当前位置:首页 >> 数学 >>

《三角函数》辅导


《三角函数》复习题 一、求值 1 2 1.已知 cos2α = ,则 sin α =( 4 A. 1 2 3 B. 4 5 C. 8 ) 3 D. 8 )

1 1 π 2.已知 cosα = ,cos(α +β )=- ,且α ,β ∈(0, ),则 cos(α -β )的值等于( 3 3 2 1 A.- 2 1 B. 2 1 C.- 3 23 D. 27 )

π 1 2π 3.(2011 年浙江五校联考)已知 sin( +α )= ,则 cos( -2α )的值等于( 6 3 3 5 A.- 9 7 B.- 9
2

5 C. 9 )

7 D. 9

sin(180+2α ) cos α 4. ? 等于( 1+cos2α cos(90+α ) A.-sin α B.-cos α

C.sin α

D.cos α

π 1+ 2cos(2α - ) 4 3 5.已知角α 在第一象限且 cosα = ,则 等于( 5 π sin(α + ) 2 A. 2 5 7 B. 5 14 C. 5 2 D.- 5

)

1 π 3π 6.已知 sinθ +cosθ = ,且 ≤θ ≤ ,则 cos2θ 的值是________. 5 2 4 4 7.(2010 年高考全国卷Ⅰ)已知α 是第二象限的角,tan(π +2α )=- ,则 tanα =________. 3 8.若锐角α 、β 满足(1+ 3tanα )(1+ 3tanβ )=4,则α +β =________. 9.sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值为( A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 ) D. 3 2 )

3 π π 5π 10.(2011 年抚顺六校模拟)若 sinα = ,α ∈(- , ),则 cos(α + )=( 5 2 2 4 A.- 2 10 B. 2 10 7 2 C.- 10 7 2 D. 10 ) D.-7 )

π 3 π 11.已知α ∈( ,π ),sinα = ,则 tan(α + )等于( 2 5 4 A. 1 7 B.7 1 C.- 7

π 3 π 2 12.已知 tan(α - )= ,tan( +β )= ,则 tan(α +β )的值为( 6 7 6 5 A. 29 41 1 B. 29 1 C. 41 D.1

1

π β 3 α 1 13.若α ,β ∈(0, ),cos(α - )= ,sin( -β )=- ,则 cos(α +β )的值等于( 2 2 2 2 2 A.- 3 2 B.- 1 2 1 C. 2 D. 3 2

)

2 π 1 π 14.若 tan(α +β )= ,tan(β - )= ,则 tan(α + )=________. 5 4 4 4 3π 3 π 12 π 15.已知α ,β ∈( ,π ),sin(α +β )=- ,sin (β - )= ,则 cos(α + )=________. 4 5 4 13 4 π 16. (2011 年温州十校联考)非零向量 a=(sinθ , 2), b=(cosθ , 1), 若 a 与 b 共线, 则 tan (θ - )=________. 4 17.已知α 为锐角,且 tan( π +α )=2. 4

sin 2α cosα -sinα (1)求 tanα 的值;(2)求 的值. cos2α

π 18.(2011 年南京模拟)已知向量 a=(sinα ,1),b=(cosα ,2),α ∈(0, ). 4 17 π (1)若 a∥b,求 tan α 的值;(2)若 a?b= ,求 sin (2α + )的值. 8 4

2

二、三角函数的图像及性质 1.函数 y=|sinx|的最小正周期为( A.π B.2π ) π C. 2 π D. 4 )

π π 2.已知 f(x)=sin(x+ ),g(x)=cos (x- ),则 f(x)的图象( 2 2 A.与 g(x)的图象相同 π C.向左平移 个单位,得到 g(x)的图象 2

B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称 π D.向右平移 个单位,得到 g(x)的图象 2 )

