sur le groupe du triangle. Dans le cas particulier d’une action transitive et libre du groupe T3 sur un ensemble ?, on dit avec John H. Conway [165] que le T3 -espace ? est un topographe. Le groupe T3 lui m? eme peut ? etre structur? e en topographe. Il poss` ede donc une structure de graphe en forme d’arbre, c’est-` a-dire avec les d? e?nitions de [728] de graphe sans aucun circuit de forme Cirn , o` u n ≥ 1. Ses sommets sont les ? el? ements de T3 , la racine de l’arbre ? etant l’unit? e du groupe, et ses ar? etes sont ? etiquet? ees avec X , Y , Z . Les chemins (ou g? eod? esiques) de l’arbre sont aussi d? ecrits ` a partir de la racine par des mots ch ∈ T3 , de sorte que les ? el? ements de T3 se repr? esentent de deux fa? cons, soit par les sommets du topographe soit par ses chemins ayant pour origine sa racine. De chaque sommet sont issues trois ar? etes qui correspondent ` a chaque lettre X , Y , ou Z . Avec [624] on a pu d? e?nir sur T3 une nouvelle structure d’arbre sur l’ensemble des mots r? eduits de T3 qui commencent par XY (suivi donc d’un mot commen? cant par X ou Z , ? eventuellement vide). On dit qu’il s’agit des mots de Cohn. Ils sont classables par longueur croissante avec les transformations G et D suivantes de T3 dans T3 : ? A gauche, on ? ecrit le mot de d? epart sous la forme XW , et on fabrique W ′ ` a partir de W en permutant Y et Z . On d? e?nit ensuite le transform? e ` a gauche de XW comme ? etant le mot XY W ′ . Il est clair que pour XW de longueur n et commen? cant par XY , son transform? e est de longueur n + 1 et commence par XY Z . La transformation G : XW → XY W ′ est injective. ? A droite, on ? ecrit le mot de d? epart sous la forme V W , o` u V ne contient que des lettres X et Y (au moins 2), et W commence par Z ou est ? eventuellement vide. On fabrique alors V ′ en permutant X et Y dans V . On d? e?nit ensuite XV ′ W comme ? etant le transform? e ` a droite de V W . Il est ? evident que le terme XV ′ W commence par XY X et est de longueur n + 1 lorsque V W commence par XY et est de longueur n. La transformation D : V W → XV ′ W est injective. On a obtenu ainsi une propri? et? e qui a pu ? etre utilis? ee pour montrer que dans ede une in?nit? e de solutions : la plupart des cas l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) poss` Proposition 2.1. Dans le groupe T3 engendr? e par X , Y et Z , pour toute longueur n ≥ 2 il existe 2n?2 mots de Cohn de longueur n. Ils sont naturellement organis? es en arbre par les transformations G et D d? e?nies de T3 dans T3 .

? ? ? 2. METHODE DE RESOLUTION ET CONSEQUENCES

23

Egalement, on peut consid? erer dans T3 l’ensemble des mots r? eduits qui commencent par X (suivi donc d’un mot commen? cant par Y ou Z , ? eventuellement vide). On dit qu’il s’agit des mots de Cassels. En changeant Y en Z dans la proposition pr? ec? edente, on a facilement : Proposition 2.2. Dans le groupe T3 engendr? e par X , Y et Z , pour toute longueur n ≥ 1 il existe 2n?1 mots de Cassels de longueur n. Ils sont naturellement organis? es en arbre. 2.3. Le groupe du triangle dans GL(2, Z). Dans [629], et en tirant les cons? equences de la th? eorie de Marko? classique, on a montr? e comment le groupe T3 est ? etroitement li? e au groupe GL(2, Z). On consid` ere pour cela, avec le morphisme d’ab? elianisation π ′ du groupe Aut(F2 ) ` a valeurs dans GL(2, Z), deux matrices engendrant dans GL(2, Z) un groupe di? edral D6 ` a 12 ? el? ements : π ′ (t) = 1 1 ?1 0 , π ′ (o) = 0 ?1 ?1 0 .

On compl` ete en consid? erant trois matrices d’ordre 2 : π ′ (X0 ) = 1 ?2 0 ?1 , π ′ (Y0 ) = ?1 0 ?2 1

, π ′ (Z0 ) =

1 0 0 ?1

.

Elles permettent de faire agir le groupe T3 dans GL(2, Z) en d? e?nissant le produit ′ suivant o` u ch ∈ T3 et π0 (T3 ) de fa? con ? evidente On en a d? eduit la d? ecomposition ternaire repr? esentant le groupe T3 dans GL(2, Z) : Proposition 2.3. Tout ? el? ement V ∈ GL(2, Z) se d? ecompose d’une et d’une seule fa? con sous la forme π ′ (o)h π ′ (t)k ch(π ′ (X0 ), π ′ (Y0 ), π ′ (Z0 )), o` u h = 0, 1; k = 0, 1, ..., 5; ch ∈ T3 . ′ Les ? el? ements de π0 (T3 ), sont caract? eris? es par les conditions h = 0 et k = 0. Le ′ ′ groupe π0 (T3 ) n’est pas normal dans le groupe GL(2, Z). Il est isomorphe par π0 au groupe T3 . Les ? el? ements du groupe D6 non normal dans GL(2, Z) sont caract? eris? es par la condition ch(π ′ (X0 ), π ′ (Y0 ), π ′ (Z0 )) = 12 . Le groupe D6 introduit deux relations d’? equivalence entre ? el? ements de GL(2, Z) V1 D6 ? V2 ? V1?1 V2 ∈ D6 ? V2 ∈ V1 D6 . Le quotient ` a droite GL(2, Z)/?D6 = (GL(2, Z)/D6 )d des classes D6 V1 et le quou V1 ∈ GL(2, Z) tient ` a gauche GL(2, Z)/D6 ? = (GL(2, Z)/D6 )g des classes V1 D6 o` sont ? equipotents. Ces deux ensembles sont di?? erents car D6 n’est pas normal dans le groupe GL(2, Z). L’? ecriture de V ∈ GL(2, Z) dans le dernier r? esultat ? enonc? e donne V ch(π ′ (X0 ), π ′ (Y0 ), π ′ (Z0 )) ?1 = π ′ (o)h π ′ (t)k ∈ D6 .
′ Elle d? etermine un unique ? el? ement ch(π ′ (X0 ), π ′ (Y0 ), π ′ (Z0 )) ∈ π0 (T3 ) tel que ′ ′ ch(π ′ (X0 ), π ′ (Y0 ), π ′ (Z0 )) = π0 (ch(X, Y, Z )) ∈ π0 (T3 ).

V1 ?D6 V2 ? V1 V2?1 ∈ D6 ? V2 ∈ D6 V1 ,

V ?D6 ch(π ′ (X0 ), π ′ (Y0 ), π ′ (Z0 )).

24

? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

D’o` u une autre interpr? etation du topographe qui est identi?able ` a l’arbre complet de la th? eorie de Marko? ou encore au groupe du triangle T3 : Proposition 2.4. Le groupe T3 est ? equipotent au quotient (` a droite ou a ` gauche) du groupe GL(2, Z) par son sous-groupe non normal D6 . C’est en particulier un GL(2, Z)-espace homog` ene. On a pu en d? eduire une proposition pr? ealable ` a des r? esultats connus de la K -th? eorie ([685] (p. 193), [679] (p. 218 et p. 75), [763] (p. 261), [772]). Proposition 2.5. On a pour GL(2, Z) les groupes d’homologie suivants H1 (GL(2, Z), Z) = GL(2, Z)/[GL(2, Z), GL(2, Z)] ? D6 /[D6 , D6 ] ? C2 × C2 , H2 (GL(2, Z), Z) ? C2 . En utilisant le groupe libre ` a deux ? el? ements F2 ? [SL(2, Z), SL(2, Z)], dont on a montr? e dans [629] qu’il est reli? e` a l’? equation de Marko? classique, on a obtenu : Proposition 2.6. Tout ? el? ement V ∈ GL(2, Z) se d? ecompose d’une et d’une seule fa? con sous la forme ±W (A0 , B0 )Oh Wk (S, T ), W (A0 , B0 ) ∈ F2 = [SL(2, Z), SL(2, Z)], h ∈ {0, 1},

Wk (S, T ) ∈ {12 , S, ST, ST S, ST ST, ST ST S } avec k = 0, 1, ..., 5. Les ? el? ements du sous-groupe SL(2, Z) normal dans GL(2, Z) sont caract? eris? es par la condition h = 0. Les matrices cit? ees dans cette proposition sont les trois g? en? erateurs de GL(2, Z) : S= 0 1 ?1 0 , T = 1 1 0 1 , O= ?1 0 0 1 ,

ainsi que des mots W (A0 , B0 ) ? ecrits multiplicativement en fonction des deux commutateurs qui engendrent F2 d’apr` es [511] (p. 97-98) : A0 = [(T S )?1 , S ?1 ] = 1 1 1 2 , B0 = [(T S )?2 , S ?1 ]?1 = 1 ?1 ?1 2 .

On a explicit? e tous les passages entre les deux repr? esentations ternaires des matrices du groupe GL(2, Z), groupe dont on a pu ? egalement retrouver une pr? esentation ` a deux g? en? erateurs T et I = OS qui est minimale [69] :
′ (T3 ) est engendr? e par trois matrices calculables en I et T ?1 : Le sous-groupe π0 ?1 1 ′ π ′ (X0 ) = T ?1 IOT ?1 IOIT ?1 B0 , π ′ (Y0 ) = IOIOA? 0 T S, π (Z0 ) = IS.

GL(2, Z) =< I, T ?1 | I 2 = ([T ?1 , I ]T ?1 )4 = ([T ?1 , I ]T ?1 I )2 = 12 > .

De plus [69] le groupe du triangle T3 est isomorphe ` a P GL(2, Z) avec : P GL(2, Z) =< I, T
?1

On peut v? eri?er que F2 ? [P SL(2, Z), P SL(2, Z)] est d’indice 2 dans ce groupe, et que l’on a aussi : [P GL(2, Z), P GL(2, Z)] =< [I, T
?1

| I = ([T

2

?1

, I ]T

?1 2

) = ([T

?1

, I ]T

?1

I )2 = 1 > .

], [I, T ] | [I, T

?1 3

] = [I, T ]3 = 1 >? C3 ? C3 .

? ? ? 2. METHODE DE RESOLUTION ET CONSEQUENCES

25

2.4. For? et et bouquets de solutions. R? esoudre l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) 3 dans Z consiste ` a d? eterminer la structure du T3 -espace de ses triplets de solutions. C’est une union de T3 -espaces connexes (des T3 -orbites). On dit alors que chaque T3 -espace connexe de solutions dans Z3 est un bouquet. On le note Bq ? Z3 . L’union des bouquets possibles Bq1 , Bq2 , ...., Bqn , ..., est la for? et des solutions et ? etant des T3 -espaces, dans Z3 de l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ). Bouquets et for? ils peuvent ? etre structur? es comme un graphe dont les sommets sont les triplets de solutions et dont les ar? etes sont non orient? ees. De chaque sommet partent trois ar? etes. Chaque ar? ete est ? etiquet? ee par l’involution X , Y ou Z permettant de passer d’une extremit? e de l’ar? ete ` a l’autre. Les d? e?nitions de [728] s’appliquent encore, permettant de consid? erer aussi des arbres de solutions, ce sont des graphes sans aucun circuit de forme Cirn , o` u n ≥ 1. L’? etude d’exemples montre que tous les bouquets de solutions que l’on rencontre ne sont pas des arbres. 2.5. Hauteur et r? eduction des triplets de solutions. Pour tout triplet e?nit sa hauteur (m, m1 , m2 ) ∈ Z3 de solutions de l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ), on d? On peut consid? erer trois autres valeurs construites avec les involutions X , Y , Z : hY = max(| m |, | m′ 1 |, | m2 |), hZ = max(| m |, | m1 |, | m′ 2 |). On dit qu’un triplet (m, m1 , m2 ) n’est pas fondamental si et seulement si l’un des nombres hX , hY , hZ est strictement plus petit que h. Dans le cas contraire, un triplet (m, m1 , m2 ) qui ne v? eri?e pas cette derni` ere condition est appel? e fondamental. Les in? egalit? es qui caract? erisent cette situation permettent d’identi?er les triplets fondamentaux, chacun d’entre eux d? e?nissant un bouquet de solutions par l’action du groupe T3 . Consid? erons un triplet quelconque d’un bouquet de solutions de l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ). Si hX < h on applique X et on change de triplet, si hY < h on applique Y et on change de triplet, si hZ < h on applique Z et on change de triplet. Ceci donne un algorithme dont l’avancement dans le bouquet que l’on consid` ere est contr? ol? e par la r? eduction de la hauteur qui d? ecroit en restant positive. Losque la hauteur est minimale, on identi?e un triplet fondamental dans le bouquet consid? er? e pour l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ). On dispose ainsi d’une m? ethode analogue ` a la descente in?nie de Fermat pour calculer toutes les solutions dans Z3 de cette ? equation, et les classer en bouquets. Si l’on travaille dans (N\{0})3 la hauteur est d? e?nie sans valeur absolue. Il se peut que pour un triplet donn? e l’algorithme pr? ec? edent ne permette plus par application de X , Y ou Z , de trouver un nouveau triplet dans l’ensemble (N\{0})3. Un tel triplet sur lequel l’algorithme s’arr? ete est dit minimal. 2.6. Solutions fondamentales dans (N\{0})3 . On a un r? esultat de ?nitude g? en? eral [632] pour les solutions fondamentales d’une ? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) : Proposition 2.7. Consid? erons les solutions dans (N\{0})3 d’une ? equation dios1 s2 (a, ?K, uθ ). Elles ne sont fondamentales que dans un nombre ?ni phantienne M de cas, hors le cas des ? equations M ?? (a, ?2 ? uθ (a + 1), u) o` u uθ < 0 : x2 ? y 2 ? z 2 = (a + 1)xyz + (uθ (a + 1) ? 2)yz ? uθ x. hX = max(| m′ |, | m1 |, | m2 |), h = max(| m |, | m1 |, | m2 |) ≥ 0.

26

? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

Ces derni` eres ont une in?nit? e de solutions fondamentales valant (?uθ , m1 , m1 ), avec m1 ∈ N\{0} quelconque, et les bouquets correspondants, en nombre in?ni, sont ?nis et s’? ecrivent {(?uθ , m1 , m1 ), ((a + 1)m2 1 , m1 , m1 )}. En dehors de ces cas particuliers, on ne trouve ainsi qu’un nombre ?ni de bouquets pour l’action du groupe T3 ayant une empreinte non vide dans (N\{0})3 . Ce r? esultat a donn? e une proposition garantissant qu’on ne trouve dans l’essentiel des cas qu’un nombre ?ni de solutions fondamentales. Proposition 2.8. Consid? erons les solutions dans (N\{0})3 d’une ? equation dios1 s2 (a, ?K, uθ ). Si elle poss` ede une empreinte de bouquet contenant phantienne M une in?nit? e de solutions distinctes, alors elle n’a qu’un nombre ?ni de bouquets pour l’action du groupe T3 ayant une empreinte non vide dans (N\{0})3 . 2.7. Solutions minimales dans (N\{0})3 . Certaines empreintes de bouquet ne sont identi?ables que gr? ace ` a des solutions minimales. Pour ces derni` eres, on a la caract? erisation suivante [632] :

Proposition 2.9. Soit une solution (m, m1 , m2 ) ∈ (N\{0})3 d’une ? equation eri?ant a ` une inversion pr` es des indices la condidiophantienne M s1 s2 (a, ?K, uθ ) v? tion m1 ≥ m2 ≥ 1. Elle est minimale si et seulement si on a l’une des conditions suivantes : Il se peut qu’une ? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) ait un nombre ?ni de solutions minimales, et aucune solution fondamentale. C’est le cas de l’? equation M ++ (2, 0, ?2). Pour ε1 = ε2 = 1, les deux conditions ?K ≤ 2 et uθ ≤ 0 ne donnent qu’un nombre ?ni de solutions minimales et de solutions fondamentales. Dans ce cas, on a ? etabli l’existence d’un nombre ?ni d’empreintes de bouquets de solutions dans (N\{0})3 pour l’? equation M ++ (a, ?K, uθ ). Pour les autres cas, la situation est assez diverse en fonction des param` etres a, ?K , uθ , mais dans l’essentiel des cas le nombre d’empreintes de bouquet reste ?ni. 2.8. Les triplets de Cohn et leur utilisation. On dit qu’une solution (m, m1 , m2 ) ∈ (N\{0})3 d’une ? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) est un triplet de Cohn [144] si et seulement si on a m > m1 > m2 . Toutes les solutions possibles dans (N\{0})3 ne sont pas de ce type, comme le montre le cas o` u ε1 = ε2 et une permutation de y et z dans l’? equation ? etudi? ee. Mais de telles solutions apparaissent naturellement ` a l’issue des calculs du chapitre pr? ec? edent. En e?et toute paire de suites X2 et T d? etermine des fractions continues de plus en plus longues expliquant a posteriori les in? egalit? es d? e?nissant les triplets de Cohn :
? ? ? m2 /k2 = [?X2 ], m1 /k1 = [?X2 , c, T ], m/K1 = [?X2 , c, T, b, X2 ]. 2 2 2 ε 2 m2 1 + ε1 m2 ? ε2 ?Km1 m2 ≤ 0, ε2 m + ε1 ε2 m2 + ε2 uθ m ≤ 0.

On a pu v? eri?er que les triplets de Cohn d’une m? eme empreinte de bouquet sont donn? es par des chemins de T3 commen? cant par XY . A partir de telles suites, on a mis au point un proc? ed? e de construction d’un arbre de triplets de Cohn pour nos ? equations [624]. On a utilis? e pour cela les combinaisons G, DD, GD, des transformations G et D mises en ? evidence dans le groupe T3 , ceci donne des triplets de Cohn lorsque les suites associ? ees sont bien d? e?nies, c’est-` a-dire ` a coef?cients entiers positifs (comme vu dans [628] les op? erateurs ? et ? peuvent cr? eer

? ? ? 2. METHODE DE RESOLUTION ET CONSEQUENCES

27

des probl` emes correspondant au fait que le bouquet concern? e n’est pas un arbre). equation ? equilibr? ee Pour cela on change d’abord l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) en une ? M s1 s2 (c, ?Kc , u) assurant la condition b = c et ne modi?ant pas les suites X2 et T . 2.9. La construction algorithmique ` a droite et ` a gauche. Les formules pour des transformations G, DD, GD, donnant un triplet de Cohn ` a partir d’un autre sont les suivantes pour l’? equation M s1 s2 (c, ?Kc , u) : ? La construction ` a gauche est d? e?nie sur les suites par :
G X2 = (?T ? , c, X2 ), T G = T.

On en d? eduit
G ? X1 = (?X2 , c, T ?, c, T ), ? , c, T ?, c, T ?, c, ?T ?, c, X2 ). (S G ?) = (X2

L’? equation diophantienne correspondant aux nouvelles suites et dont le triplet de G Cohn (mG , mG ecrit : 1 , m2 ) est une solution, s’? M s2 ,s1 (c, ?Kc , ε1 ε2 u) : x2 + ε1 y 2 + ε2 z 2 = (c + 1)xyz + ε1 ?Kc yz ? ε1 ε2 ux. ? La construction ` a droite est plus complexe. Ceci a ? et? e d? ecouvert dans [620]. On doit en r? ealit? e distinguer deux cas. En partant deux fois ` a droite, on d? e?nit
DD ? ? X2 = X2 , T DD = (?X2 , c, T, c, X2 ?).