2π 3.若函数 y=2cos ω x 在区间[0, ]上递减,且有最小值 1,则ω 的值可以是( 3 A.2 1 B. 2 C.3 1 D. 3

π 4.(2011 年中山模拟)函数 f(x)=Asin (ω x+φ )(其中 A>0,|φ |< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=cos 2x 2 的图象,则只要将 f(x)的图象( π A.向右平移 个单位长度 6 π C.向左平移 个单位长度 6 ) π B.向右平移 个单位长度 12 π D.向左平移 个单位长度 12 π -ω x)(ω >0)的最小正周期为π ,则ω 的值为________. 2 π π ,直线 x= 是其图象的一条对 2 3

5.(2011 年广州模拟)若函数 f(x)=cos (ω x)cos (

6.已知函数 y=Asin (ω x+φ )+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期是 称轴,若 A>0,ω >0,0<φ < π ,则函数解析式为________. 2
2

7.若函数 f(x)=sin 2x-2sin x?sin 2x(x∈R),则 f(x)是( A.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数

)

B.最小正周期为π 的奇函数 π D.最小正周期为 的奇函数 2

π 8.将函数 y=sin ω x(ω >0)的图象向左平移 个单位, 平移后的图象如图所示, 则平移后的图 6 象所对应的函数解析式为( π A.y=sin (x+ ) 6 9、要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移 ) π B.y=sin (x- ) 6 π C.y=sin (2x+ ) 3 )C π D.y=sin (2x- ) 3

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象(
B.向右平移

? 个单位 4

? 个单位 4

C.向左平移

? 个单位 8

D.向右平移

? 个单位 8
)

π 10. 将函数 y=sin x 的图象向左平移φ (0≤φ <2π )个单位后, 得到函数 y=sin (x- )的图象, 则φ 等于( 6 A. π 6 5π B. 6 7π C. 6 11π D. 6

3

11.已知函数 y=2sin (ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]上的图象如图,那么ω =( A.1 B.2 1 C. 2 ) π C.关于点( ,0)对称 4 1 D. 3

)

π 12..函数 y=sin (2x+ )的图象( 3 π A.关于点( ,0)对称 3

π B.关于直线 x= 对称 4

π D.关于直线 x= 对称 3

13、已知函数 f(x)= 3cos 2x+sin 2x,则 f(x)的最小正周期是________. 14 已知函数 f(x)=sin (ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则ω =________.

? π 5π ? 15(2010 年高考天津卷)右图是函数 y=Asin(ω x+φ )(x∈R)在区间?- , ?上的图象,为了得到这个函数的 6 ? ? 6 图象,只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点( ) π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 π? ? 16、(2010 年高考重庆卷)已知函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的部分图象如图所示,则 2? ?
( ) π A.ω =1,φ = 6 π B. C.ω =2,φ = 6 π B.ω =1,φ =- 6 π D.ω =2,φ =- 6

π 17.(2010 年高考四川卷)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 10 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( π A.y=sin (2x- ) 10 π B.y=sin (2x- ) 5 ) 1 π C.y=sin ( x- ) 2 10 1 π D.y=sin ( x- ) 2 20

4

一、求值 解析 1 2 1.已知 cos2α = ,则 sin α =( 4 A. 1 2 3 B. 4 5 C. 8 )D 3 D. 8

1 3 2 2 解析:cos2α =1-2sin α = ,解得 sin α = . 4 8 1 1 π 2.已知 cosα = ,cos(α +β )=- ,且α ,β ∈(0, ),则 cos(α -β )的值等于( 3 3 2 1 A.- 2 1 B. 2 1 C.- 3 23 D. 27 )D

π 解析:∵α ∈(0, ),∴2α ∈(0,π ). 2 1 7 4 2 π 2 2 ∵cosα = ,∴cos2α =2cos α -1=- ,∴sin 2α = 1-cos 2α = ,而α ,β ∈(0, ), 3 9 9 2 ∴α +β ∈(0,π ),∴sin (α +β )= 1-cos α +β =
2

2 2 , 3

7 1 4 2 2 2 ∴cos(α -β )=cos [2α -(α +β )]=cos2α cos(α +β )+sin 2α sin (α +β )=(- )?(- )+ ? 9 3 9 3 = 23 . 27 π 1 2π 3.(2011 年浙江五校联考)已知 sin( +α )= ,则 cos( -2α )的值等于( 6 3 3 5 A.- 9 7 B.- 9 5 C. 9 7 D. 9 )B

π π π π π 1 解析:∵ +α + -α = ,∴sin( +α )=cos( -α )= , 6 3 2 6 3 3 2π π π 1 2 7 2 ∴cos ( -2α )=cos 2( -α )=2cos ( -α )-1=2?( ) -1=- ,故选 B. 3 3 3 3 9 4. sin(180°+2α ) cos α ? 等于( 1+cos2α cos(90°+α ) B.-cos α sin 2α 1+cos 2α cos α sin α
2 2

)D C.sin α
2

A.-sin α 解析:原式=

D.cos α



2sinα ?cosα ?cos α =cosα . 2 2cos α ?sinα

π 1+ 2cos (2α - ) 4 3 5.已知角α 在第一象限且 cosα = ,则 等于( 5 π sin (α + ) 2 A. 2 5 7 B. 5 1+ 2cos 2α cos 解析:原式= 14 C. 5 2 D.- 5

)C

π π +sin 2α sin 4 4 1+cos 2α +sin 2α 2cos2α +2sinα cosα = = = 2 ? (cos cos α cosα cosα

5

3 4 14 α +sinα )=2?( + )= . 5 5 5 1 π 3π 7 6.已知 sinθ +cosθ = ,且 ≤θ ≤ ,则 cos2θ 的值是________.- 5 2 4 25 解析:由(sinθ +cosθ ) =
2

1 24 3π ,得 sin2θ =- .又π ≤2θ ≤ ,则 cos2θ =- 25 25 2

24 2 7 1-(- ) =- . 25 25

4 1 7.(2010 年高考全国卷Ⅰ)已知α 是第二象限的角,tan(π +2α )=- ,则 tanα =________.- 3 2 4 4 2tanα 1 解析:∵tan(π +2α )=- ,∴tan2α =- = ,∴tanα =- 或 tanα =2. 2 3 3 1-tan α 2 1 又α 在第二象限,∴tan α =- . 2 π 8.若锐角α 、β 满足(1+ 3tanα )(1+ 3tanβ )=4,则α +β =________. 3 tanα +tanβ 解析:由(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,可得 = 3,即 tan(α +β )= 3. 1-tanα tanβ π 又α +β ∈(0,π ),∴α +β = . 3 9.sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值为( A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 )C D. 3 2

解析:sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin (45°-15°)=sin 1 30°= . 2 3 π π 5π 10.(2011 年抚顺六校模拟)若 sinα = ,α ∈(- , ),则 cos(α + )=( 5 2 2 4 A.- 2 10 B. 2 10 7 2 C.- 10 7 2 D. 10 )A

π π 3 4 5π 2 2 解析:∵α ∈(- , ),sin α = ,∴cos α = ,∴cos (α + )=- (cos α -sin α )=- ,故选 2 2 5 5 4 2 10 A. π 3 π 11.已知α ∈( ,π ),sinα = ,则 tan(α + )等于( 2 5 4 A. 1 7 B.7 1 C.- 7 )A D.-7

3 - +1 4 π 3 4 3 π tan α +1 1 解析:∵α ∈( ,π ),sin α = ,∴cos α =- ,tan α =- ,∴tan (α + )= = = . 2 5 5 4 4 1-tan α 3 7 1+ 4 π 3 π 2 12.已知 tan(α - )= ,tan( +β )= ,则 tan(α +β )的值为( 6 7 6 5 A. 29 41 1 B. 29 1 C. 41 D.1 )D

6

π tan(α - )+tan 6 π π 解析:tan(α +β )=tan [(α - )+( +β )]= 6 6 π 1-tan α - ?tan 6

π 3 2 +β + 6 7 5 = =1, π 3 2 +β 1- ? 6 7 5 )B

π β 3 α 1 13.若α ,β ∈(0, ),cos(α - )= ,sin( -β )=- ,则 cos(α +β )的值等于( 2 2 2 2 2 A.- 3 2 B.- 1 2 1 C. 2 D. 3 2