Ceci donne :
DD ? X1 = (?X2 , c, ?X2 , c, T, c, X2 ?), ? ? (S DD ?) = (X2 , c, ?X2 , c, T ?, c, X2 ?, c, X2 ).

L’? equation diophantienne correspondant aux nouvelles suites et dont le triplet de DD Cohn (mDD , mDD ecrit : 1 , m2 ) est solution, s’? M s1 ,s2 (c, ?Kc , u) : x2 + ε2 y 2 + ε1 z 2 = (c + 1)xyz + ?Kc yz ? ε2 ux. ? La construction ` a gauche une fois apr` es un passage ` a droite est d? e?nie avec :
DG ? ? X2 = (?X2 , c, T ), T DG = (X2 , c, T ? , c, X2 ).

Ceci donne pour les autres suites que l’on consid` ere
DG ? X1 = (?T ? , c, X2 ?, c, X2 , c, T ? , c, X2 ), ? ? (S DG ?) = (T ? , c, X2 ?, c, X2 , c, T, c, X2 , c, ?X2 , c, T ).

On trouve encore une ? equation diophantienne correspondant aux nouvelles suites, DG dont le triplet de Cohn (mDG , mDG 1 , m2 ) est une solution : M s2 ,s1 (c, ε2 ?Kc , ε1 u) : x2 + ε1 y 2 + ε2 z 2 = (c + 1)xyz + ε1 ε2 ?Kc yz ? ε1 ux.

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? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

2.10. Cons? equence pour la r? esolution de nos ? equations. Les transformations G, DD, GD, ont donn? e le r? esultat suivant pour l’? equation M s1 s2 (c, ?Kc , u) : Proposition 2.10. Consid? erons un triplet de Cohn (m, m1 , m2 ) associ? ea ` deux suites X2 et T , solution de l’? equation diophantienne ? equilibr? ee On obtient pour les ? equations diophantiennes transform? ees a ` droite et a ` gauche de la pr? ec? edente les expressions DD : M s1 s2 (c, ?Kc , u) ?→ M s1 s2 (c, ε2 ?Kc , ε2 u), GD : M s1 s2 (c, ?Kc , u) ?→ M s2 s1 (c, ε2 ?Kc , ε1 u). De plus le processus de construction donn? e sur les suites fournit, lorsque les suites sont bien d? e?nies, un triplet de Cohn solution de l’? equation correspondante, de taille strictement plus grande que celle du triplet (m, m1 , m2 ). Il existe alors une in?nit? e de solutions pour l’? equation M s1 s2 (c, ?Kc , u) et un nombre ?ni d’empreintes de bouquets correspondantes. La transposition ` a des valeurs a ou b di?? erentes de c ne pose pas de probl` eme, donnant un r? esultat analogue pour M s1 s2 (a, ?K, uθ ) ou M s1 s2 (b, ?K, u). 2.11. Construction des suites de d? epart X2 et T . Les nombres ε1 , ε2 , a, ?K , uθ sont donn? es par l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) que l’on consid` ere. Disposant par la m? ethode de r? esolution de cette ? equation d’un triplet (m, m1 , m2 ) ∈ (N\{0})3 de solutions, on peut construire deux suites associ? ees X1 et X2 en r? esolvant les ? equations de Bezout en (K1 , k1 ) et (K2 , k2 ). On se ram` ene alors ` a une ? equation M s1 s2 (b, ?K, u). 2.11.1. Cas particulier o` u ε1 = ε2 . Dans tous les exemples ? etudi? es o` u ε1 = ε2 , on a trouv? e un cas o` u T = ?. On a pu d? emontrer que cette remarque est g? en? erale. u ε1 = ε2 Proposition 2.11. Consid? erons une ? equation M s1 s2 (b, ?K, u) o` x2 + ε2 y 2 + ε2 z 2 = (b + 1)xyz + ε2 ?Kyz ? ux,
2 m2 1 ? (b + ?K + 1)m1 m2 + m2 = ?u ? ε2 . 2 m = m2 1 ? ?Km1 m2 + m2 .

M s1 s2 (c, ?Kc , u) : x2 + ε2 y 2 + ε1 z 2 = (c + 1)xyz + ε2 ?Kc yz ? ux.

G : M s1 s2 (c, ?Kc , u) ?→ M s2 s1 (c, ?Kc , ε1 ε2 u),

telle que l’on puisse trouver m1 et m2 dans N\{0} v? eri?ant

Alors elle poss` ede un triplet de solutions (m, m1 , m2 ) tel que

En notant c = b + ?K et dans le cas o` u l’on a m1 ? cm2 ∈ N\{0}, condition assur? ee si u < 0, on peut construire une in?nit? e de solutions de l’? equation ? equilibr? ee associ? ee gr? ace aux transformations G, DD, GD, avec T = ? et X2 suite d? e?nie avec k21 = m1 ? cm2 > 0 par m2 = [X2 ], det(MX2 ) = ε2 . m1 ? cm2 Dans tous ces cas on a la solution (ε2 , m1 , m2 ) pour l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) :
2 m2 1 ? (b + 1 + ?K )m1 m2 + m2 = ?u ? ε2 .

La valeur de ε1 ε2 est une forte contrainte, elle impose εS = ?1. En r? ealit? e, si l’on ? etudie des nombres θa (S ) on peut toujours changer la suite S en S ′ = (S, a, S ),

? ? ? 2. METHODE DE RESOLUTION ET CONSEQUENCES

29

et se ramener avec cette derni` ere suite ` a εS ′ = ?1. Moyennant cette transformation d’allongement de la suite S , on peut par exemple dans l’? etude des constantes de Marko? faire en sorte que la contrainte ε1 = ε2 soit toujours v? eri?? ee. On peut appliquer alors l’involution P de fa? con ` a ce que la longueur de la suite ?X1 soit plus grande ou ? egale ` a la longueur de la suite X2 . Cette normalisation ne change pas l’? equation ? etudi? ee mais donne naturellement un triplet de Cohn. 2.11.2. Cas g? en? eral pour ε1 et ε2 . La proposition qui pr? ec` ede a ? et? e g? en? eralis? ee au cas o` u l’on n’a plus n? ecessairement la condition ε1 = ε2 ni a fortiori la normalisation introduite avant. On a trouv? e par exemple pour T = (1) : Proposition 2.12. On consid` ere un triplet (m, m1 , m2 ) ∈ Z3 v? eri?ant les deux relations 2 ? u ? ε 2 = m2 1 ? (b + ?K + 1)m1 m2 + ε1 ε2 m2 ,

2 m = m2 1 ? ?Km1 m2 + ε1 ε2 m2 . ` une suite Il est solution de l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u). Si ce triplet correspond a ? T = (1) avec laquelle on peut ? ecrire X1 = (?X2 , c, 1), on a

Les premi` eres ? egalit? es de cette proposition proviennent des relations suivantes du cas g? en? eral, sp? ecialis? ees compte tenu de la suite T choisie :
2 ?u ? ε2 ? = m ? (b + 1)m1 m2 , ?m = m2 1 ? ?Km1 m2 + ε1 ε2 m2 .

2 u + ε 2 = m2 2 ? (c + 1)m2 k21 ? k21 = Ψ(c,1) (m2 , k21 ). Avec c = b + ?K et dans le cas o` u m1 ? (c + 1)m2 ∈ N\{0}, condition assur? ee si u < 0, on peut construire une in?nit? e de solutions de l’? equation ? equilibr? ee associ? ee gr? ace aux transformations G, DD, GD, avec T = (1) et X2 suite d? e?nie avec k21 = m1 ? (c + 1)m2 > 0 par m2 = [X2 ], det(MX2 ) = ε2 . m1 ? (c + 1)m2

ε1 = ?ε2 , ?K = (c ? b), m1 = (c + 1)m2 + k21 ,

2.12. Remarques compl? ementaires. On a dans le cas g? en? eral une forme quadratique Ψ(c,T ) Le discriminant de Ψ(c,T ) est positif dans l’essentiel des cas, assurant que la forme Ψ(c,T ) est ind? e?nie. Pour une valeur u donn? ee et sachant que ε2 = ±1, l’? equation que l’on consid` ere poss` ede alors une in?nit? e de solutions en (m2 , k21 ) d` es qu’elle en poss` ede une. D’o` u une in?nit? e de possibilit? es pour la suite X2 lorsque la suite T est donn? ee. Un calcul comparable est faisable d? eterminant une in?nit? e des possibilit? es pour T lorsque X2 est donn? ee. Ceci permet de comprendre autrement l’existence de l’arbres des triplets de Cohn mis en ? evidence ci-dessus. On a pu ? etablir : Proposition 2.13. Dans les cas o` u ε1 = ε2 = 1, on a : G = XY P X, GD = XY P, DD = XY. Ces expressions expliquent autrement pourquoi, dans le cas correspondant, on trouve des triplets de Cohn avec les trois transformations G, GD, DD. En e?et on a d? ej` a indiqu? e que ces triplets sont caract? eris? es par le fait qu’ils correspondent ` a des mots r? eduits qui commencent par XY .
2 u + ε2 ? = Ψ(c,T ) (m2 , k21 ) = (cκ2 + λ)m2 2 ? (c? + κ1 ? κ2 )m2 k21 ? ?k21 .

30

? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

2.13. Un exemple d’application. Tous les exemples peuvent ? etre trait? es gr? ace aux m? ethodes qui pr? ec` edent. On illustre ici sur un cas, celui des ? equations M ++ (2, 0, u). Pour ?K = 0, soit c = b. Avec ε1 = ε2 = 1 on obtient : m1 = bm2 + k21 ,
2 2 2 m = (b2 + 1)m2 2 + 2bm2 k21 + k21 = m2 + m1 , 2 u = (b ? 1)m2 2 ? (b ? 1)m2 k21 ? k21 ? 1 = Ψ(c,T ) (m2 , k21 ).

Ceci donne un triplet de Cohn ((bm2 + k21 ), m2 , 1) pour l’? equation M ++ (b, 0, u). Pour b = 2 et une in?nit? e de valeurs u = ?s < 0, l’? equation M ++ (2, 0, u) a des 3 solutions (m, m1 , m2 ) ∈ (N\{0}) , notamment si on a avec (p, q ) ∈ (N\{0})2 : s = p2 + q 2 + 1 ? 3pq > 0. On trouve une in?nit? e de telles expressions avec les nombres de Fibonacci :
2 2 2 2 s = (1 + 4F2 t+1 ? 2F2t+1 F2t ? F2t ) = F2t+3 + F2t + 1 ? 3F2t+3 F2t > 0.

Dans d’autres cas, il n’y a aucune solution dans (N\{0})3 . On a en e?et ? etabli : Proposition 2.14. Consid? erons une ? equation M ++ (2, 0, u) avec u < 0 x2 + y 2 + z 2 = 3xyz ? ux.

Elle poss` ede des solutions (m, m1 , m2 ) ∈ (N\{0})3 si et seulement si on peut en trouver une v? eri?ant 0 < m < s = ?u, 0 < m2 < (s ? m)m.

Dans ce cas qui arrive pour une in?nit? e de valeurs s > 0, elle poss` ede une in?nit? e de solutions. De plus pour 0 < s ≤ 50 l’? equation M ++ (2, 0, u) n’admet aucune solution lorsque l’on a ?u = s ∈ {1, 3, 7, 9, 11, 19, 23, 27, 31, 43, 47}. Dans l’essentiel des cas on peut ? ecrire :
2 2 2 0 < s = p2 k ? 3 p k p k ?1 + p k ?1 + 1 < m = p k + p k ?1 , m2 = p k ?1 .

Les nombres pk et pk?1 se d? eduisent de nombres de Fibonacci et donnent des constantes de Marko? s’? ecrivant : 3 p k p k ?1 ? 1 1 C (θ2 (S )) = < . 3 2 2 2 9(pk + pk?1 ) ? 4 Lorsque pk?1 augmente ind? e?niment, ces constantes convergent vers la valeur (1/3). Ceci a donn? e: Proposition 2.15. Le spectre de Marko? quadratique M ark a pour plus grande valeur d’accumulation (1/3), par valeurs inf? erieures et par valeurs sup? erieures. La derni` ere proposition peut se d? eduire d’une autre expression :
2 2 2 ?u = ?(F2 t + 6F2t+1 F2t ? F4t+3 ) = F2t+1 + F2t + 1 ? 3F2t+1 F2t < 0.

Pour une in?nit? e des valeurs u > 0 l’? equation M ++ (2, 0, u) a des solutions dans 3 (N\{0}) .

? ? ? 2. METHODE DE RESOLUTION ET CONSEQUENCES

31

2.14. La condition de divisibilit? e ? equivalente et ses cons? equences. eduit en r? ealit? e d’une simple Toute ? equation diophantienne M s1 s2 (a, ?K, uθ ) se d? condition de divisibilit? e:
2 Supposons que l’on note m2 cant dans 1 ? ?Km1 m2 + ε2 ε1 m2 = ?m, en rempla? l’? equation et simpli?ant par m = 0 il reste 2 m | m2 1 ? ?Km1 m2 + ε2 ε1 m2 .

Cette expression d? etermine uθ . En la combinant avec la pr? ec? edente de fa? con ` a et? es ` a? eliminer le terme ?, on retrouve l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) dont les propri? essentielles sont donc contenues dans la seule condition de divisibilit? e. Sans ? eliminer enom` ene des ?, on a aussi l’? equation M ?s1 ,?s2 (a, ?K, uθ + 2ε2 ?). Ceci illustre le ph? ? equations ` a solutions communes ? evoqu? e dans [627]. Si l’on note maintenant on a la condition de divisibilit? e? equivalente ? a+1 K = ε2 (a + 1)m + ?K = ε2 ((a + 1)m + K1 ? K2 ),
a+1 m | (m2 K )m1 m2 + ε1 ε2 m2 2 ) = φθ (m1 , ?ε2 m2 ). 1 ? (?

m + ε2 ? = (a + 1)m1 m2 ? uθ .

Le discriminant ?0 = (?K )2 ? 4ε1 ε2 commun aux pr? ec? edentes conditions de divisibilit? e permet de classi?er les ? equations singuli` eres, c’est-` a-dire telles que ?0 ≤ 0 ou ?0 carr? e parfait, comme suit : ? Pour ε2 = 1, une ? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) est dite pointue si elle est de forme : x2 + y 2 + z 2 = (a + 1)xyz ? uθ x, x2 + y 2 + z 2 = (a + 1)xyz ± yz ? uθ x. On dit qu’il s’agit d’une ? equation d? eg? en? er? ee lorsqu’elle s’? ecrit : x2 + y 2 + z 2 = (a + 1)xyz ± 2yz ? uθ x,

x2 + y 2 ? z 2 = (a + 1)xyz ? uθ x. ? Pour ε2 = ?1, une ? equation est dite pointue si elle s’? ecrit : x2 ? y 2 ? z 2 = (a + 1)xyz ± yz ? uθ x, On dit qu’on a a?aire ` a une ? equation d? eg? en? er? ee lorsqu’elle est de forme : x2 ? y 2 ? z 2 = (a + 1)xyz ± 2yz ? uθ x, x2 ? y 2 + z 2 = (a + 1)xyz ? uθ x. 2.15. Le cas des ? equations o` u u = 0. Consid? erons un nombre de Marko? θa (S ) d? e?nissant la constante C (θa (S )). L’application du lemme de Dickson [209] (ch.8, vol.2, p. 408-409) permet de faire l’hypoth` ese que l’on a : m . ?a (S ) Dans le cas o` u le minimum donnant la constante est obtenu pour un unique indice j ∈ {0, 1, ..., (n + 1)}, on dit que la constante est uniquement atteinte. Mais il peut ? etre obtenu sur plusieurs indices di?? erents j ∈ {0, 1, ..., (n + 1)}, on dit dans ce cas C (θa (S )) = S ? = (an , an?1 , ..., a0 ), ?i = 0, ..., n, ai ≤ a, 1 1 ′ = a + [0, S, a] + [0, S ? , a] = ξ0 ? ξ0 x2 ? y 2 ? z 2 = (a + 1)xyz ? uθ x,

32

? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

que la constante est multiplement atteinte. Si le minimum est atteint pour j = 0, on dit que l’on est dans le cas super-r? eduit. Le cas super-r? eduit de constante multiplement atteinte a donn? e: Proposition 2.16. Dans le cas super-r? eduit o` u la constante de Marko? de θa (S ) est obtenue pour deux indices di?? erents 0 et j ∈ {1, ..., (n + 1)}, on a une d? ecomposition naturelle S ? = (X1 , a, X2 ), Avec les param` etres associ? es a ` la suite S ? , l’? equation de Marko? associ? ee s’? ecrit s1 s2 (a, ?K, 0) M x2 + ε2 y 2 + ε1 z 2 = (a + 1)xyz + ε2 ?Kyz. La situation d? ecrite par cette proposition g? en? eralise celle de la th? eorie de Marko? classique. Pour ε1 = ε2 = 1, la condition u = 0 n’est d’ailleurs conciliable avec la condition ?K = 0 que lorsqu’on a a = 2. C’est le sens du r? esultat d? emontr? e par G. Frobenius [274]. Pour g? en? eraliser l’? equation de Marko? classique ` a d’autres cas identi?? es par la derni` ere proposition, on doit supposer ?K = 0. Et une r? eciproque de cette proposition est facile. Ces r? esultats ont permis d’? etudier [628] des ? equations comme M ++ (2, 2, 0) de solution (3, 1, 1), M ++ (2, ?2, 0) de solution (3, 2, 1), M ++ (3, ?1, 0) de solution (3, 1, 1), ainsi que les constantes associ? ees. 2.16. Application ` a l’? etude du spectre de Marko?. La m? ethode d’analyse du spectre de Marko? d? evelopp? ee par l’auteur [625] a ? et? e illustr? ee ci-dessus au voisinage de (1/3). Elle consiste ` a utiliser une ? equation donn? ee M s1 s2 (a, ?K, uθ ) pour d? ecrire un endroit particulier du spectre. Chaque solution d’une telle ? equation fournit des suites X2 et T , et permet la construction d’une constante de forme C (θa (S )) = C (Fθ ) dans le spectre quadratique. Par ailleurs, les branches in?nies donn? ees par tout bouquet de solutions de l’? equation fournissent des points d’accumulation du spectre alg? ebrique M ark . Ces points peuvent correspondre, comme dans la th? eorie de Marko? classique ` a des constantes de formes quadratiques ` a coe?cients r? eels. Ce sont alors des constantes du spectre de Marko? complet. L’op? eration de passage de M ark au spectre complet ([180] Chapitre 3, [181]) correspond ` a une op? eration de fermeture topologique. Le spectre de Marko? est ainsi analys? e comme superposition de sous-ensembles de constantes de nombres quadratiques θa (S ) et de leurs points d’accumulation. On a trouv? e ainsi de nouveaux trous du spectre et ? evalu? e sa complexit? e au voisinage de (1/3). On peut montrer avec l’expression de C (θa (S )) que cette constante est situ? ee dans le segment 1 1 ,√ ]. Ua = [ √ 2 2 a + 4a a +4 √ Le segment U1 est r? eduit ` a l’ensemble {1/ 5} qui contient la plus grande constante du spectre de Marko?. Le segment U2 donne dans sa partie sup? erieure, entre (1/3) √ et (1/ 8) les constantes fournies par la th? eorie de Marko? classique. Ce sont des nombres isol? es ` a l’exception du plus petit (1/3) qui est un point d’accumulation par valeurs sup? erieures de constantes de Marko?. Il est connu qu’au dessus de la valeur (1/3, 334367...) de R. T. Bumby le spectre des constantes de Marko? est de mesure nulle ([180] p. 76). Comme l’a montr? e Mary E. Gbur Flahive [285], cette partie du spectre contient cependant une in?nit? e de points d’accumulation dont la √ ecouverte par C. J. Hightower [342]. J. R. Kinney et T. S. valeur (1/( 5 + 1)) d? Pitcher ont a?ch? e l’existence d’une in?nit? e de trous dans le spectre de Marko? au

3. PERSPECTIVES

33

√ es que souhait? e de cette valeur qui est ? egalement un dessus de (1/ 12), aussi pr` point d’accumulation de valeurs du spectre, mais l’existence de ces trous reste ` a con?rmer ([619] IV 143). L’ensemble U2 ne rencontre pas l’ensemble U3 , ce qui met en ? evidence un trou bien connu du spectre de Marko? 1 1 ] √ , √ [. 13 12 √ La valeur (1/ 13) est la plus grande valeur de U3 . Elle est isol? ee comme l’a montr? e O. Perron ([180] p. 15) en exhibant le trou maximal 1 22 √ , √ [. 65 + 9 3 13 √ La plus petite valeur de U3 est √(1/ 21), elle est donc aussi comprise dans U4 dont la plus grande valeur vaut (1/ 20). Entre les deux derni` eres bornes cit? ees se trouve la valeur F de G. A. Freiman ([180] p. 55) situ? ee au bord d’un trou du spectre, et telle que toute valeur r? eelle comprise entre 0 et F soit une constante de Marko? : √ 253589820 + 283748 462 ?1 . F =4+ 491993569 C’est dans la partie basse de U2 et dans la partie haute de U3 que la distribution des constantes de Marko? est la plus mal connue et que l’on travaille donc. Lorsque la valeur de a augmente, le nombre de possibilit? es pour les suites T et X2 s’accro? ?t. La distribution des constantes dans le segment Ua+1 est ainsi plus compliqu? ee que celle existant dans Ua . Toute constante C (θa (S )) de Ua dans cet ensemble donne de plus gr? ace au lemme de Dickson ([123] p. 408) une valeur de Ua+1 elle-m? eme point d’accumulation du spectre. Ainsi la plus grande constante √ √ du spectre de Marko? (1/ 5) ∈ U1 donne le point d’accumulation (1/(1 + 5)) de C. J. Hightower dans U2 . L’article de W. R. Lawrence [464] montre un ph? enom` ene comparable mais de plus grande complexit? e, en ? etablissant que la distribution des constantes de Marko? dans la partie basse de l’ensemble Ua est plus compliqu? ee que celle que l’on trouve dans sa partie haute. D? ecrivant le spectre par valeurs d? ecroissantes, plus on se rapproche de 0 plus sa complexit? e cro? ?t. Apr` es une partie discr` ete, puis une autre cantorienne, l’aspect chaotique du spectre dispara? ?t d’un coup lorsqu’il devient continu sous la valeur de Freiman F. Une telle structure ressemble ` a celle du spectre d’un op? erateur. ] 3. Perspectives et? e mise au point. Une m? ethode de r? esolution des ? equations M s1 s2 (a, ?K, uθ ) a ? On a donn? e de nombreux exemples d’? equations dont toutes les solutions sont connues et entrent dans notre formalisme g? en? eral. Un projet important est de r? esoudre le maximum d’? equations de ce type pour approfondir la connaissance du spectre de Marko?. On peut automatiser cette r? esolution. Une des di?cult? es pour fournir des r? esultats g? en? eraux concerne le calcul du maximum qui d? e?nit toute constante de Marko?. Sur tous les cas pratiques ce n’est pas un probl` eme gr? ace ` a la th? eorie du polygone de Klein [430]. La m? ethode que l’on a d? evelopp? ee pour ? etudier nos ? equations rend moins cruciale une d? emonstration de la conjecture de Frobenius, Cassels et Zagier [861] [108] pour l’arbre de la th? eorie de Marko? classique. On a d’ailleurs pu montrer dans [628] que cette conjecture est bien sp? eci?que ` a la th? eorie classique. On n’a pas de r? esultat

34

? ` ? 2. RESOLUTION COMPLETE DE NOS EQUATIONS

analogue pour les triplets d’autres ? equations M s1 s2 (a, ?K, uθ ). La conjecture reste cependant ouverte, et on peut l’aborder avec les proc? ed? es qui ont ? et? e r? esum? es dans ce qui pr? ec` ede. Cependant, cette approche n’a pas encore permis de conclure. La notion de hauteur est essentielle pour faire fonctionner l’algorithme que l’on a mis au point pour r? esoudre nos ? equations. En fait il s’agit simplement d’une m? ethode de descente in?nie adapt? ee de celle tr` es classique de Pierre De Fermat. On dispose donc maintenant d’un ensemble d’exemples concrets d’? equations diophantiennes non compl` etement triviales sur lesquelles tester un certain nombre de conjectures classiques sur les hauteurs ([457] chapitre 2). On a vu dans le chapitre pr? ec? edent que nos ? equations ? etaient aussi donn? ees par une formule de trace (voir [632]). La question se pose de savoir si toutes le sont. Ceci revient ` a approfondir la fa? con dont le groupe du triangle T3 se plonge dans GL(2, Z), et ` a g? en? eraliser l’approche de [629] par la trace ` a toutes nos ? equations. Un point particulier sur lequel l’auteur voudrait se pencher est le fait que tout groupe d? enombrable G puisse ? etre plong? e en tant que sous groupe de GL(2, Z). On pourrait ainsi d? e?nir une trace pour ses ? el? ements [468], et la question se pose de savoir si cette trace d? epend du plongement que l’on consid` ere. Ceci donnerait aussi un d? ebut de r? eponse ` a la probl? ematique ? evoqu? ee dans [9] et explicable par le fait que tout groupe de matrices ferm? e dans GL(n, R) est un groupe de Lie [41]. On pourrait aussi pour un tel groupe G consid? erer les relations ?G et G ? qui s’en d? eduisent ` a droite et ` a gauche. On trouverait au quotient une structure arborescente. Pour G d’indice ?ni dans GL(2, Z) ceci fait un lien avec la th? eorie des dessins d’enfants ([823] p. 99). Et lorsque G est ?ni, ceci fait un lien avec l’interpr? etation de nos equations. Ce d? eveloppement conduit ` a g? en? eraliser notre article [629] avec une v? eritable correspondance de Galois entre groupes ?nis ou d? enombrables et structures arborescentes d? e?nies dans GL(2, Z), ainsi que sur une approche de la th? eorie de Galois inverse [733]. Les cons? equences pour les groupes de tresses et les groupes de classes d’applications (mapping class groups au sens de [74]) pourraient se r? ev? eler tr` es importantes. Ceux-ci sont en e?et d? enombrables, et seraient donc aussi plongeables dans GL(2, Z), tout comme les groupes GL(a +1, Z) dont les propri? et? es seraient donc accessibles par GL(2, Z), groupe dont on voudrait aussi d? evelopper l’arithm? etique. Une perspective connexe est d’? etendre ce qui pr? ec` ede ` a GL(a + 1, Z) et des ? equations poss? edant un nombre plus grand de termes, comme par exemple celle d? ej` a? etudi? ee par A. Hurwitz qui g? en? eralise l’? equation de Marko? classique [43] :
i=a i=a

x2 i = (a + 1)
i=0 i=0

xi .

Les r? esultats sous-jacents relatifs ` a des arbres Ta+1 ` a a + 1 branches en chaque noeud, et g? en? eralisant T3 , pourraient s’av? erer tr` es importants. Le lien entrevu dans [629] avec le th? eor` eme de Dyer et Formanek [497] laisse penser que des r? esultats profonds entre Ta+1 et GL(a + 1, Z) sont ainsi accessibles. L’auteur envisage aussi d’? etudier la fa? con dont GL(2, Z) est utilisable pour coder de l’information. Des id? ees de ce genre ont d? ej` a? et? e pr? esent? ees par W. Magnus qui a travaill? e pour la soci? et? e Telefunken apr` es 1930 (voir [510] p. 186).

CHAPITRE 3

Approche alg? ebrique
1. Introduction La question ? etudi? ee ensuite concerne la signi?cation alg? ebrique de nos ? equations diophantiennes M s1 s2 (a, ?K, uθ ). On a pu en donner une interpr? etation gr? ace aux r? eseaux de rang 2 sur Z. Ceci a permis de poursuivre le classement de ces ? equations diophantiennes avec ce qui est connu pour les corps quadratiques, et de r? einterpr? eter certains des r? esultats d? ej` a obtenus. Une observation essentielle a ? et? e que tout r? eseau complet d’un corps quadratique donne en fait naissance ` a une ? equation de Marko? g? en? eralis? ee, permettant d’envisager ses bouquets de solutions comme d? ecrivant des relations entre des id? eaux d’ordres quadratiques. On a aussi montr? e comment nos ? equations donnent des indications sur les points entiers et rationnels des courbes elliptiques en les plongeant dans des surfaces cubiques qui sont rationnelles. Ce point fait appara? ?tre un ph? enom` ene quantique de changement brutal des caract? eristiques d’une courbe elliptique r? eelle lorsque le plan qui lui donne naissance ` a l’intersection avec la surface cubique se d? eplace. Toute courbe elliptique r? eelle peut ? etre obtenue ainsi, ceci ouvre une perspective int? eressante. Le contenu de ce chapitre a ? et? e pr? esent? e aux Journ? ees Arithm? etiques de Lille [631]. 2. Lien de nos ? equations avec des corps quadratiques r? eels Dans l’essentiel des cas le nombre ?φ = ((a + 1)m + K1 ? K2 )2 ? 4ε1 ε2 est ecrit : positif. La condition de divisibilit? e condensant l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) s’? Deux cas apparaissent selon la parit? e de ? a+1 K = ε2 ((a + 1)m + K1 ? K2 ), que l’on regroupe en posant ?φ si ?φ ≡ 0 ( mod 4), τ = 1 et d = ?φ si ?φ ≡ 1 ( 4 √ τ + ?φ ? a+1 K ? τ τ+ d k= , ∈ Z, ? = = 2 2 2τ ?φ ? τ (2x ? τ )2 ? ?φ = x2 ? τ x ? . P? (x) = 4 4 Avec ces notations, la condition de divisibilit? e s’? ecrit simplement τ = 0 et d = m | m2 2 P? ( mod 4), 4m | (2m1 ? ? a+1 Km2 )2 ? ?φ (m2 )2 = 4φθ (m1 , ?ε2 m2 ).

m1 ? m2 k ). m2 √ Dans le cas d’? equations d? eg? en? e r? ees, Q( d) n’est pas un corps quadratique. Dans √ le cas d’? equations pointues, Q( d) est un corps quadratique imaginaire, Q(i) pour les cas pointus n? 1 o` u l’on retrouve la th? eorie de Marko? classique, Q(j ) pour les
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? 3. APPROCHE ALGEBRIQUE

√ eel li? e ` a cas pointus n? 2. Dans les autres cas Q( d) est un corps quadratique r? l’? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ). 2.1. Construction de Z-modules complets. L’? etude de la condition de divisibilit? e mise en ? evidence est un probl` eme tr` es classique de th? eorie des nombres (voir par exemple [ 465 ] Tome 1 p. 200). Elle s’interpr` e te dans le corps quadratique √ Q( d) en posant avec δ =pgcd(m, m1 , m2 ) > 0 : Avec par exemple [252] √ (p. 11) ou [80] (pp. 144-169), elle signi?e qu’il existe un eseau de rang eal Z-module complet de Q( d), dit aussi r? √ 2 sur Z. Il s’agit d’un id? e de l’ordre Om2 = Z[m2 ?] du corps quadratique Q( d) not? √ L’anneau des stabilisateurs du r? eseau M? 2 est un ordre Oc2 = Z[(m2 /δ )? ] de Q( d). ? En tant que module sur Z le r? eseau M? 2 a pour norme N (M2 ) = mδ . La forme quadratique associ? ee ` a cette base est ` a coe?cients dans Z et s’? ecrit : 1 f M? (x, y ) = (mx2 + (m2 ? a+1 K ? 2m1 )xy + (? ? ε2 (a + 1)m1 m2 )y 2 ). 2 δ Le lien avec les formes quadratiques φθ (z, y ) et Fθ (x, y ) appara? ?t alors en posant ? z = mx ? m1 y et y = ε2 m2 y dans la forme fM? associ? e e a ` M : 2 2 M? 2 = (δ )(c2 ; e2 + f2 ? ) = {xm + y (m2 (k + ? ) ? m1 ) | x, y ∈ Z}. c2 = m/δ, e2 ≡ (m2 k ? m1 )/δ ( mod c2 ) avec 0 ≤ e2 < c2 , f2 = m2 /δ > 0,

mδfM? (x, y ) = φθ (z, y) = N (z ? y(mθa (S ) ? K1 )). 2 √ La forme φθ est donc une norme du corps quadratique Q( d), ce qui explique sa propri? et? e de multiplicativit? e. Les calculs pr? ec? edents mettent l’accent sur le r? eseau Mθ = {xm ? ymθa (S ) | x, y ∈ Z}, avec lequel on a obtenu : Proposition 2.1. La forme quadratique associ? ee a ` [1, ?(mθa (S ) ? K1 )] base √ de l’ordre maximal Oθ = Z[?] = Z[?(mθa (S ) ? K1 )] du corps quadratique Q( d) vaut, avec N (Oθ ) = 1,

Cet ordre contient un id? eal entier Mθ = {xm + ymθa (S ) | x, y ∈ Z}, de norme m, et dont la forme quadratique associ? ee a ` la base [m, ?mθa (S )] vaut mFθ (x, y) = fMθ (x, y) = N (x ? ymθa (S )) . N (Mθ )

φθ (z, y) = fOθ (z, y) = N (z ? y(mθa (S ) ? K1 )).

2.2. D’autres Z-modules complets. L’ordre Om2 = Z[m2 ?] est un sousanneau de l’ordre maximal Oθ . On peut poser avec son id? eal M? 2 : ? Pour ε2 = 1 : ? Pour ε2 = ?1 : M2 = M? 2 = {(x + y ((a + 1)m2 ? k2 ))m + (ym2 )mθa (S ) | x, y ∈ Z} ? Mθ .

M2 = M? 2 = {(x ? y ((a + 1)m2 ? k2 ))m ? (ym2 )mθa (S ) | x, y ∈ Z} ? Mθ . √ Avec le r? eseau Mδθ = {xm ? yδmθa (S ) | x, y ∈ Z} de Q( d), on a alors :

Proposition 2.2. Avec les notations pr? ec? edentes et les r? eseaux introduits, la condition de divisibilit? e donne les inclusions M2 ? Mδθ ? Mθ , M2 ? Mδθ ? Mθ .

? ? 2. LIEN DE NOS EQUATIONS AVEC DES CORPS QUADRATIQUES REELS

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2.3. Une d? ecomposition en produit. Dans ce que l’on vient de voir, on aurait pu permuter m1 et m2 . D’o` u un calcul comparable a ce qui pr? ec` ede, dans √ ` eme corps quadratique Q( d). Ceci d? l’ordre Om1 = Z[m1 ?] du m? e?nit un r? eseau M? = ( δ )( c ; e + f ? ), sa norme mδ , sa forme quadratique associ? e e de discrim1 1 1 1 2 inant (m2 1 ?φ /δ ), son anneau de stabilisateurs O(m1 /δ ) = Z[(m1 /δ )? ]. La forme quadratique associ? ee se calcule facilement. L’ordre Om1 = Z[m1 ?] est un autre sous-anneau de l’ordre maximal Oθ qui permet de poser : ? Pour ε1 = ?1 : ? Pour ε1 = 1 : M1 = M? 1 = {(x ? yk1 )m + (ym1 )mθa (S ) | x, y ∈ Z} ? Mδθ ? Mθ .

Il devient alors int? eressant de consid? erer le produit M1 M2 , ce qui a bien un sens ([252] p.20). En compl? etant avec les classes de similitude [252] (p. 22), on a ainsi obtenu : Proposition 2.3. Dans l’id? eal Mδθ ={xm ? yδmθa (S ) | x, y ∈ Z} de l’ordre Oθ = Z[?] existent deux r? eseaux M2 = {(x + y ((a + 1)m2 ? k2 ))m + (ym2 )mθa (S ) | x, y ∈ Z}. ede pour anneau de Le premier est un id? eal de l’anneau Om1 = Z[m1 ?]. Il poss` stabilisateurs O(m1 /δ) = Z[(m1 /δ )?] et a pour norme mδ . Le second est un id? eal ede en tant qu’anneau de stabilisateurs l’ordre de l’anneau Om2 = Z[m2 ?]. Il poss` O(m2 /δ) = Z[(m2 /δ )?] et a aussi pour norme mδ . En?n on a ou avec les classes de similitudes des r? eseaux [M1 ][M2 ] = [Mδθ ]. On a des conditions comparables pour les r? eseaux conjugu? es. 2.4. Equation d’un Z-module complet quelconque. La donn? ee d’un id? √eal I = (δ )(c; e + f ?) quelconque dans un ordre Om2 d’un corps quadratique Q( d), o` u d sans facteur carr? e, conduit inversement ` a une condition de divisibilit? e et ` a une ? equation diophantienne, et ceci pour toute valeur m2 . Pour le voir, on g? en? eralise les calculs pr? ec? edents en les prenant ` a l’envers. Ceci a donn? e: Proposition 2.4. Tout id? eal d’un ordre Om2 d’un corps quadratique quel√ e?nit une relation diophantienne. Avec les conditions ε′ conque Q( d) d? 2 ∈ Z\{0} ′ ′ ′ et ε1 = ε2 ε ∈ Z elle s’? ecrit Elle correspond avec (m, m1 , m2 ) ∈ (N \{0})3 aux conditions suivantes o` u ? a+1 ∈ Z ′ et ε ∈ Z a+1 m | (m2 m1 m2 + ε ′ m2 1?? 2 ), δ = pgcd(m, m1 , m2 ).
2 ′ 2 ′ a+1 m2 + ε ′ m1 m2 ? u′ m. 2 m1 + ε1 m2 = (a + 1)mm1 m2 ? ε2 ?

M1 = M? 1 = {(x + yk1 )m ? (ym1 )mθa (S ) | x, y ∈ Z} ? Mδθ ? Mθ .