π π β π π α π β 3 α 1 解析:∵α ,β ∈(0, ),∴- <α - < ,- < -β < ,由 cos (α - )= 和 sin ( -β )=- , 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 β π α π β π α π 可得α - =± , -β =- ,当α - =- , -β =- 时, 2 6 2 6 2 6 2 6 α +β =0,与α ,β ∈(0, 选 B. 2 π 1 π 3 14.若 tan(α +β )= ,tan(β - )= ,则 tan(α + )=________. 5 4 4 4 22 π 2 1 tan(α +β )-tan(β - ) - 4 5 4 π π 3 解析:tan(α + )=tan[(α +β )-(β - )]= = = . 4 4 π 2 1 22 1+tan(α +β )tan(β - ) 1+ ? 4 5 4 3π 3 π 12 π 56 15.已知α ,β ∈( ,π ),sin(α +β )=- ,sin (β - )= ,则 cos(α + )=________.- 4 5 4 13 4 65 3π 3π π π 3π 4 π 解析:由于α ,β ∈( ,π ),所以 <α +β <2π , <β - < ,故 cos (α +β )= ,cos (β - )= 4 2 2 4 4 5 4 - 5 π π 4 5 3 12 56 ,cos (α + )=cos [(α +β )-(β - )]= ?(- )+(- )? =- . 13 4 4 5 13 5 13 65 π 1 16. (2011 年温州十校联考)非零向量 a=(sinθ , 2), b=(cosθ , 1), 若 a 与 b 共线, 则 tan (θ - )=________. 4 3 解析:∵非零向量 a,b 共线,所以 a=λ b,即(sin θ ,2)=λ (cos θ ,1),所以λ =2,sin θ =2cos θ , π tan θ -1 1 得 tan θ =2,所以 tan (θ - )= = . 4 1+tan θ 3 17.已知α 为锐角,且 tan( π +α )=2. 4 π β π α π π 1 )矛盾;当α - = , -β =- 时,α =β = ,此时 cos (α +β )=- , 2 2 6 2 6 3 2

sin 2α cosα -sinα (1)求 tanα 的值;(2)求 的值. cos2α π 1+tan α 1+tan α 1 解析:(1)tan ( +α )= ,所以 =2,1+tan α =2-2tan α ,所以 tan α = . 4 1-tan α 1-tan α 3 sin 2α cos α -sin α 2sin α cos α -sin α sin α 2cos α -1 sin α cos 2α (2) = = = =sin α . cos 2α cos 2α cos 2α cos 2α 1 1 2 2 2 因为 tan α = ,所以 cos α =3sin α ,又 sin α +cos α =1,所以 sin α = , 3 10 又α 为锐角,所以 sin α = 10 sin 2α cos α -sin α 10 ,所以 = . 10 cos 2α 10
2 2

7

π 18.(2011 年南京模拟)已知向量 a=(sinα ,1),b=(cosα ,2),α ∈(0, ). 4 17 π (1)若 a∥b,求 tan α 的值;(2)若 a?b= ,求 sin (2α + )的值. 8 4 1 解析:(1)因为 a∥b,所以 2sin α =cos α .故 tan α = . 2 17 17 1 π π (2)因为 a?b= ,所以 sin α cos α +2= ,即 sin 2α = .因为α ∈(0, ),所以 2α ∈(0, ),则 cos 2 8 8 4 4 2 α = 15 π 2 2 2 1 2 15 2+ 30 .所以 sin (2α + )= sin 2α + cos 2α = ? + ? = . 4 4 2 2 2 4 2 4 8

二、三角函数的图像及性质 解析 1.函数 y=|sin x|的最小正周期为( A.π B.2π ) π C. 2 π D. 4

解析:由图象知 T=π . 答案:A π π 2.已知 f(x)=sin (x+ ),g(x)=cos (x- ),则 f(x)的图象( 2 2 A.与 g(x)的图象相同 π C.向左平移 个单位,得到 g(x)的图象 2 π 解析:∵f(x)=sin (x+ )=cos x, 2 π π ∴f(x)的图象右移 个单位得到 g(x)=cos (x- )的图象. 2 2 答案:D 2π 3.若函数 y=2cos ω x 在区间[0, ]上递减,且有最小值 1,则ω 的值可以是( 3 A.2 1 B. 2 C.3 1 D. 3 ) )