M1 = {(x ? yk1 )m + (ym1 )mθa (S ) | x, y ∈ Z},

M1 M2 = mMδθ = {xm2 ? yδm2 θa (S ) | x, y ∈ Z},

Une telle ? equation en (m, m1 , m2 ) g? en? eralise nos ? equations M s1 s2 (a, ?K, uθ ). Elle est di?? erente de celles ? etudi? ees dans [561] ou [682]. Elle correspond seulement ` a la donn? ee d’un r? eseau d’un corps quadratique. Le fait que toute forme quadratique enti` ere binaire ind? e?nie peut ? etre r? eduite, et donne donc une forme de Marko?, montre que l’on peut traiter la r? esolution des nouvelles ? equations ici mises en ? evidence par les m? emes moyens que ceux d? evelopp? es ci dessus. De telles

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? 3. APPROCHE ALGEBRIQUE

? equations ont par exemple ? et? e ? etudi? ees par G. Rosenberger [682]. Remarquons que la proposition que l’on vient de faire s’applique pour tout id? eal d’un ordre de corps quadratique quelconque, m? eme avec d n? egatif. La situation ici d? ecrite est donc beaucoup plus g? en? erale que celle que l’on envisageait ci-dessus. La di?? erence ′ ∈ Z , ε ∈ Z \{ 0 } . La d? e composition en produit de deux r? e seaux est que l’on a ε′ 2 1 appara? ?t maintenant li? ee au fait que l’on a ε′ = ±1, et donc que ?φ est de forme (? a+1 )2 ± 4. Cette propri? et? e permet d’? echanger les r? oles de m1 et m2 dans la condition de divisibilit? e, donc de construire un autre id? eal avec lequel le produit d’id? eaux peut ? etre fait. En r? ealit? e, pour parvenir ` a la derni` ere proposition on a impos? e la contrainte suppl? ementaire que d soit sans facteur carr? e. Si l’on admet au contraire de poser ?φ = (? a+1 )2 ± 4 = λ2 d, avec λ ∈ Z, ce qui ne change pas le corps quadratique que l’on consid` ere et conduit ` a r? esoudre un ? equation de Pell-Fermat pour identi?er λ, ′ on peut d? evelopper le calcul pr? ec? edent en imposant ε′ 1 , ε2 ∈ {?1, +1}. Ceci montre que nos ? equations sont en fait aussi g? en? erales que les pr? ec? edentes. En choisir une revient lorsqu’elle est non singuli` ere ` a consid? erer un r? eseau complet dans un corps quadratique, et non un r? eseau quelconque d’un tel corps. On a pu d? evelopper cette approche en examinant la signi?cation pour nos ? equations du fait que les r? eseaux correspondants sont strictement semblables, ainsi que la traduction pour les r? eseaux de l’action du groupe du triangle T3 sur les solutions et de l’existence d’un nombre ?ni de bouquets de solutions. On trouve dans [353] des indications sur l’interpr? etation g? eom? etrique qui peut ? etre donn? ee de tels r? esultats. Le formalisme qui en d? ecoule permet de syst? ematiser les r? esultats disponibles sur le lien entre arbres, ordres maximaux et formes quadratiques, tels que cit? es dans [610] ou [807] (p. 41). Le point essentiel en vue est un lien entre le nombre de classes d’un corps quadratique et le nombre de bouquets de solutions pour certaines de nos ? equations. 3. Lien de nos ? equations avec les courbes elliptiques L’id? ee approfondie maintenant peut ? etre comprise tr` es simplement de fa? con g? eom? etrique. Avec des variables (x, y, z ) ∈ R3 , on consid` ere une surface cubique ee par un plan, elle donne une courbe cur? eelle d’? equation M s1 s2 (b, ?K, u). Coup? bique dont on ? etablit dans di?? erents cas qu’elle est elliptique. Disposant alors, gr? ace ` a l’action du groupe T3 , d’informations sur les points entiers de la surface, on esp` ere en d? eduire des cons? equences pour les points entiers de la courbe elliptique. Di?? erentes tentatives faites pour concr? etiser cette id? ee sur l’? equation de Marko? classique se sont r? ev? el? ees infructueuses. Mais on a pu la d? evelopper sur nos ? equations g? en? eralis? ees, on va expliquer comment et pourquoi. On donne d’abord un exemple pour montrer comment cette approche fonctionne. 3.1. Un exemple. On consid` ere l’? equation M ++ (2, 0, ?2). On conna? ?t un triplet de solutions (m, m1 , m2 ) = (73, 8, 3). Il correspond aux param` etres K1 = K2 = 46, k1 = k12 = 5, k2 = k21 = 2. Ces valeurs v? eri?ent par exemple la relation 2m1 = 5m2 + 1. En la combinant avec la relation M ++ (2, 0, ?2) liant m, m1 , m2 , on obtient : Proposition 3.1. Consid? erons la courbe r? eelle E d’? equation cubique 30xz 2 ? 4x2 + 6xz ? 29z 2 + 8x ? 10z ? 1 = 0,

? 3. LIEN DE NOS EQUATIONS AVEC LES COURBES ELLIPTIQUES

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Il s’agit d’une courbe elliptique o` u existe un point entier (x, z ) = (m, m2 ) = (73, 3). Inversement tout point entier (x, z ) = (m, m2 ) ∈ Z2 de cette courbe elliptique E est de plus tel qu’il existe un point entier (x, y, z ) = (m, m1 , m2 ) ∈ Z3 situ? e sur la surface cubique r? eelle M ++ (2, 0, ?2) d’? equation x2 + y 2 + z 2 = 3xyz + 2x. La partie d? elicate consiste ` a d? emontrer que E est bien elliptique. On utilise pour cela l’algorithme de r? eduction de Nagell [579], tel qu’il est pr? esent? e dans [140] ou [157]. On renvoie ` a [632] pour la d? emonstration e?ective. 3.2. Cas singuliers. On d? esigne par M s1 s2 (b, ?K, u) la surface cubique que l’on consid` ere, not? ee comme l’? equation la d? e?nissant. On la coupe par un plan Π(t1,ρ ,t2,ρ ) d’? equation u = t1,ρ z ? t2,ρ y . Cette ? equation d? erive de l’expression de u d? ej` a vue, sachant que l’on note avec ρ ∈ Z t1,ρ = k1 + k12 ? ρm1 = t1 ? (ρ ? 1)m1 , t2,ρ = k2 + k21 ? ρm2 = t2 ? (ρ ? 1)m2 . L’intersection est une courbe que l’on note E(t1,ρ ,t2,ρ ) . Le calcul pr? ec? edent ne peut absolument pas fonctionner pour l’? equation de Marko? classique M ++ (2, 0, 0) car elle donne t1 = t2 = u = 0. Dans un tel cas dit totalement singulier, le plan Π(t1,ρ ,t2,ρ ) avec lequel couper notre surface cubique n’est pas d? e?ni. A fortiori, on n’obtient pas une courbe elliptique, m? eme en changeant la valeur de ρ. De nombreux cas totalement singuliers ont pu ? etre fabriqu? es. Hors ces cas qu’on laisse maintenant de c? ot? e, on voit que d’autres situations dites partiellement singuli` eres se pr? esentent. Le plan Π(t1,ρ ,t2,ρ ) est calculable, e mais son intersection avec la surface cubique M s1 s2 (b, ?, u) est une courbe de degr? inf? erieur ou ? egal ` a 2. On a donn? e des exemples dans [632]. 3.3. Cas g? en? eral. On consid` ere maintenant les cas non singuliers o` u l’on a n? ecessairement t1,ρ t2,ρ = 0. Pour la courbe cubique E(t1,ρ ,t2,ρ ) on trouve une ? equation ` a coe?cients entiers. L’algorithme de Nagell peut lui ? etre appliqu? e. Hors quelques cas particuliers que l’on peut expliciter, la courbe fabriqu? ee par cet algorithme est elliptique. Les cas qui ? echappent peuvent ? etre ? etudi? es de fa? con s? epar? ee. De sorte qu’on a mis en ? evidence pour toute surface cubique r? eelle M s1 s2 (b, ?K, u) un ensemble de courbes elliptiques E(t1,ρ ,t2,ρ ) qui lui sont attach? ees, et de points entiers en nombre ?ni sur la courbe E(t1,ρ ,t2,ρ ) qui sont ? egalement sur la surface. En ?t se limitant ` a ρ = 0, tout point entier de la surface cubique M s1 s2 (b, ?K, u) appara? sur une courbe elliptique E(t1,ρ ,t2,ρ ) contenue dans la surface. Inversement, si l’on consid? ere un point entier (x, z ) = (m, m2 ) ∈ Z2 d’une courbe elliptique E(t1,ρ ,t2,ρ ) , son ? equation fournit dans Z une condition qui impose que m1 soit rationnel. La forme particuli` ere de l’? equation de degr? e 2 en m1 d? eduite ealit? e m1 est entier. de l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) montre alors qu’en r? En d’autres termes les points entiers de la courbe E(t1,ρ ,t2,ρ ) sont exactement les es dans le plan Π(t1,ρ ,t2,ρ ) . points entiers de la surface M s1 s2 (b, ?K, u) qui sont situ? Par le th? eor` eme de Mordell ([561] chapter 27), on ne trouve qu’un nombre ?ni de points entiers sur la courbe E(t1,ρ ,t2,ρ ) . Cependant, en g? en? eral la surface ede une in?nit? e de points entiers comme on l’a vu avec les M s1 s2 (b, ?K, u) poss` contructions arborescentes faites au moyen des triplets de Cohn. Ils se classent d’ailleurs, dans le cas le plus g? en? eral, en un nombre ?ni d’orbites pour l’action du groupe T3 . Ceci permet de classer les points de la courbe E(t1,ρ ,t2,ρ ) . Pour

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? 3. APPROCHE ALGEBRIQUE

des compl? ements sur les points entiers des courbes elliptiques et leur calcul e?ectif, on renvoie ` a [757] (XIII.3.). Une ? etude plus globale de cette situation reste ` a faire, sachant que le contexte des surfaces elliptiques ([748] chapter 3) fournit des ? el? ements de compr? ehension int? eressants et que l’on peut consid? erer des plans plus g? en? eraux avec lesquels couper la surface. 3.4. Description g? eom? etrique de la surface cubique. La surface r? eelle etre ? etudi? ee avec des m? ethodes classiques de g? eom? etrie cubique M s1 s2 (b, ?K, u) peut ? alg? ebrique (voir par exemple [329]). On complexi?e les variables pour simpli?er les ? enonc? es lorsque c’est n? ecessaire. 3.4.1. Points singuliers. L’? equation d? e?nissant la surface est d’ordre 3 est : F (x, y, z ) = (b + 1)xyz ? x2 ? ε2 y 2 ? ε1 z 2 + ε2 ?Kyz ? ux = 0. Les points singuliers non ` a l’in?ni, points doubles lorsqu’ils existent, sont calculables : x = 0, ?K = ±2, 2z = ?Ky, u = (b + 1)yz, x = u = (ε2 ε′ (b + 1)y 2 /3), ε2 ?K = 2ε′ ? u(b + 1), z = ε2 ε′ y. En dehors de tous ces cas qui sont assez nombreux et contiennent par exemple la th? eorie de Marko? classique, la surface ne poss` ede pas de point singulier, et est donc non singuli` ere. 3.4.2. G? en? eratrices. La surface a des points doubles ` a l’in?ni, les points ` a l’in?ni des axes du rep` ere. Il s’agit des sommets A, B, C, d’un triangle dont les c? ot? es sont des g? en? eratrices, c’est-` a-dire des droites contenues dans la surface, mais dans ce cas situ? ees ` a l’in?ni sur la surface. Par construction, les autres g? en? eratrices de la surface sont ` a distance ?nie et parall` eles ` a l’un des plans de coordonn? ees. Elles peuvent toutes ? etre calcul? ees [632]. Au total il existe huit g? en? eratrices parall` eles au plan yOz . Par le m? eme proc? ed? e on obtient huit g? en? eratrices parall` eles au plan xOy et huit g? en? eratrices parall` eles au plan xOz . Au total, on trouve ainsi les (3 × 8)+3 = 27 g? en? eratrices r? eelles ou complexes de Cayley et Salmon pour la surface cubique ? etudi? ee [338]. En utilisant une m? ethode classique (par exemple [84] p. 466) on en d? eduit une repr? esentation rationnelle de la surface qui ne fait que traduire dans ce cas particulier le fait que toute surface du troisi` eme ordre est rationnelle (unicursale). Il est int? eressant d’expliciter une telle a l’intersection avec repr? esentation rationnelle de M s1 s2 (b, ?K, u) pour comprendre, ` des plans comme ceux utilis? es dans ce qui pr? ec` ede, les cons? equences pour les courbes elliptiques que l’on a mises en ? evidence ci-dessus. Dans le cas o` u un point double existe ` a distance ?nie sur la surface, toute droite passant par ce point d? e?nit aussi une telle repr? esentation rationnelle de la surface cubique. Dans les autres cas, on peut ? egalement appliquer la m? ethode de la tangente due ` a B. Segre [715] pour construire une repr? esentation rationnelle de la surface. 3.4.3. Repr? esentation rationnelle de la surface cubique r? eelle. On a d? ecrit dans [632] la construction d’une telle repr? esentation. On consid` ere la trace de la surface d’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) dans le plan (b + 1)x + ε2 ?K = 0. C’est en dehors de cas limites ou impossibles, une conique. Ceci permet de consid? erer un point ?(X , Y , Z ) sur cette conique dont les coordonn? ees sont ? ecrites avec un premier param` etre ?. On passe alors dans un rep` ere d’origine ? avec x = X + x0 , y = Y + y0 , z = Z + z0 . L’? equation de la surface s’? ecrit alors avec des polyn? omes homog` enes Φi de degr? ei

4. PERSPECTIVES

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en x0 , y0 , z0 : Φ3 (x0 , y0 , z0 ) + Φ2 (x0 , y0 , z0 ) + Φ1 (x0 , y0 , z0 ) = 0. Le plan tangent en ? ` a la surface a pour ? equation Φ3 (x0 , y0 , z0 ) = (b +1)x0 y0 z0 = 0. On change ` a nouveau de rep` ere en l’utilisant pour poser L’? equation de la surface s’? ecrit avec des polyn? omes Ψi de degr? e i en x1 , y1 , z1 : Ψ3 (x1 , y1 , z1 ) + Ψ2 (x1 , y1 , z1 ) + Ψ1 (x1 , y1 , z1 ) = 0. Avec une droite d’? equation z1 = 0 et x1 = λy1 passant par le point double ? du plan tangent, et coupant donc la surface en un troisi` eme point dont les coordonn? ees sont calculables, on obtient une repr? esentation en λ et ? en rempla? cant X , Y , Z , par leurs expressions en fonction de ? et en r? eduisant les formules qui en r? esultent. Ceci donne une repr? esentation birationnelle ` a deux param` etres λ et ? de la sureelle rationnelle de face M s1 s2 (b, ?K, u) qui est donc ([329] p. 422) une surface r? dimension de Kodaira κ = ?1. Il en d? ecoule la possibilit? e de la comparer ` a un plan projectif r? eel construit sur les deux variables λ et ?. Cette repr? esentation d? eg? en` ere en celle utilis? ee par H. Cohn dans l’article [148] et due ` a R. Fricke [270] pour le cas de la th? eorie de Marko? classique. On trouve dans [40] des r? ef? erences pour obtenir d’autres repr? esentations rationnelles des surfaces M s1 s2 (b, ?K, u). Elles donnent la possibilit? e de d? ecrire l’ensemble des points rationnels E (Q) des courbes elliptiques E que l’on introduit ` a l’intersection de la surface cubique avec un plan d’? equation rationnelle. Ces points sont param? etr? es au moyen de λ et ? v? eri?ant une contrainte alg? ebrique suppl? ementaire en rempla? cant y et z par leurs expressions dans la relation d? e?nissant le plan. 4. Perspectives Le dernier sujet ? evoqu? e, o` u changer de plan revient ` a d? eformer la courbe elliptique r? eelle E avec de temps en temps des sauts quantiques pour les structures alg? ebriques qu’elle porte, reste enti` erement ` a explorer. On a pens? e` a l’utiliser par pour construire des courbes elliptiques de grand rang. La surface M s1 s2 (b, ?K, u) est utilis? ee pour contr? oler la g? eom? etrie des courbes elliptiques r? eelle E qu’elle contient. Ces courbes ne sont d’ailleurs pas rationnelles. Elles donnent un bon exemple de la remarque bien connue ([477] p.171) que les sections planes d’une surface rationnelle ne sont pas n? ecessairement des courbes rationnelles. La m? ethode suivie a consist? e` a utiliser la plus petite vari? et? e rationnelle contenant une vari? et? e alg? ebrique donn? ee pour ? etudier cette derni` ere. Remarquons que l’on peut adapter ` a la surface M s1 s2 (b, ?K, u) la construction de la structure de groupe d’une courbe elliptique. On trouve dans [440] (chapter 1) une approche moderne des surfaces cubiques X non singuli` eres montrant comment elles permettent de construire un r? eseau Z7 ? equip? e d’un produit scalaire de signature (1, ?6). Ce r? eseau peut ? etre d? ecrit en terme d’homologie ou de cohomologie. Il est ? egal ` a son groupe de classes de diviseurs P ic(X). Sur de telles surfaces, on peut d? evelopper une th? eorie de Galois avec le groupe de Weyl W (E6 ), qui correspond aux permutations de leurs 27 droites dans 45 plans tritangents [329] (p. 405). On met ainsi en ? evidence pour une telle cubique sur C un groupe simple ` a 29520 ? el? ements que l’on peut repr? esenter comme groupe unitaire U4 (2) sur le corps F4 , comme groupe symplectique P Sp4 (3) sur le corps ? F3 , comme groupe orthogonal O6 (2) sur le corps F2 [168]. Les surfaces cubiques x1 = x0 , y1 = y0 , z1 = ((b + 1)YZ ? 2X ? u)x0 ? 2ε2 Y y0 ? 2ε1 Z z0 .

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? 3. APPROCHE ALGEBRIQUE

sont en particulier des exemples bien connus de surfaces Del Pezzo [329] (p.401). En se limitant au cas r? eel, la th? eorie de Galois que l’on vient d’? evoquer donne des indications sur les con?gurations que l’on peut trouver. On trouve dans [373] (chapitres 5 et 6) de magni?ques d? eveloppements autour de W (E6 ). On a un lien ? evident avec un syst` eme de Steiner particulier, le plan projectif d’ordre 2 dit plan de Fano [33] (p.4), certains syst` emes r? eguliers de poids [695] (p. 522), et les alg` ebres event de cette approche. de Lie [475]. Les surfaces r? eelles M s1 s2 (b, ?K, u) rel` ` Il est aussi possible d’envisager la transposition de l’article de M. H. El’-Huti [244]. Des d? eveloppements comparables ` a ceux de [515] [516] (p. 89) permettent de calculer le groupe de tous les automorphismes birationnels de la surface cubique eri?er que son action sur l’ensemble des solutions enti` eres de M s1 s2 (b, ?K, u), et de v? l’? equation diophantienne correspondante est transitive. Le r? esultat obtenu est essen` tiellement le m? eme que celui de El’-Huti. Il donne une repr? esentation g? eom? etrique du groupe T3 par le groupe des transformations de la surface engendr? e par des r? e?exions par rapport aux points doubles ` a l’in?ni A, B, C. Ce groupe agit transitivement dans l’ensemble des solutions enti` eres de l’? equation diophantienne etation g? eom? etrique expliM s1 s2 (b, ?K, u). Ceci permet de disposer d’une interpr? quant avec le groupe du triangle T3 les structures arborescentes que l’on a construites avec les triplets de Cohn. On peut ? egalement caract? eriser en tant que groupe d’automorphismes birationnels de la surface le groupe engendr? e par T3 et le groupe W de tous les automorphismes projectifs de la surface qui sont bir? eguliers en dehors de l’ensemble des points des c? ot? es du triangle A, B, C. Ceci permet de d? ecrire le groupe de etudier sur des exemples non triviaux des Brauer de la surface M s1 s2 (b, ?K, u) et d’? probl` emes comtemporains de g? eom? etrie arithm? etique [457] [169] [368]. On renvoie ` a [516] [156] [772] [731] [155] [392] [40] [749] pour la perspective d? ej` a envisag? ee dans [624] indiquant qu’il n’y a pas de contre exemple au principe de Hasse sur nos ? equations. Une piste d’? etude qui para? ?t aussi prometteuse [155] (p. 397) est de faire un lien avec les surfaces de Severi-Brauer construites avec la norme d’un corps cubique. Cette construction de F. Ch? atelet fait jouer un r? ole particulier au groupe des permutations de trois ? el? ements, groupe que l’on repr? esente sur nos surfaces par des transformations g? eom? etriques permutant les points doubles A, B et C. L’? etude du lien avec les surfaces elliptiques ([329] (chapitre V) [740] [272]) est ? egalement une piste que l’on voudrait approfondir, en recherchant quel type d’ensemble on doit extraire pour passer d’un type de surface ` a un autre. Les autres r? esultats obtenus ont montr? e que nos surfaces ont un lien ? etroit avec des r? eseaux complets des corps quadratiques, raison pour laquelle on pense qu’elles ne donnent pas de contre-exemple au principe de Hasse. Di?? erentes perspectives ont ? et? e identi?? ees, dont celle de relier arbres et ordres. L’interpr? etation locale sur nos surfaces cubiques de tous ces r? esultats est possible. Une autre id? ee est d’? eclairer la r? e?exion sur les grandes conjectures non encore r? esolues sur les courbes elliptiques [845]. On peut passer des corps quadratiques ` a des corps plus g? en? eraux et chercher ` a transposer ce qui pr? ec` ede.

CHAPITRE 4

Approche analytique
1. Introduction La th? eorie de Marko? classique, notamment dans la pr? esentation de Harvey Cohn [143], est li? ee ` a la g? eom? etrie de certains tores perc? es conformes et ` a leurs g? eod? esiques. La question qui s’est pos? ee a ? et? e de savoir s’il en est de m? eme de la g? en? eralisation que l’on a mise au point pr? ec? edemment. Ce probl` eme a ? et? e r? esolu. Pour le faire on a caract? eris? e d’abord les tores perc? es, puis on a fait le lien avec les matrices mises en ? evidence dans les calculs des chapitres pr? ec? edents. Ceci est possible gr? ace ` a une ? equation g? en? eralisant celle de Marko? ` a tout tore perc? e conforme. Elle justi?e a posteriori le bien fond? e du choix des ? equations M s1 s2 (b, ?K, u) que l’on a mises en avant. Les d? e?nitions utilis? ees pour la g? eom? etrie hyperbolique sont classiques et issues de [632]. On a pu ` a partir de l` a e?ectuer une classi?cation des tores perc? es conformes construits sur un m? eme tore perc? e topologique. L’originalit? e de ce qui suit r? eside essentiellement dans le traitement rigoureux des tores perc? es paraboliques. Il con?rme que ces tores sont donn? es par l’? equation de la th? eorie de Marko? classique. Le fait que l’on caract? erise r? eellement ainsi tous les groupes de Fricke a ? et? e? enonc? e il y a longtemps ([273] [681] [418]), mais les nombreuses d? emonstrations qui existent dans la litt? erature pr? esentent des lacunes ([293] p. 3), ce qui ne semble pas le cas de notre approche. On donne dans la suite un exemple d’? enonc? e que l’on est oblig? e de prendre avec une grande prudence. Le contre-exemple que l’on a donn? e dans le cas d’un tore perc? e hyperbolique a montr? e qu’il est associ? e` a un groupe non libre semble compl` etement nouveau. Et le lien d? ecouvert avec une probl? ematique de g? eom? etrie alg? ebrique donne une perspective de compr? ehension commune pour les deux cas pr? ec? edents. Elle relie le groupe de matrices que l’on consid` ere ` a un groupe de diviseurs d’une surface. Ceci a permis d’? elaborer le point de vue analytique de la th? eorie dont le point de vue alg? ebrique a? et? e esquiss? e au chapitre pr? ec? edent [732]. Le texte qui suit d? eveloppe l’approche qui a conduit ` a ces r? esultats. Ils ont ? et? e pr? esent? es lors de conf? erences faites en 19961997 ` a une ? ecole th? ematique du CNRS [622] et ` a l’Institut des Mat? eriaux du Mans [471]. 2. Construction de tores perc? es conformes Les tores perc? es ? etudi? es sont construits ` a partir du demi-plan de Poincar? e H. On indexe de fa? con naturelle chacun d’eux par des n-uplets de nombres r? eels. Ces nombres sont li? es par des relations qui les organisent en un nouvel objet g? eom? etrique V . On construit donc un ensemble de surfaces de Riemann (H/Γs )s∈V , des tores perc? es dont le support topologique est le m? eme, mais dont la g? eom? etrie est d? ecrite d’une fa? con particuli` ere en chaque point de l’objet s ∈ V . Cette approche, qui revient ` a param? etrer des structures de surfaces de Riemann di?? erentes existantes
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4. APPROCHE ANALYTIQUE

sur un m? eme objet topologique, est celle de la th? eorie de Teichm¨ uller [419] [380] [720] [578]. On l’a d? evelopp? ee sur les tores perc? es en ? evoquant le probl` eme du choix de l’objet V le plus pertinent et des variables que l’on peut cacher en raisonnant ` a ? equivalence conforme ou isom? etrique pr` es de H. 2.1. Les deux matrices d’un tore perc? e conforme. Pour construire un tore perc? e T ? par extraction d’un point, on utilise quatre g? eod? esiques de H not? ees αs, sβ , βp, pα, ne se coupant pas, et dont les extr? emit? es α, s, β , p, sont situ? ees sur la droite r? eelle qui constitue le bord de H. Elles d? elimitent un domaine quadrangulaire de H. On convient que les sommets α, s, β , p, apparaissent dans cet ordre lorsque l’on d? ecrit ce bord de ?∞ ` a +∞. Il s’agit de nombres r? eels. Mais on suppose que p peut ? eventuellement prendre une valeur in?nie. En e?et les points ?∞ et +∞ du bord de H sont confondus au seul point ` a l’in?ni ∞, compacti?ant ce bord en une droite projective S 1 = P1 (R). Ce bord compacti?e H lui-m? eme d’une certaine fa? con, sous forme d’une demi-sph` ere ferm? ee (ou d’un disque ferm? e). Pour retrouver le tore perc? e` a partir de l` a, on identi?e deux ` a deux les g? eod? esiques pr? ec? edentes par des transformations tA : αp → sβ, tB : αs → pβ. Ceci revient ` a construire le tore en collant gr? ace ` a tA et tB les bords du domaine quadrangulaire d? e?ni ci dessus. Dans cette op? eration, le point extrait du tore correspond aux quatre points α, s, β , p, qui sont identi?? es par tA ou tB . Ils n’ont pas d’image dans l’objet construit car ils sont situ? es au bord de H et non dans H. Pour conserver un maximum de propri? et? es g? eom? etriques, et pas seulement les propri? et? es topologiques sous jacentes, les transformations tA et tB doivent ? etre des isom? etries de H pour sa m? etrique habituelle. Si on veut qu’elles conservent aussi l’orientation et les angles, elles doivent ? etre des transformations conformes tA et tB donn? ees par des matrices A et B de SL(2, R). Avec les extr? emit? es des g? eod? esiques, les matrices A et B remplissent des conditions qui permettent de les calculer en fonction des nombres α, s, β , p : Proposition 2.1. A une conjugaison pr` es par une matrice M de SL(2, R), on a la repr? esentation param? etrique suivante pour les matrices A et B d? e?nissant un tore perc? e conforme, construites dans SL(2, R) avec α < 0 et β > 0 : A= B= cβ c ?cαβ (1/cβ ) ? cα o` u c = 0,

c′ α ?c′ αβ o` u c′ = 0 . ′ c (1/c′ α) ? c′ β De telles matrices sont associ? ees aux valeurs α < 0, s = 0, β > 0, et p = ∞, du bord de H, qu’elles transforment comme suit : A(α) = s, A(p) = β, B (β ) = s, B (p) = α. A(αp) = sβ, B (αs) = pβ. Elles donnent pour les g? eod? esiques associ? ees de H

Les expressions donn? ees pour A et B dans cette proposition r? esultent du calcul de leur d? eterminant qui vaut 1. Raisonner ` a? equivalence conforme pr` es de H a permis de cacher deux param` etres. Ceux qui restent d? e?nissent un objet g? eom? etrique r? eel V de dimension 4 gr? ace auquel on indexe toutes les possibilit? es de couples (A, B ). A? equivalence conforme pr` es de H, on indexe toutes les possibilit? es de tores perc? es

? CONFORMES 2. CONSTRUCTION DE TORES PERCES

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conformes avec les param` etres conserv? es (α, β, c, c′ ) ∈ V . L’objet g? eom? etrique V est d? e?ni par les contraintes α < 0 , β > 0 , c = 0 , c′ = 0 . 2.2. Le groupe fuchsien d’un tore perc? e conforme. Ayant identi?? e deux matrices A et B par le r? esultat pr? ec? edent, on consid? ere dans SL(2, R) le groupe qu’elles engendrent G = gp(A, B ). Son image par le morphisme canonique ψ de SL(2, R) dans P SL(2, R) est not? ee Ce groupe de transformations conformes agit sur le demi-plan de Poincar? e H. Au ? quotient, on trouve un tore perc? e par extraction d’un point TΓ = H/Γ. En trans? portant la m? etrique de H sur ce quotient, la projection H → TΓ devient une appli? cation conforme. On dit que A et B sont les matrices du tore perc? e conforme TΓ ? et que le groupe Γ = gp(A, B ) est un groupe fuchsien d? e?nissant TΓ . Evidemment, ? un m? eme tore perc? e TΓ peut correspondre ` a d’autres couples de g? en? erateurs (A, B ) de G et ` a d’autres couples de g? en? erateurs (a, b) du groupe Γ. 2.2.1. Notion de groupe de Fricke. La th? eorie de Marko? classique [143] entre dans le cadre g? eom? etrique que l’on vient de pr? esenter avec c = β = ? c′ = ? α = 1 , A = A0 = 1 1 1 2 , B = B0 = 1 ?1 ?1 2 Γ = P G = P gp(A, B ) = G/G ∩ {±12 } = gp(ψ (A), ψ (B )) = gp(a, b).

.

Ces deux matrices engendrent [511] le sous-groupe normal d? eriv? e du groupe discret SL(2, Z), d’o` u un groupe fuchsien de P SL(2, Z) isomorphe ` a F2 , le groupe libre de rang 2. G? en? eralisant cet exemple, on dit qu’un groupe fuchsien Γ = P G est un groupe de Fricke si et seulement s’il v? eri?e les deux conditions [681] [700] : (1) : Le groupe Γ est isomorphe ` a un groupe libre ` a deux g? en? erateurs F2 = Z ? Z. (2) : La surface de Riemann H/Γ poss` ede un espace topologique support qui est hom? eomorphe ` a un tore topologique perc? e par extraction d’un point. Dans le cas g? en? eral, il n’est pas toujours simple de d? emontrer que Γ est un groupe fuchsien [293]. Il n’est pas non plus n? ecessairement facile de montrer que l’on a affaire ` a un groupe libre [588]. Pour cela, on a besoin de connaitre un minimum des propri? et? es des matrices A et B . Dans la suite on donne un exemple qui montre que certains r? esultats classiques dans ce domaine [496] [661] sont ` a appliquer avec prudence. Notre d? e?nition m? eme des groupes de Fricke n’est pas la plus commun? ement admise. On trouve par exemple dans [66] une d? e?nition des groupes modulaires de Fricke qui englobe celle qui pr? ec` ede. Ces d? e?nitions trouvent leur origine dans l’ouvrage [273]. 2.2.2. Image inverse. Notons a et b les deux g? en? erateurs du sous-groupe fuchsien Γ de P SL(2, R), et soient A et B deux images inverses respectives de a et b. On peut consid? erer en remontant ` a SL(2, R) quatre sous-groupes ` a deux g? en? erateurs d’image Γ dans P SL(2, R) par la projection canonique ψ Les points correspondants α, s = 0, β , p = ∞, d? e?nis par chacun des groupes pr? ec? edents sont identiques. En consid? erant les quatre possibilit? es pr? ec? edentes, on gp(A, B ), gp(?A, B ), gp(A, ?B ), gp(?A, ?B ).

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4. APPROCHE ANALYTIQUE

dit que gp(A, B ) est le groupe principal d? e?ni par Γ si et seulement si on a On dit que les trois autres groupes gp(?A, B ), gp(A, ?B ), gp(?A, ?B ), sont les groupes conjugu? es de gp(A, B ). La remont? ee d’un groupe Γ ? P SL(2, R) en un groupe G ? SL(2, R) dont Γ est l’image est ? etudi? ee dans [446]. On a : Proposition 2.2. Le groupe principal gp(A, B ) d? e?ni par un groupe de Fricke Γ = gp(a, b) est libre. La projection canonique ψ telle que ψ (A) = a et ψ (B ) = b est un isomorphisme de gp(A, B ) sur gp(a, b). Pour les groupes conjugu? es on a aussi des isomorphismes En?n, on a pour l’oppos? e de la matrice unit? e ψ : gp(A, ?B ) ? Γ, ψ : gp(?A, B ) ? Γ, ψ : gp(?A, ?B ) ? Γ. tr(A) ≥ 0, tr(B ) ≥ 0.

? 12 ∈ / gp(A, B ), ?12 ∈ / gp(A, ?B ), ?12 ∈ / gp(?A, B ), ?12 ∈ / gp(?A, ?B ). 2.3. Hyperbolicit? e des deux matrices d’un tore perc? e. Avec l’expression calcul? ee la matrice A et de B , on a facilement [408] :
? Proposition 2.3. Les matrices A et B d’un tore perc? e TΓ sont hyperboliques, c’est-` a-dire telles que : |tr(A)| > 2, |tr(B )| > 2. Elles poss` edent chacune deux points ?xes r? eels non a ` l’in?ni sur le bord de H, et une g? eod? esique invariante qui les relie, son axe. En particulier, pour le groupe principal gp(A, B ) d’un tore perc? e conforme, on a tr(A) > 2, tr(B ) > 2.

La position respective des extr? emit? es des axes, les points ?xes a+ , a? , b+ , b? , de A et B, n’est pas indi?? erente, ou ce qui revient au m? eme le fait que les axes de A et B se coupent dans H. Ces deux axes ne peuvent d’ailleurs ? etre identiques que si l’on a c′2 α = c2 β . Or les signes de α et β garantissent que cette ? egalit? e n’est jamais assur? ee. L’introduction un birapport permet de retrouver un r? esultat connu : Proposition 2.4. Avec les deux conditions α < 0 et β > 0 et les expressions donn? ees pour A et B , les axes de ces deux matrices hyperboliques sont toujours distincts. Ils ne se coupent que si et seulement si on a la condition (b+ ? a+ ) (b? ? a? ) × . (b+ ? a? ) (b? ? a+ ) Celle-ci est ? equivalente au fait que tout intervalle du bord de H contenant deux points ?xes de l’une des transformations A ou B contient aussi un point ?xe de l’autre. 0 > [a+ , a? ; b+ , b? ] = Les d? e?nitions du birapport (”rapport de rapport” plut? ot que ”cross product”) sont diverses selon les auteurs. Notre d? e?nition est celle de [791] [744]. 2.4. Intervention des commutateurs. On consid` ere le commutateur de A et B , que l’on d? e?nit comme suit : L = [A, B ] = ABA?1 B ?1 . Il s’agit ici de la d? e?nition classique du commutateur donn? ee par exemple dans [47] [408] et non de celle que l’on trouve dans [85]. On peut le calculer. Il permet de consid? erer avec [144] une autre matrice C ? de G telle que C ? BA = 1, ABC ? = L.

? CONFORMES 2. CONSTRUCTION DE TORES PERCES

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Le commutateur s’introduit naturellement dans notre contexte parce que l’on a L(s) = ABA?1 B ?1 (s) = ABA?1 (β ) = AB (p) = A(α) = s. En d’autres termes il contient toute l’information n? ecessaire ` a la d? e?nition du tore perc? e conforme d? e?ni par A et B . Si A et B commutent, toute possibilit? e de d? e?nir le tore dispara? ?t. Dans le cas contraire tout point ?xe de L permet de d? e?nir les points possibles s, β , p, α. Dans le cas g? en? eral, on trouve deux possibilit? es pour s, donc pour β , p, α. Remarquons aussi que dans le cas encore plus g? en? eral pour A et B il n’y a pas de raisons que s, β , p, α, soient r? eels, le proc? ed? e peut alors donner des tores complets. Mais on laisse ces cas de c? ot? e, concentrant l’attention sur les tores perc? es construits, o` u sont r? eels les nombres s, β , p, α. Ceci donne [408] :
? Proposition 2.5. Avec les expressions des matrices A et B du tore perc? e TΓ , le commutateur L = [A, B ] est tel que

tr(L) = tr([A, B ]) ≤ ?2. On dit que [A, B ] est une matrice parabolique lorsque tr([A, B ]) = ?2 a lieu. Lorsque l’on a l’in? egalit? e stricte tr([A, B ]) < ?2, on dit qu’elle est hyperbolique. La matrice inverse L?1 permet d’introduire une matrice C v? eri?ant CAB = 1, BAC = L?1 = [B, A] = [A, B ]?1 , tr(L?1 ) = tr(L). On a aussi un autre commutateur K qui d? e?nit le m? eme tore perc? e que L avec ABC = 1, CBA = K = [B ?1 , A?1 ], tr(K ) = tr(L), BAC ? = 1, C ? AB = K ?1 = [A?1 , B ?1 ], tr(K ?1 ) = tr(K ), K (p) = B ?1 A?1 BA(p) = B ?1 A?1 B (β ) = B ?1 A?1 (s) = B ?1 (α) = p. Pour les traces des matrices que l’on vient de consid? erer, il est facile d’? etablir : Proposition 2.6. On a tr(C ) = tr(C ? ), tr(L) + 2 = tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) ≤ 0. La derni` ere ? egalit? e de cette proposition est due ` a Fricke. Elle introduit un nombre qui est utilis? e dans la suite σ = tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ). 2.5. Tores perc? es paraboliques et hyperboliques. La derni` ere proposition identi?e deux cas pour K et L (comparer ` a [850]). Illustrons avec K ? Si tr(K ) = ?2, on a c2 β = ?c′2 α, et les matrices K et L sont paraboliques. La matrice K se simpli?e K= ?1 2(1 ? c2 αβ ? c′2 αβ )/(c′2 α) 0 ?1 . tr(L) = tr(L?1 ) = tr(K ) = tr(K ?1 ) ≤ ?2,

Elle donne une transformation parabolique du demi-plan de Poincar? e H. Son unique ? gr? ace aux point ?xe est p = ∞. Il permet de d? e?nir un tore associ? e unique TΓ matrices A et B . Cette transformation ne laisse aucune g? eod? esique de H invariante. ? est un Elle correspond ` a une translation parall` element ` a l’axe r? eel. On dit que TΓ tore perc? e conforme parabolique.

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4. APPROCHE ANALYTIQUE

? Si tr(K ) < ?2, les matrices K et L sont hyperboliques. K laisse invariante une g? eod? esique de H, l’axe de K , qui avec c2 β + c′2 α = 0 est la g? eod? esique des points z = x + iy de H v? eri?ant x= (c2 αβ + c′2 αβ ? 1) . (c2 β + c′2 α)

Elle poss` ede deux points ?xes sur le bord de H : le point ` a l’in?ni p = ∞ et l’intersection p′ de cette g? eod? esique avec le bord de H. Le point ` a l’in?ni p permet ? de d? e?nir un tore associ? e TΓ avec les points B (p) = α, A(α) = B (β ) = s, A(p) = β . ? On dit que TΓ est un tore perc? e conforme hyperbolique. Dans ce cas, il est possible ? de s’assurer que la g? eod? esique pp′ invariante dans H par K donne dans TΓ une g? eod? esique ferm? ee entourant la piq? ure. En extrayant alors le disque piqu? e ayant ? cette g? eod? esique pour bord, on fabrique une nouvelle surface trou? ee TΓ . Dans H, on peut repr? esenter le domaine fondamental correspondant ` a l’image r? eciproque de ? TΓ . On peut v? eri?er qu’il est stable par le groupe gp(A, B ). Tout se passe comme ? ? si la surface TΓ prolongeait TΓ de fa? con ` a r? eduire le trou ` a une piq? ure. Les deux ? ? objets TΓ et TΓ ont m? eme support topologique, mais pas m? eme support conforme. Le fait remarquable dans ce cas est que le tore perc? e hyperbolique est d? edoubl? e gr? ace ` a l’autre extr? emit? e p′ de la g? eod? esique invariante par K et aux points qui s’en d? eduisent avec B (p′ ) = α′ , A(α′ ) = B (β ′ ) = s′ , A(p′ ) = β ′ . Ce second tore est distinct du tore pr? ec? edent. Lorsque c2 β + c′2 α tend vers 0, on constate que p′ tend ′ vers p = ∞, s vers s = 0, α′ vers α, β ′ vers β . Le tore perc? e devient parabolique mais double ` a la limite. Ceci illustre le ph? enom` ene du double de Schottky d’une surface de Riemann non compacte ([149] p.235). 2.6. Une repr? esentation ` a trois param` etres. Ayant param? etr? e tous les tores perc? es conformes avec un objet g? eom? etrique V de dimension 4, on voit maintenant comment trouver d’autres param? etrisations de tous ces tores par un objet g? eom? etrique di?? erent de V . On privil? egie les nombres : λ = c′ α, ? = cβ, θα = ?c′2 α = ?c′ λ > 0, θβ = c2 β = c? > 0, Θ = (θα /θβ ) > 0, M = tr(AB )2 ? tr([A, B ]) ? 2 = tr(AB )2 ? σ, M1 = tr(B )tr(AB ) ? tr(A) + Θ?1 tr(A). M2 = tr(A)tr(AB ) ? tr(B ) + Θtr(B ),

On obtient :

λ = (M2 /M ), ? = (M1 /M ). Les expressions de tr(A), tr(B ), tr(AB ) donnent maintenant :
2 2 M 2 + M1 + Θ ?1 M 2 = tr(A)M M1 , 2 2 M 2 + ΘM1 + M2 = tr(B )M M2 , 2 2 M 2 + ΘM1 + Θ ?1 M 2 = tr(AB )M1 M2 . Les trois relations pr? ec? edentes ont une solution commune en Θ pourvu que l’on ait : 2 2 M 2 + M1 + M2 = tr(A)M M1 + tr(B )M M2 ? tr(AB )M1 M2 .

Lorsque la valeur de Θ est di?? erente de 1, on trouve, avec ε = ±1 : √ ?(2tr(B )tr(AB ) ? tr(A)σ ) + εtr(A) σ 2 ? 4σ , ?= 2(σ ? tr(AB )2 )

? CONFORMES 2. CONSTRUCTION DE TORES PERCES

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√ ?(2tr(A)tr(AB ) ? tr(B )σ ) ? εtr(B ) σ 2 ? 4σ . 2(σ ? tr(AB )2 ) Ces expressions n’ont un sens qu’` a condition d’avoir un argument positif dans les radicaux. Comme par construction λ et ? sont r? eels et existent bien, cette condition est assur? ee. Le cas parabolique o` u tr([A, B ]) = ?2 se singularise en annulant le terme σ 2 ? 4σ . Ceci simpli?e les expressions de λ et ?. Si l’on revient aux expressions des matrices A et B , on observe qu’elles sont totalement d? etermin? ees par les trois nombres r? eels tr(A), tr(B ), tr(AB ), ` a un param` etre r? eel pr` es cependant, que l’on peut supposer ici ? etre θα . La question naturelle qui se pose est donc de savoir ce qui lie des couples de matrices (A, B ) correspondant aux m? emes traces, mais ` a des valeurs θα distinctes. Consid? erons donc de tels couples (A, B ) et (A′ , B ′ ). Avec s = 0 et p = ∞, on a par construction : λ= α=? Ceci donne le birapport suivant [α, β ; s, p] = ? 1 λ 2 ( ) . Θ ? ?2 Θ λ2 , β= . θα θα

Le m? eme raisonnement fait pour (A′ , B ′ ) conduit au m? eme birapport. Sur la droite projective constituant le bord de H, on met ainsi en ? evidence deux quadruplets de points ayant m? eme birapport. Il en d? ecoule selon un r? esultat connu([269] p. 248, [672] p. 76) l’existence d’une homographie h de P GL(2, R) = GL(2, R)/(R\{0}) les ? echangeant. Elle permet la construction d’une transformation conforme de H autorisant ` a se limiter ` a θα = 1 et ` a? enoncer : Proposition 2.7. A une conjugaison pr` es par une matrice de SL(2, R), on a la repr? esentation param? etrique suivante a ` trois param` etres pour les matrices A et ? B du tore perc? e TΓ A= ? (?λ2 ) (1/Θ?) ((1 + (λ2 /Θ))/?) , B= λ ?(λ?2 Θ) ?(1/λ) ((1 + Θ?2 )/λ .

La donn? ee des trois param` etres λ = 0, ? = 0, Θ > 0, d? etermine les matrices A, B , et AB , et donc leurs traces selon les expressions tr(A) = ((1 + (λ2 /Θ) + ?2 )/?), tr(B ) = ((1 + λ2 + Θ?2 )/λ), tr(AB ) = ((1 + (λ2 /Θ) + Θ?2 )/λ?). Ces valeurs v? eri?ent les conditions suppl? ementaires 1 + λ2 + ?2 = tr(A)? + tr(B )λ ? tr(AB )λ?, Inversement, les trois param` etres intervenant dans ces matrices ne d? ependent que des trois valeurs tr(A), tr(B ), tr(AB ), et d’un signe, avec les expressions √ ?(2tr(A)tr(AB ) ? tr(B )σ ) ? εtr(B ) σ 2 ? 4σ λ= = 0, 2(σ ? tr(AB )2 ) √ ?(2tr(B )tr(AB ) ? tr(A)σ ) + εtr(A) σ 2 ? 4σ ?= = 0, 2(σ ? tr(AB )2 ) α = ?λ2 , s = 0, β = ?2 Θ, p = ∞.

50

4. APPROCHE ANALYTIQUE

Θ= o` u l’on a

√ 2tr(A)2 + 2tr(B )2 ? tr(B )2 σ + εtr(B )2 σ 2 ? 4σ √ > 0, 2tr(A)2 + 2tr(B )2 ? tr(A)2 σ ? εtr(A)2 σ 2 ? 4σ

De plus on a ? equivalence des trois propri? et? es suivantes : tr(L) = ?2, σ = 0, Θ = 1.

ε = ±1, σ = tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) ≤ 0.

Les expressions donn? ees pour A et B dans cette proposition n’utilisent que trois param` etres parce qu’on a cach? e θα en raisonnant ` a une transformation conforme de H pr` es. Les param` etres qui restent d? e?nissent un objet g? eom? etrique V ′ qui est r? eel de dimension 3. Il indexe avec des param` etres (λ, ?, Θ) ∈ V ′ les couples (A, B ) correspondants, et donc les di?? erentes possibilit? es pour les classes de tores perc? es conformes. L’espace V ′ est d? e?ni par les contraintes λ = 0, ? = 0, Θ > 0. Raisonnant sur Γ = P gp(A, B ) on peut se limiter ` a λ > 0, ? > 0, Θ > 0. 2.7. Autre repr? esentation ` a quatre param` etres. Dans le r? esultat qui pr? ec` ede, on a introduit une dissym? etrie dans les r? oles jou? es par θα et θβ . En r? etablissant la sym? etrie entre θα et θβ on a obtenu : Proposition 2.8. A une conjugaison pr` es par une matrice de SL(2, R), on a la repr? esentation param? etrique suivante a ` quatre param` etres pour les matrices A et ? B du tore perc? e conforme TΓ A= B= ? (?λ2 /Θα ) (Θβ /?) ((1 + (Θβ /Θα )λ2 )/?) ,

λ ?(λ?2 /Θβ ) . ?(Θα /λ) ((1 + (Θα /Θβ )?2 )/λ) Les param` etres intervenant dans ces expressions ne d? ependent que des trois valeurs tr(A), tr(B ), tr(AB ), et d’une valeur ε = ±1 : σ = tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) ≤ 0, √ ?(2tr(A)tr(AB ) ? tr(B )σ ) ? εtr(B ) σ 2 ? 4σ = 0, λ= 2(σ ? tr(AB )2 ) √ ?(2tr(B )tr(AB ) ? tr(A)σ ) + εtr(A) σ 2 ? 4σ ?= = 0, 2(σ ? tr(AB )2 )

Θα = 2tr(A)2 + 2tr(B )2 ? tr(B )2 σ + εtr(B )2 Θβ = 2tr(A)2 + 2tr(B )2 ? tr(A)2 σ ? εtr(A)2

α = ?(λ2 /Θα ), s = 0, β = (?2 /Θβ ), p = ∞. A une conjugaison pr` es d? e?nie par une dilatation d’amplitude τ 2 telle que θ α = Θ α τ 2 , θβ = Θ β τ 2 , on retrouve les expressions param? etriques ant? erieures A= ? (?λ2 /θα ) (θβ /?) ((1 + (θβ /θα )λ2 )/?) , B= λ ?(λ?2 /θβ ) ?(θα /λ) ((1 + (θα /θβ )?2 )/λ) .

σ 2 ? 4σ > 0.

σ 2 ? 4σ > 0,

A une conjugaison pr` es d? e?nie par une dilatation d’amplitude Θα , on retrouve aussi les expressions d? ej` a vues avec le param` etre Θ = (Θα /Θβ ).

? CONFORMES 2. CONSTRUCTION DE TORES PERCES

51

Cette proposition peut ? etre interpr? et? ee avec un nouvel objet g? eom? etrique V ′′ de dimension 4 permettant de param? etrer tous les tores perc? es conformes d’une nouvelle fa? con. On utilise ici des quadruplets (tr(B ), tr(A), tr(BA), ε) ∈ V ′′ l’objet V ′′ est d? e?ni par ε = ±1 et la condition Le bord de V ′′ correspondant ` a la condition σ = 0 ne donne que des tores perc? es conformes paraboliques. Dans ce cas d’ailleurs, les tores perc? es associ? es ` a ε = 1 et ε = ?1 sont identiques. Ce bord peut donc ? etre param? etr? e en oubliant ε, uniquement par des triplets (tr(B ), tr(A), tr(BA)) v? eri?ant l’? equation de Marko? classique : tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) = 0. On a montr? e dans [629] que dans ce cas le groupe G = gp(A, B ) est un groupe libre ` a deux g? en? erateurs F2 s’il est contenu dans GL(2, Z). Il d? etermine un groupe de Fricke P gp(A, B ) engendr? e par les classes de A et B . La suite montre comment l’? equation de Marko? param? etrise en fait tous les groupes de Fricke par des points du bord de V ′′ . Ceci revient a ` dire que pour un tore perc? e conforme les propi? et? es d’? etre de Fricke ou parabolique sont ? equivalentes [273] [681]. On conjecture que les groupes correspondant aux tores perc? es conformes hyperboliques ont, en dehors du bord de V ′′ , deux g? en? erateurs A et B qui sont li? es. Construire les relations les liant est un probl` eme essentiel dont les cons? equences pourraient ? etre importantes. On donne dans la suite un exemple o` u l’on a r? eussi ` a le faire. Cet exemple illustre notre conjecture. 2.8. R? ole des transformations anti-conformes. Dans la proposition qui pr? ec` ede, on voudrait pouvoir se limiter dans tous les cas a ` une param? etrisation des tores perc? es par des triplets (tr(B ), tr(A), tr(BA)), et donc se passer ? egalement du terme ε pour les tores perc? es conformes hyperboliques. C’est possible si on ne raisonne qu’` a isom? etrie pr` es de H, c’est-` a-dire en faisant agir aussi ses transformations anti-conformes. Pour le voir il a su? d’expliquer ce qui di?? erencie les deux cas ε = +1 et ε = ?1 correspondant ` a un m? eme triplet (tr(A), tr(B ), tr(AB )). Ceci a permis d’? enoncer : Proposition 2.9. Pour les deux couples de matrices (A+ , B + ) et (B ? , A? ) correspondant a ` un m? eme triplet de traces tel que σ < 0 ainsi que respectivement a ` ε = 1 et ε = ?1, il existe une matrice D ∈ S ? L(2, R) telle que La matrice D d? e?nit une transformation anti-conforme ψ (D) = h? + du demi-plan de Poincar? e H dans lui-m? eme qui transforme les g? eod? esiques comme suit (en inversant les sens de parcours) :
? + ? ? + ? ? h? + (α ) = β , h+ (β ) = α , h+ (s) = s, h+ (p) = p;

tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) ≤ 0.

B ? = DA+ D?1 , A? = DB + D?1 , det(D) = ?1.

α+ p → pβ ? , α+ s → sβ ? , sβ + → α? s, pβ + → α? p; h? + (z ) = (

β? α? z = ( ) )z. β+ α+ Elle donne pour les divers param` etres intervenant (tr(A+ ), tr(B + ), tr(A+ B + )) = (tr(B ? ), tr(A? ), tr(A? B ? )), (λ+ , ?+ , Θ+ ) = (?? , λ? , (1/Θ? )),

52

4. APPROCHE ANALYTIQUE

[α+ , β + ; s, p] = [β ? , α? ; s, p],
? + + ? + β ? = ?(Θ+ α /Θβ )α = ?(Θβ /Θα )α . ? + ? + + α? = ?(Θ+ β /Θα )β = ?(Θα /Θβ )β ,

Ce r? esultat permet de se limiter au cas ε = 1 dans les calculs courants faits autour des tores perc? es, lorsque l’on raisonne ` a isom? etrie pr` es de H. Il est int? eressant de se demander ce que donne la proposition pr? ec? edente lorsque σ tend vers 0. On trouve ` a la limite un tore perc? e conforme parabolique o` u s = 0 et p = ∞. Ceci explique comment tout tore perc? e conforme parabolique est anti-conform? ement ? equivalent ` a lui-m? eme. Dans les autres cas, la derni` ere proposition correspond aux observations qui ont ? et? e faites pr? ec? edemment sur le d? edoublement des tores perc? es hyperboliques (et les doubles de Schottky d’une surface de Riemann non compacte [149] p.235). Une transformation anti-conforme lie les deux tores perc? es obtenus. 3. Signi?cation g? eom? etrique de nos ? equations 3.1. C? one attach? e` a un tore perc? e. Revenant sur les nombres M , M1 , M2 , qui ont ? et? e introduits pr? ec? edemment, on a obtenu :
? Proposition 3.1. Soient A et B les matrices d’un tore perc? e conforme TΓ quelconque. Avec les expressions connues o` u ε = ±1

σ = tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ), √ 2tr(A)2 + 2tr(B )2 ? tr(B )2 σ + εtr(B )2 σ 2 ? 4σ √ , Θ= 2tr(A)2 + 2tr(B )2 ? tr(A)2 σ ? εtr(A)2 σ 2 ? 4σ M1 = tr(B )tr(AB ) ? tr(A) + Θ?1 tr(A), M2 = tr(A)tr(AB ) ? tr(B ) + Θtr(B ),

M = tr(AB )2 ? σ, on a la relation (F R? ) suivante :

L’? equation (F R? ) d? e?nit une quadrique en M , M1 , M2 , qui est un c? one en ces param` etres directement donn? e par la matrice ? ? tr(A) tr(B ) 1 ? ? ? ? 2 2 ? tr(A) tr(AB ) ? ? ? ?. 1 ? ? 2 2 ? ? tr(B ) tr(AB ) 1 ? 2 2 On dit que c’est le c? one (F R? ) associ? e au couple de g? en? erateurs (A, B ) du groupe ? gp(A, B ) du tore perc? e TΓ que l’on consid` ere. Le d? eterminant de la matrice qui le d? e?nit vaut 1 4?σ 1 ? (tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB )) = ≥ 1. 4 4 Pour le tore perc? e conforme associ? e, on peut consid? erer que la relation (F R? ) est une bonne g? en? eralisation de l’? equation de Marko? classique [522]. En e?et, si Θ = 1, soit σ = 0, elle se simpli?e par un facteur tr(AB )2 en tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 = tr(A)tr(B )tr(AB ).

2 2 M 2 + M1 + M2 = tr(A)M M1 + tr(B )M M2 ? tr(AB )M1 M2 .

? ? ? 3. SIGNIFICATION GEOM ETRIQUE DE NOS EQUATIONS

53

equation 3.2. Lien avec nos ? equations M s1 s2 (b, ?K, u). Il est apparu que l’? ? (F R ) correspond aux ? equations qui ont ? et? e? etudi? ees dans ce qui pr? ec` ede. 3.2.1. Une ? equation ? equivalente. On a fait appara? ?tre dans [630] une ? equation ? equivalente ` a M s1 s2 (b, ?K, u). On appelle M (b, r, s, t) cette nouvelle ? equation : x2 + y 2 + z 2 = (b + 1)xyz + ryz + szx + txy, o` u ace aux deux ? egalit? es suivantes Le lien s’e?ectue avec l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) gr? ε1 m2 = K1 m1 ? k1 m, ε2 m1 = k2 m ? K2 m2 . 3.2.2. Mise en ? evidence du tore perc? e et du c? one. Dans le cas le plus g? en? eral pour ? etablir l’? equation M s1 s2 (b, ?K, u) on a vu que l’on pouvait utiliser une formule 1 ?1 de Fricke pour calculer la trace du commutateur [Ab , Bc ] = Ab Bc A? o` u b Bc
? ,b) = Ab = M(?X2

r = ε1 K1 ? ε2 K2 , s = ?(ε1 k1 + k12 ), t = ε2 k2 + k21 .

bm2 + k21 bk2 + l2

m2 k2

,

(c + 1)m1 ? k1 m1 , (c + 1)(m1 ? k12 ) ? (k1 ? l1 ) m1 ? k12 Ceci d? e?nit t, s, r, par un simple calcul de traces. De fa? con ` a disposer de matrices appartenant ` a SL(2, R) on fait l’hypoth` ese que l’on a
? ?,c) = Bc = M(X1

det(Ab ) = det(Bc ) = det(Ab Bc ) = 1 = ε1 = ε2 . L’? equation ? equivalente M (b, r, s, t) prend alors la forme : On reconna? ?t l’? equation (F R? ) du c? one qui a ? et? e associ? ee ` a un tore perc? e conforme. Ce tore est d? eduit du groupe gp(Ab , Bc ) avec :
1 ?1 ?1 ?1 L(s) = Ab Bc A? b Bc (s) = s, α = Ab (s), p = Bc (α), β = Ab (p). 2 m2 + m2 1 + m2 = tr(Ab )mm1 + tr(Bc )mm2 ? tr(Ab Bc )m1 m2 .

Dans le cas parabolique, on trouve avec ces conditions un tore perc? e unique. C’est le cas de la th? eorie de Marko? classique. Dans le cas hyperbolique qui est le cas le plus fr? equent, on identi?e ainsi deux tores perc? es. 3.2.3. Un exemple de tore perc? e hyperbolique. On a d? etaill? e un exemple hyperbolique qui correspond ` a l’? equation M ++ (3, 0, 1). Les matrices ` a consid? erer sont dans SL(2, Z) : A= 11 3 7 2 = M(1,1,1,3) , B = 37 11 10 3 = M(3,1,2,3) .

On peut calculer les deux tores perc? es conformes. L’un est donn? e par les points √ 4363 + 3122285 s+ = = [3, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1] ≈ 3, 697225, 1658 √ 1477 + 3122285 = [3, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3] ≈ 3, 303461, β+ = 982

54

4. APPROCHE ANALYTIQUE

√ ?44517 ? 3122285 = [?1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 3] ≈ ?2, 297497, 155578 √ 1477 ? 3122285 = [?1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3] ≈ ?0, 295315. α+ = 982 Le second tore est donn? e par les points √ 4363 ? 3122285 = [1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 1, 2] ≈ 1, 565743, s? = 1658 √ 1477 ? 3122285 = [?1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3] ≈ ?0, 295315, β? = 982 √ ?44517 + 3122285 = [?1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3] ≈ ?0, 274782, p? = 155578 √ 1477 + 3122285 = [3, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3] ≈ 3, 303461. α? = 982 Un point remarquable est que dans ce cas on a p+ = β+ = α? , β? = α+ , d’o` u deux matrices U = B ?1 A = ?A?1 B et V = BA?1 = ?AB ?1 telles que U 2 = V 2 = ?12 , A = ?V B = BU, B = V A = ?AU, β+ = U ( β? ) = V ( β? ).

Dans le groupe Γ = gp(ψ (A), ψ (B )) on trouve ainsi des relations entre ψ (A) et ψ (B ). Elles ? etablissent que ce groupe n’est pas libre. Ce n’est donc pas un groupe de Fricke, m? eme si par construction la surface de Riemann H/Γ est hom? eomorphe ` a un tore perc? e. Les points ?xes de A et B sont respectivement √ 9 + 165 + ? ≈ 1, 5604, a = ?[?X2 , a] = ?[1, 1, 1, 3] = 14 √ 9 ? 165 a? = ?[0, X2 ?, a] = ?[0, 1, 1, 1, 3] = ≈ ?0, 6409, 6 √ 34 + 1586 ? ≈ 3, 6912, b+ = ?[X1 ?, a] = ?[3, 1, 2, 3] = 20 √ 32 ? 1586 ≈ ?0, 3557. b? = ?[0, ?X1 , a] = ?[0, 2, 1, 3, 3] = 22 Leurs axes respectifs se coupent donc. D’autre part, un calcul simple montre que s+ et s? sont des points ?xes r? eels de la matrice de trace σ ? 2 = 1767 L = ABA?1 B ?1 = ?1298 4799 ?829 3065 ∈ SL(2, Z).

Cet exemple est int? eressant car il est en contradiction avec un th? eor` eme ? etabli par R.C. Lyndon et J.L. Ullman [496] (p. 164) qui permettrait dans ce cas de conclure que le groupe gp(ψ (A), ψ (B )) est libre. Le constat que cet article pr? esente au moins deux di?cult? es a d? ej` a? et? e fait dans l’article [661] (pp. 213-214). Il est con?rm? e. L’? equation (F R? ) du c? one est locale et change pour chaque point (m, m1 , m2 ) de la surface cubique M ++ (3, 0, 1). Au point (130, 11, 3) elle s’? ecrit : x2 + y 2 + z 2 = tr(A)xy + tr(B )zx ? tr(AB )yz = 13xy + 40xz ? 520yz.

? ` ? PARABOLIQUES 4. THEORIE COMPLETE POUR LES TORES PERCES

55

Equivalente avec 15m2 ? 4m1 = 1 ` a M ++ (3, 0, 1), elle donne aussi l’? equation M (b, r, s, t) qui s’? ecrit : x2 + y 2 + z 2 = 4xyz ? 15xz + 4xy. 3.2.4. Une piste d’approfondissement. L’exemple pr? ec? edent permet de comprendre le lien de la surface cubique avec le groupe fuchsien Γ = gp(ψ (A), ψ (B )). Pour prolonger la r? e?exion on a trouv? e des indications dans [735] (Tome 1, chapitre III 1.6 p. 164). Avec la repr? esentation param? etrique g? en? eralisant celle de Fricke qui a? et? e construite au chapitre pr? ec? edent, on d? eduit une application r? eguli` ere de la surface dans le plan projectif et surtout un pinceau non d? eg? en? er? e de coniques. On peut alors faire appara? ?tre dans cette situation un groupe ab? elien libre [735] (Tome 1, chapitre III 1.6, th? eor` eme 4) ` a partir duquel on peut esp? erer reconstruire les matrices 2 × 2 que l’on consid` ere. Dans une telle interpr? etation qui reste ` a d? etailler compl` etement, on mat? erialise le groupe des classes de diviseurs de la surface en chaque point entier (m, m1 , m2 ) en utilisant une application s du plan projectif P1 dans la surface d? e?nissant la courbe S = s(P1 ) et une ?bre non singuli` ere F dont on d? eduit le groupe gp(A, B ). Ceci donne une nouvelle piste pour approfondir la situation que l’on consid` ere, en la rattachant ` a une probl? ematique importante de g? eom? etrie alg? ebrique. 4. Th? eorie compl` ete pour les tores perc? es paraboliques Dans le cas des tores perc? es paraboliques on peut r? eduire encore le nombre des param` etres. On a vu pr? ec? edemment que ce cas est celui des groupes de Fricke et qu’il existe un lien direct avec l’? equation de Marko? classique. Ceci permet de d? evelopper une th? eorie compl` ete de la r? eduction pour ces tores perc? es [681]. Elle g? en? eralise ce qui a ? et? e construit dans [629] pour la th? eorie de Marko? classique, ou dans le chapitre 2 pour la r? esolution de nos ? equations par descente in?nie. 4.1. Repr? esentations ` a deux param` etres. En supposant que gp(A, B ) est un groupe principal, on peut supposer λ et ? positifs. Seules deux valeurs su?sent alors ` a d? e?nir les matrices A et B dans le cas parabolique. On a ainsi ? enonc? e:
? Proposition 4.1. Pour un tore perc? e conforme parabolique TΓ , on a a ` une conjugaison pr` es par une matrice de SL(2, R), la repr? esentation param? etrique suiv? ante pour les matrices A et B du groupe principal de TΓ

A= avec

? (?λ2 /Θα ) (Θα /?) ((1 + λ2 )/?)

, B=

λ ?(λ?2 /Θα ) ?(Θα /λ) ((1 + ?2 )/λ)

,

Θα = 2(tr(A)2 + tr(B )2 ), α = ?(λ2 /Θα ), s = 0, β = (?2 /Θα ), p = ∞. Ceci donne la repr? esentation param? etrique suivante des traces tr(A) = o` u λ = (tr(A)/tr(AB )) > 0, ? = (tr(B )/tr(AB )) > 0. 1 + λ2 + ?2 1 + λ2 + ?2 1 + λ2 + ?2 , tr(B ) = , tr(AB ) = , ? λ λ?

56

4. APPROCHE ANALYTIQUE

Ce cas est caract? eris? e par la relation de Fricke tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 = tr(A)tr(B )tr(AB ).
? Cette relation signi?e que la repr? esentation param? etrique pr? ec? edente de TΓ est a ` ?1 deux param` etres λ et ?. A une dilatation d’amplitude τ = Θα pr` es, on peut faire dispara? ?tre le param` etre Θα des ? ecritures pr? ec? edentes en raisonnant a ` une transformation conforme pr` es. Les deux matrices a ` consid? erer prennent alors la forme

A=

? ?λ2 (1/?) ((1 + λ2 )/?)

, B=

λ ?λ?2 ?(1/λ) ((1 + ?2 )/λ)

.

Le groupe P gp(A, B ) qu’elles d? e?nissent est un groupe de Fricke. Et gp(A, B ) est un groupe libre a ` deux g? en? erateurs isomorphe a ` F2 . Cette proposition peut ? etre interpr? et? ee avec un objet g? eom? etrique V ′′′ qui est une surface de Riemann d’? equation x2 + y 2 + z 2 = xyz . Chaque point (x, y, z ) = (tr(B ), tr(A), tr(AB )) de V ′′′ d? e?nit un couple (λ, ?) per? mettant la donn? ee d’un tore perc? e conforme parabolique Tgp etrisation (ψ (A),ψ (B )) . La param? des matrices en λ et ? est due ` a Fricke [270] [148]. De plus tous les tores perc? es paraboliques sont ainsi obtenus avec les couples (λ, ?) ∈ R2 \{(0, 0)}. L’? enonc? e v? eritablement nouveau de cette proposition est celui qui a?che que le groupe fuchsien gp(ψ (A), ψ (B )) = P gp(A, B ) est toujours un groupe de Fricke. On utilise pour le d? emontrer le th? eor` eme 8 (p. 221) de [661] avec On peut calculer les points ?xes a+ , a? , b+ , b? , de A et B en fonction de λ, ?, et s’assurer du signe n? egatif de [a+ , a? ; b+ , b? ]. Ayant ainsi v? eri?? e toutes les conditions de th? eor` eme cit? e on l’applique pour conclure que le groupe gp(A, B ) est discret et libre ` a deux g? en? erateurs tout comme P gp(A, B ). Comme par construction la surface de Riemann H/P gp(A, B ) est hom? eomorphe ` a un tore perc? e en un point, il en r? esulte que P gp(A, B ) est un groupe de Fricke. Comme la r? eciproque se d? eduit ais? ement de [629] en montrant que les traces sont li? ees par une ? equation de Marko? classique, cette propri? et? e est bien caract? eristique du cas parabolique. De plus on a donn? e pr? ec? edemment un exemple hyperbolique o` u cette propri? et? e n’est pas assur? ee. En d’autres termes on a obtenu une ? equivalence entre la cat? egorie des groupes de Fricke et celle des tores perc? es conformes paraboliques. 4.2. Des exemples de tores perc? es paraboliques. Di?? erents exemples de groupes de Fricke associ? es ` a des tores perc? es conformes paraboliques sont bien connus. ? Le lien avec les travaux de A. Schmidt [700] introduit A0 = tr(AB ), B0 = tr(A), C0 = tr(B ), k = (1 + λ2 + ?2 )/θ, T0 = BA, U0 = A, V0 = B ?1 . Ceci donne une nouvelle repr? esentation param? etrique (voir [632]) pr? ecisant comment A et B agissent sur les bords du domaine fondamental pαsβ . √ √ √ √ βθ ?α βθ ?αθ ?β ? αθ √ √ , B=± . A=± θ/β ((1 ? αθ)/ βθ) ? (θ/ ? α) ((1 ? βθ)/ ?αθ ) tr(A) > 2, tr(B ) > 2, tr(L) = tr(ABA?1 B ?1 ) = ?2.

? ` ? PARABOLIQUES 4. THEORIE COMPLETE POUR LES TORES PERCES

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Les travaux de A. Schmidt [700] introduisent une notion de groupe de Fricke ? etendu dont un groupe de Fricke est un sous groupe d’indice 2. Un tel groupe ? etendu n’est autre qu’un groupe isomorphe au groupe du triangle T3 dans lequel l’indice 2 d? e?nit de fa? con unique le groupe de Fricke. Le groupe ? etendu correspond ` a une sph` ere triplement perc? ee dont le tore perc? e est un rev? etement ` a deux feuilles. On peut prolonger ces rep? esentations de F2 et T3 en une repr? esentation de GL(2, Z). ? Presque toutes les matrices A ∈ SL(2, R) permettent de trouver une matrice B avec laquelle gp(A, B ) d? etermine un tore perc? e conforme parabolique : Proposition 4.2. Consid? erons une matrice a ` coe?cients r? eels A=± a b c d ∈ SL(2, R), o` u bc > 0, ba > 0, ac > 0,

Le groupe gp(A, B ) est libre a ` deux g? en? erateurs.

alors A d? etermine un tore perc? e conforme parabolique avec ? ? √ b bc ?a ? c ? ? ∈ SL(2, R). B = ±? ? c (1 + a2 ) ? √ ?a b bc Cette proposition donne des exemples classiques [147] [700] [724] : ? Le groupe de Klein est d? e?ni avec λ = 1, ? = θ = 2. Il est d? etermin? e par A : A= 2 1 1 1 , B= 1 ?2 ?2 5 .

? Le groupe de la th? eorie de Marko?, qui est en r? ealit? e le groupe libre F2 , est d? e?ni avec λ = ? = θ = 1. Il est d? etermin? e par la seule donn? ee de la matrice A0 : A0 = 1 1 1 2 , B0 = 1 ?1 ?1 2 .

Il est possible de voir que ce cas se ram` ene au pr? ec? edent. √ etermin? e par : ? Le groupe de Hecke est d? e?ni avec λ = ? = 2, θ = 1. Il est d? √ √ √ √ 2/2 √ 2/4 2 /2 ?√ 2/4 √ √ . A= , B= ? 2 3 2/2 2 3 2/2 ? Le groupe Gθ est engendr? e par les matrices suivantes o` uθ>0 Aθ = ? (θ/?) (?λ2 /θ) ((1 + λ2 )/?) , Bθ = λ ?(λ?2 /θ) ?(θ/λ) ((1 + ?2 )/λ) .

Il est conform? ement ? equivalent au groupe G1 donn? e avec θ = 1 par : 1 Dθ = √ θ θ 0 0 1
?1 ?1 , A1 = Dθ Aθ Dθ , B1 = Dθ Bθ Dθ .

On en d? eduit l’expression de la matrice de passage d’un groupe Gθ ` a tout autre ? ? groupe Gθ′ . Si l’on note respectivement TΓ et T les tores perc? e s conformes Γ ′ θ θ associ? es, ils sont conform? ement ? equivalents lorsque θ et θ′ sont de m? eme signe, et anti-conform? ement ? equivalents dans le cas contraire.

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4. APPROCHE ANALYTIQUE

4.3. Classi?cation des groupes de Fricke par les triplets de traces. Avec un formalisme sur les traces analogue ` a celui de [629] on a trouv? e: Proposition 4.3. Soient (A, B ) et (A′ , B ′ ) les syst` emes de g? en? erateurs respectifs de deux groupes principaux de groupes de Fricke Γ et Γ′ associ? es a ` des tores perc? es conformes paraboliques, on a ? equivalence des propri? et? es suivantes : 1/ Les couples (A, B ) et (A′ , B ′ ) sont ? equivalents par un m? eme automorphisme int? erieur de GL(2, R) : 2/ On a ? egalit? e des deux triplets suivants A = DA′ D?1 , B = DB ′ D?1 , o` u D ∈ GL(2, R). Π(A, B ) = (tr(B ?1 ), tr(A), tr(B ?1 A?1 )), Π(A′ , B ′ ) = (tr(B ′?1 ), tr(A′ ), tr(B ′?1 A′?1 )). 3/ Les couples (A, B ) et (A′ , B ′ ) d? e?nissent les m? emes param` etres λ, ? ∈ R+ λ = (tr(A)/tr(AB )) = (tr(A′ )/tr(A′ B ′ )), ? = (tr(B )/tr(AB )) = (tr(B ′ )/tr(A′ B ′ )). De fa? con ? evidente, on a 1/ ? 2/ ? 3/. Le plus d? elicat est d’? etablir l’implication 3/ ? 1/. On le fait avec une m? ethode g? eom? etrique directe bas? ee sur la comparaison de birapports. Il en r? esulte l’existence d’une homographie de la droite r? eelle projective sur le bord de H, et donc d’une matrice D ∈ GL(2, R) associ? ee ` a cette homographie. La matrice D est explicitement calculable, et on v? eri?e qu’elle satisfait ` a la condition 1/. Ceci termine la d? emonstration en explicitant la transformation de M¨ obius de H recherch? ee. De plus on a pu s’assurer que l’on a :

? Proposition 4.4. Toute ? equivalence conforme d’un tore perc? e parabolique TΓ dans lui-m? eme donn? ee par une conjugaison de GL(2, R) est ? egale a ` l’identit? e.

4.4. R? eduction des tores perc? es paraboliques. Ayant class? e les tores perc? es paraboliques au moyen des transformations conformes de H, on a examin? e ce que l’on peut faire sans changer de groupe, mais en changeant seulement de syst` eme de g? en? erateurs (A, B ). Ceci permet de contruire une th? eorie de la r? eduction dans tout groupe de Fricke. 4.4.1. Les involutions. Le groupe Γ = P gp(A, B ) est un groupe de Fricke pour ? tout tore perc? e parabolique TΓ , et le goupe gp(A, B ) est libre ` a deux g? en? erateurs A et B . On applique les automorphismes involutifs du groupe gp(A, B ) dont les expressions sont issues de la th? eorie de Marko? classique [629] : Yφ : (A, B ) ?→ (BAB, B ?1 ), Zφ : (A, B ) ?→ (A?1 , B ). Leur action sur le triplet des traces (x, y, z ) = (tr(B ?1 ), tr(A), tr(B ?1 A?1 )) est : Xφ : (x, y, z ) ?→ (yz ? x, y, z ), Zφ : (x, y, z ) ?→ (x, y, xy ? z ). Ces transformations laissent invariante la relation x2 + y 2 + z 2 = xyz . Yφ : (x, y, z ) ?→ (x, xz ? y, z ), Xφ : (A, B ) ?→ (A?1 , ABA),

? ` ? PARABOLIQUES 4. THEORIE COMPLETE POUR LES TORES PERCES

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4.4.2. Nappe principale et groupe principal. La derni` ere ? equation cit? ee est celle d’une surface r? eelle poss? edant un point double (0, 0, 0) et quatre nappes se d? eduisant de la nappe principale d? e?nie par les conditions x > 0, y > 0, z > 0. La nappe principale est invariante par les transformations Xφ , Yφ , Zφ . On passe d’une nappe aux autres par des transformations ? evidentes. Elles peuvent ne pas laisser le groupe gp(A, B ) invariant. Comme on raisonne sur un tore perc? e parabolique, on a recours aux deux param` etres λ = (tr(A)/tr(AB )) et ? = (tr(B )/tr(AB )). Pour la nappe principale, on a λ > 0 et ? > 0, c’est ` a dire des valeurs dans le premier quart de plan r? eel. Pour les autres couples matrices dont les param` etres sont dans un des autres quarts de plan, on note les param` etres correspondants ελ λ et ε? ?, avec λ > 0 et ? > 0, ελ et ε? dans {+1, ?1}. Ceux-ci d? eterminent des couples de matrices que l’on peut ? ecrire (ε? A, ελ B ). Les groupes gp(ε? A, ελ B ) et gp(A, B ) peuvent ? etre di?? erents, mais les groupes de transformations associ? es sont identiques et d? eterminent m? eme groupe de Fricke. Tous donnent les m? emes points α, s = 0, β , p = ∞. On peut donc se limiter ` a consid? erer le groupe principal gp(A, B ), avec les conditions λ > 0 et ? > 0 caract? erisant la nappe principale. Les autres sont ses groupes conjugu? es. La remont? ee d’un groupe Γ ? P SL(2, R) ` a un groupe G ? SL(2, R) dont Γ est l’image est ? etudi? ee dans [446]. Le groupe Γ se remonte en G si et seulement s’il n’a pas d’? el? ement d’ordre 2. Dans le cas parabolique, il n’y pas de di?cult? e. 4.4.3. La r? eduction. Le processus de r? eduction peut ? etre transpos? e facilement du groupe principal ` a tout groupe conjugu? e. Sur le groupe principal gp(A, B ) on construit algorithmiquement une suite des transformations Xφ , Yφ , Zφ , de fa? con ` a r? eduire tout syst` eme de g? en? erateurs (A, B ). Consid? erons que ce syst` eme d? e?nisse avec le triplet de traces associ? e sur la nappe principale les quatre nombres m = max(x, y, z ) > 0, mx = max(yz ? x, y, z ) > 0, mz = max(x, y, xy ? z ) > 0. my = max(x, xz ? y, z ) > 0,

On dit que le triplet (x, y, z ) n’est pas r? eduit si et seulement si l’un des nombres mx , my , mz , est strictement plus petit que m. On s’assure facilement que pour tout triplet non r? eduit, deux des nombres mx , my , mz , sont plus grands que m, le troisi` eme ? etant plus petit que m. Ceci permet de choisir une unique involution parmi Xφ , Yφ , Zφ , avec laquelle on construit un nouveau triplet (x1 , y1 , z1 ) tel que la valeur m1 = max(x1 , y1 , z1 ) soit strictement plus petite que m. On poursuit en renouvelant le proc? ed? e` a partir de ce dernier triplet, d? eveloppant un processus de descente in?nie analogue ` a celui que l’on a utilis? e pour r? esoudre nos ? equations. Il est facile de v? eri?er que l’algorithme s’arr? ete sur un triplet r? eduit. Ceci donne : Proposition 4.5. Tout groupe principal du groupe de Fricke Γ associ? e a ` un ? tore perc? e conforme parabolique TΓ poss` ede un syst` eme de g? en? erateurs r? eduit. L’action des involutions Xφ , Yφ , Zφ , se traduit sur les param` etres λ et ? gr? ace ` a des involutions d? e?nissant une action de T3 sur le quart de plan : Xφ : (λ, ?) ?→ (λ, 1 + λ2 ). ?

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4. APPROCHE ANALYTIQUE

1 + ?2 , ?), λ λ ? Zφ : (λ, ?) ?→ ( 2 , ). λ + ?2 λ2 + ?2 On fait alors appara? ?tre un int? eressant pavage d’un quart de plan r? eel par un triangle curviligne, pavage du ` a une action du groupe du triangle T3 . Les points invariants par Xφ dans le quart de plan qui correspond ` a la nappe principale sont port? es par une hyperbole HX d’? equation ?2 ? λ2 = 1. Ceux qui sont invariants par Yφ sont port? es par l’hyperbole HY d’? equation λ2 ? ?2 = 1. Les points invariants par Zφ sont port? es par le cercle HZ d’? equation λ2 + ?2 = 1. Ces trois courbes d? eterminent un triangle curviligne de sommets L(1, 0), M(0, 1), N(∞, ∞) qui constitue un domaine fondamental pour l’action sur le quart de plan du groupe T3 . Yφ : (λ, ?) ?→ ( 4.4.4. La super-r? eduction. Dans le triangle curviligne LMN lui-m? eme, on a la condition ?2 ≤ 1 + λ2 . Mais on peut ? echanger le r? ole des matrices A et B sans changer de groupe, c’est-` a dire permuter λ et ?. On obtient λ ≤ ? avec cette transformation On obtient aussi 1 ≤ λ avec la transformation suivante P1 : (A, B ) ?→ (B, A).

On dit qu’un syst` eme de g? en? erateurs (A, B ) du groupe principal associ? e` a un tore ? perc? e parabolique TΓ est super-r? eduit si et seulement si on a les conditions Ce qui pr? ec` ede permet d’? enoncer : 1 ≤ λ ≤ ?, ?2 ≤ 1 + λ2 .

P2 : (A, B ) ?→ (A, B ?1 A?1 ).

Proposition 4.6. Tout groupe principal du groupe de Fricke Γ associ? e a ` un ? tore perc? e conforme parabolique TΓ poss` ede un syst` eme de g? en? erateurs super-r? eduit. 4.4.5. Exemple des tores perc? es de Klein et de Hecke. On peut illustrer ce que donne l’algorithme sur les exemples connus de groupes de Fricke [147]. ? Tore de Klein : Ce cas a ? et? e donn? e avec λ = 1, ? = θ = 2, qui ne respectent pas la condition de super-r? eduction. Le triplet correspondant est (x, y, z ) = (6, 3, 3). Il donne m = 6, mx = 3, my = 15, mz = 15. On identi?e ainsi la transformation Xφ qui conduit ` a calculer les matrices suivantes : A= 1 ?1 ?1 2 , B= 1 1 1 2 .

On a alors (x, y, z ) = (3, 3, 3) et m = 3 < mx = my = mz = 6. On est cette fois dans le triangle curviligne LMN avec les valeurs λ = ? = 1. On voit alors que l’on se ram` ene simplement au groupe de la th? eorie de Marko?, o` u B = A0 et A = B0 . Avec λ = ? = 1 on est alors dans le cas d’un syst` eme super-r? eduit de g? en? erateurs du groupe principal consid? er? e. √ ? Tore de Hecke : Ce cas a ? et? e ? evoqu? e avec les valeurs λ = ? = 2/2 et θ = 1. Ces valeurs ne respectent pas la condition de super-r? eduction. On se trouve cette fois dans√ le triangle curviligne LMN . Le triplet correspondant est maintenant √ √ (x, y, z ) = (2 2, 2 2, 4). Il correspond aux valeurs m = 4, mx = my = 2 2,

? ` ? PARABOLIQUES 4. THEORIE COMPLETE POUR LES TORES PERCES

61

mz = 4. On n’identi?e ainsi aucune transformation applicable Xφ , Yφ , Zφ . Par contre on peut appliquer √ P2 qui donne les matrices suivantes correspondant aux valeurs λ = 1 et ? = 2 : √ √ 4 ?(1/2) 2/2 √ 2/4 √ , B= . A= 2 0 2 3 2/2 4.5. Module d’un tore perc? e conforme parabolique. On dit que deux tores perc? es conformes paraboliques sont de m? eme type si et seulement s’il existe une ? equivalence conforme transformant l’un en l’autre. L’algorithme de r? eduction permet de remplacer le couple de g? en? erateurs (A, B ) d’un groupe de Fricke gr? ace aux involutions Xφ , Yφ , Zφ . Il ne change pas le tore perc? e conforme sur lequel on travaille. En combinant les deux m? ethodes, on associe aux di?? erents types de tores perc? es conformes paraboliques avec les calculs qui pr? ec` edent un nombre r? eel (?2 /λ2 ), le module du tore perc? e que l’on consid` ere. Les conditions de super-r? eduction garantissent que l’on peut se ramener ` a 1≤ Ceci a permis d’? enoncer : Proposition 4.7. Tous les types de tores perc? es conformes paraboliques sont associ? es a ` un nombre r? eel positif (?2 /λ2 ) compris entre 1 et 2, le module du tore perc? e conforme parabolique consid? er? e. La valeur 1 correspond a ` un tore perc? e de Klein. La valeur 2 correspond a ` un tore perc? e de Hecke. Toute valeur comprise entre 1 et 2 correspond a ` un tore perc? e conforme. Cette proposition classe ` a l’aide de leur module les tores perc? es conformes paraboliques que l’on peut construire sur un m? eme tore perc? e topologique. Deux tores perc? es conformes correspondants ` a des modules (?2 /λ2 ) di?? erents ne peuvent ? etre de m? eme type. A l’inverse, deux tores correspondants ` a un m? eme module (?2 /λ2 ) peuvent ne pas ? etre de m? eme type. Consid? erons pour le voir ?′ = κ?, λ′ = κλ, κ = 0. Sauf le cas o` u κ = 1, les quadruplets (α, s, β, p) et (α′ , s′ , β ′ , p′ ) se d? eduisent par une homographie sans que celle-ci permette de conclure ` a des relations convenables entre les matrices associ? ees A, B et A′ , B ′ . Les traces seules permettent de garantir que l’on a a?aire ` a des tores paraboliques conform? ement ? equivalents. Par exemple le tore de la th? eorie de Marko? est donn? e avec λ = ? = 1, mais il n’est pas conform? ement ? equivalent ` a celui que l’on obtient avec κ = 2 et les matrices A′ = 2 8 (1/2) (5/2) , B′ = 2 ?8 ?(1/2) (5/2) , ?2 ≤ 2. λ2

car les triplets de traces associ? es comprennent un rationnel non entier qui rend impossible de trouver M ∈ SL(2, Z) telle que A′ = M ?1 A0 M et B ′ = M ?1 B0 M . Les exemples de ce genre ont ? et? e? etudi? es dans [143] o` u des indications sont donn? ees sur la valeur des constantes de Marko? correspondantes, mais la th? eorie d? evelopp? ee par cet auteur est moins compl` ete que la n? otre. Les deux tores perc? es de l’exemple que l’on vient de donner ne sont pas conform? ement ? equivalents, alors qu’ils sont de m? eme module ? egal ` a 1 par hypoth` ese. Cette situation ne se reproduit pas dans le cas particulier du tore de Hecke qui est de module 2. Consid? erons en e?et les √ erisent in? egalit? es qui le d? e?nissent, elles imposent λ = 1 et ? = 2. Elles caract?

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4. APPROCHE ANALYTIQUE

de fa? con unique le type conforme du tore de Hecke. En fait, se donner un couple (λ, ?) avec les contraintes trouv? ees ant? erieurement est ? equivalent ` a se donner un couple ((?2 /λ2 ), λ), c’est-` a-dire plus que le seul module (?2 /λ2 ), avec cette fois les contraintes 1 . 1≤λ≤ (?2 /λ2 ) ? 1

La ?xation du module (?2 /λ2 ) permet de se ramener ` a un m? eme domaine fondamental p = ∞, α = ?1, s = 0, β = (?2 /λ2 ). Mais le facteur suppl? ementaire λ est en plus n? ecessaire pour d? ecrire alors la fa? con dont les bords de ce domaine sont identi?? es par A et B , ce que l’on a pu d? ecrire g? eom? etriquement dans [632]. On retrouve ainsi le fait que le type conforme d’un tore perc? e conforme parabolique n? ecessite deux param` etres pour ? etre bien d? e?ni, ainsi que le fait que les tores de Hecke sont d? e?nis ` a transformation conforme pr` es de H par leur seul module. La th? eorie de la r? eduction que l’on a d? evelopp? ee n’est pas celle de [409] qui correspond plut? ot ` a un codage des g? eod? esiques ferm? ees d’un quotient H/Γ o` u Γ groupe fuchsien. 4.6. Apparition des quaternions. On consid` ere une matrice B ∈ SL(2, R) telle que tr(B ) = ((1 + λ2 + ?2 )/λ). Avec le groupe G1 introduit pr? ec? edemment, B1 ∈ G1 et la condition BD = DB1 o` u B1 = on a obtenu : Proposition 4.8. Si B ∈ SL(2, R), on a ? equivalence des deux propri? et? es : 1/ tr(B ) = ((1 + λ2 + ?2 )/λ). 2/ Il existe D ∈ GL(2, R) telle que B = DB1 D?1 o` u B1 = λ ?λ?2 ?(1/λ) ((1 + ?2 )/λ) . λ ?(λ?2 ) ?(1/λ) ((1 + ?2 )/λ) , D= x z y t , det(D) = ±1,

Si on combine maintenant cette proposition avec la recherche d’une matrice D′ telle que A = D′ A1 D′?1 et tr(A) = ((1 + λ2 + ?2 )/?), on est conduit ` a? ecrire
?1 ?1 ′ ?1 ′?1 B ?1 A?1 = DB1 D D A1 D , ?1 1 ?1 ′ ?1 tr(B ?1 A?1 ) = tr(B1 (D?1 D′ )A? D ) ) = ((1 + λ2 + ?2 )/λ?). 1 (D

Ceci introduit une matrice W = D ?1 D ′ = ?1 ?3 ?4 ?2 ,

et le calcul e?ectif de sa trace donne un ? equation quadratique que l’on peut interpr? eter comme la norme d’un quaternion. Une solution de cette ? equation est donn? ee par ?1 = ?2 = ±1, ?3 = ?4 = 0. Les autres solutions sont calculables et fournissent des quaternions non triviaux que l’on peut utiliser pour donner une caract? erisation du couple (A, B ) par le triplet de traces Π(A, B ) = (tr(B ?1 ), tr(A), tr(B ?1 A?1 )).

5. PERSPECTIVES

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5. Perspectives Dans ce qui pr? ec` ede on a donn? e une nouvelle interpr? etation g? eom? etrique des eorie de Marko? g? en? eralis? ee. ? equations diophantiennes M s1 s2 (a, ?K, uθ ) de notre th? Le lien a ? et? e fait avec la th? eorie des tores perc? es conformes, et on a vu une di?? erence entre le cas parabolique o` u la g? en? eralisation est compl` ete et le cas hyperbolique o` u les r? esultats sont plus lacunaires. Pour les tores paraboliques, on dispose d’une th? eorie de la r? eduction compl` ete qui classe les triplets de traces sous l’action du groupe du triangle T3 . Tous sont issus d’une ? equation de Marko? classique gr? ace ` a la condition tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) = σ = 0. Ils s’interpr` etent avec les couples de g? en? erateurs du groupe libre non commutatif ` a deux g? en? erateurs F2 auquel tout groupe de Fricke est isomorphe [681]. Ce cas g? en? eralise de fa? con compl` ete aux tores perc? es paraboliques la th? eorie de Marko? classique. Cette pr? esentation explique les d? eveloppements que l’on trouve dans [147] et [143] auxquels elle donne une interpr? etation. Elle explicite les travaux de [700]. On peut compl? eter ce qui pr? ec` ede par un calcul des constantes de Marko? associ? ees, sachant que les fractions continues ne s’? ecrivent plus dans ce cas avec des 1 et des 2, mais contiennent d’autres valeurs (voir [143]). Trouver un exemple o` u la seule valeur suppl? ementaire est ? egale ` a 3 ne para? ?t pas un d? e? insurmontable. Les tores perc? es conformes hyperboliques sont eux-m? emes donn? es par une ? equation M s1 s2 (a, ?K, uθ ) dont on a donn? e une interpr? etation g? eom? etrique et pour lesquels on a une action du groupe de triangle T3 et une r? eduction associ? ee. On les a? egalement class? es ` a isom? etrie pr` es de H avec la condition di?? erente (comparer ` a [396]) : tr(A)2 + tr(B )2 + tr(AB )2 ? tr(A)tr(B )tr(AB ) = σ < 0.

Pour que ce classement soit a `? equivalence conforme pr` es de H il faut ajouter une valeur ε = ±1 correspondant ` a l’orientation du tore perc? e. On a une autre r? eduction pour les tores σ -hyperboliques ainsi d? e?nis. On a vu que le groupe correspondant n’est plus de Fricke. On a donn? e un exemple o` u une relation entre g? en? erateurs a ? et? e calcul? ee, il faut voir si la m? ethode utilis? ee est g? en? eralisable, et ce que devient la super-r? eduction. Ceci est examin? e au chapitre suivant. Les g? eod? esiques invariantes ont permis de comprendre comment les surfaces de Riemann qui en r? esultent sont prolong? ees d’une surface ` a un trou vers une surface ` a une piq? ure. On a vu comment ce cas recouvre une situation o` u apparaissent deux tores trou? es conformes li? es entre eux (doubles de Schottky), qui se recouvrent dans le cas parabolique limite. On peut d? evelopper une th? eorie de la r? eduction pour les tores hyperboliques en prenant soin de travailler simultan? ement sur les deux tores. Il faudrait aussi voir ce que devient dans le cas hyperbolique le lien avec les quaternions. L’exemple hyperbolique identi?? e avec σ = 1769 concerne les matrices A= 11 3 7 2 , B= 37 11 10 3 , H= 3065 ?4799 829 ?1298 .

Le groupe associ? e G =< A, B, H | [A, B ]H = 12 > n’est pas libre car il contient des ? el? ements particuliers U = B ?1 A et V = BA?1 tels que U 2 = V 2 = ?12 . La piste d’approfondissement ` a la g? eom? etrie alg? ebrique qui a ? et? e signal? ee dans ce cas autour de [735] (Tome 1, chapitre III 1.6 p. 164) constitue un sujet important ` a creuser. On a esquiss? e l’interpr? etation qui reste ` a d? etailler mat? erialisant le groupe des classes

64

4. APPROCHE ANALYTIQUE

de diviseurs de nos surfaces cubiques en chaque point entier en utilisant une courbe S = s(P1 ) repr? esentant le plan projectif dans la surface M s1 s2 (a, ?K, uθ ) et une ?bre non singuli` ere F . Cette approche construit un groupe libre ` a deux g? en? erateurs dont il faut comprendre ` a quoi il correspond dans le cas hyperbolique. Ce cas pourrait avoir une grande importance pour la classi?cation des ?br? es vectoriels [229] [230] [231] [473] [432] [433].

CHAPITRE 5

G? en? eralisation aux surfaces de Riemann
1. Introduction Les r? e?exions pour g? en? eraliser la th? eorie de Marko? classique ` a des situations plus vastes ont conduit ` a? etudier de plus pr` es la g? eom? etrie conforme des surfaces de Riemann. Un expos? e sur cette question est donn? e dans [632] o` u l’on d? ecrit la vision que l’auteur a de ce dernier sujet, et les liens qu’il a formalis? es avec des th` emes d’actualit? e en math? ematiques ou en physique. Le r? esum? e qui suit s’appuie sur les expos? es classiques sur le sujet ([745] [467] [253] [47] [408] [554] [729] [150] [226] [769] [866] [62] [466] [227] [675] [580] [581] [582]...). Il indique quelques perspectives de recherches que l’auteur a choisi d’explorer. Le point de d? epart a ? et? e d’? etendre les travaux pr? esent? es pr? ec? edemment sur les tores perc? es au cadre plus g? en? eral des surfaces de Riemann. On a concr? etis? e cette id? ee en tentant d’? eclairer des probl? ematiques contemporaines. Le chaos quantique est ainsi devenu progressivement une pr? eoccupation essentielle. On a recherch? e les liens qu’il pouvait avoir avec la th? eorie de Marko?. En d’autres termes, il s’agissait de savoir si le spectre de Marko? peut ? etre obtenu comme spectre d’un op? erateur, ce qui pourrait expliquer son apparition dans des objets physiques tels que des oscillateurs [635]. Les principaux r? esultats auxquels on est parvenu sont les suivants : ? On a reformul? e l’approche sur les tores perc? es conformes en la pla? cant dans le cadre plus vaste des groupes fuchsiens. Ceci a permis de comprendre comment ? etudier le cas hyperbolique non compl` etement trait? e dans ce qui pr? ec` ede. Ceci a aussi fait le lien complet avec la th? eorie de Teichm¨ uller interpr? et? ee ici comme th? eorie des repr? esentations d’un groupe de Poincar? e dans P SL(2, R). Cette approche g? en? eralise la th? eorie de Marko? de fa? con tr` es satisfaisante. On dispose ainsi d’un espace de modules qui joue le r? ole de l’ensemble des triplets de traces pour les tores perc? es. On a aussi un groupe qui agit sur cet espace, g? en? eralisant l’action du groupe du triangle du cas des tores perc? es. On a pu en d? eduire des r? esultats nouveaux sur des ? equations diophantiennes ` a plus grand nombre de variables que l’on peut traiter comme l’? equation de Marko?. Il existe d? ej` a un tel exemple [43]. Pour d? evelopper l’approche g? eom? etrique correspondante, on a recherch? e les objets ` a consid? erer ` a la place des surfaces de Riemann qui semblent de ce point de vue un peu limit? ees. C’est ainsi que les espaces de Stein ont ? et? e abord? es, mais ils ne sont certainement pas la bonne notion pour de nouvelles g? en? eralisations, et on a indiqu? e pourquoi il faut privil? egier les domaines de Riemann. ? On a ensuite ? etudi? e le lien avec le codage des g? eod? esiques sur une surface de Riemann. Ceci constitue un sujet o` u les r? esultats g? en? eraux disponibles restent limit? es [723] [725], mais qui a un lien tr` es important avec l’? etude des syst` emes dynamiques et la th? eorie ergodique, notamment les g? eod? esiques ferm? ees. La r? e?exion

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? ERALISATION ? 5. GEN AUX SURFACES DE RIEMANN

a? et? e faite dans la perspective de sortir de la seule th? eorie de Marko? qui semble pourtant la seule o` u on dispose de r? esultats signicatifs [704]. ? La fonction ? eta de Dedekind est sous-jacente ` a tous nos travaux. On a montr? e qu’elle donne un certain nombre des fonctions transcendantes classiques sur lesquelles sont construits les plus beaux r? esu

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