B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称 π D.向右平移 个单位,得到 g(x)的图象 2

2 2 2 解析:由 y=2cos ω x 在[0, π ]上是递减的,且有最小值为 1,则有 f( π )=1,即 2?cos (ω ? π )=1? cos 3 3 3 2π 1 ω = .检验各数据,得出 B 项符合. 3 2 答案:B π 4.(2011 年中山模拟)函数 f(x)=Asin (ω x+φ )(其中 A>0,|φ |< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=cos 2x 2 的图象,则只要将 f(x)的图象( π A.向右平移 个单位长度 6 ) π B.向右平移 个单位长度 12

8

π C.向左平移 个单位长度 6

π D.向左平移 个单位长度 12

T 7π π π 解析: = - = ,T=π ,ω =2, 4 12 3 4
π π π 又 2? +φ =π ,φ = ,从而 f(x)=Asin (2x+ ),显然选 D. 3 3 3 答案:D 5.(2011 年广州模拟)若函数 f(x)=cos (ω x)cos ( π -ω x)(ω >0)的最小正周期为π ,则ω 的值为________. 2

π 1 2π 解析:由于 f(x)=cos (ω x)cos ( -ω x)= sin (2ω x),所以 T= =π ? ω =1. 2 2 2ω 答案:1 6.已知函数 y=Asin (ω x+φ )+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期是 称轴,若 A>0,ω >0,0<φ < π ,则函数解析式为________. 2 π π ,直线 x= 是其图象的一条对 2 3

π 解析:由题设得,A=2,n=2,ω =4,且当 x= 时, 3 4 π π sin ( π +φ )=±1,又 0<φ < ,故φ = . 3 2 6 π 所求解析式为 y=2sin (4x+ )+2. 6 π 答案:y=2sin (4x+ )+2 6 7.若函数 f(x)=sin 2x-2sin x?sin 2x(x∈R),则 f(x)是( A.最小正周期为π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数
2

)

B.最小正周期为π 的奇函数 π D.最小正周期为 的奇函数 2

1 π 2 解析:f(x)=(1-2sin x)sin 2x=cos 2xsin 2x= sin 4x,显然 f(x)是最小正周期为 的奇函数. 2 2 答案:D π 8.将函数 y=sin ω x(ω >0)的图象向左平移 个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应的函数解 6 析式为( ) π B.y=sin (x- ) 6 π D.y=sin (2x- ) 3

π A.y=sin (x+ ) 6 π C.y=sin (2x+ ) 3

π 解析: 函数 y=sin ω x(ω >0)的图象向左平移 个单位后对应的函数解析式为 y=sin ω (x 6 + π ωπ 7π 7π ω ω π 3π )=sin (ω x+ ),又因为 f( )=-1,根据五点作图法可得, + = ,解得ω =2,所以平移后 6 6 12 12 6 2

9

π 的图象对应的解析式为 y=sin (2x+ ),故选 C. 3 答案:C 9、要得到 y ? 3 sin( 2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象(
B.向右平移

)C

? 个单位 4

? 个单位 4

C.向左平移

? 个单位 8

D.向右平移

? 个单位 8
)

π 10. 将函数 y=sin x 的图象向左平移φ (0≤φ <2π )个单位后, 得到函数 y=sin (x- )的图象, 则φ 等于( 6 B. π 6 5π B. 6 7π C. 6 11π D. 6

π 解析:平移后图象的解析式为 y=sin (x+φ ),依题意可得φ =2kπ - ,k∈Z,又 0≤φ <2π ,故只有选项 D 正确. 6 11.已知函数 y=2sin (ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]上的图象如图,那么ω =( A.1 B.2 1 C. 2 1 D. 3 )

解析:∵T=π ,∴ω =2. 答案:B π 13..函数 y=sin (2x+ )的图象( 3 π A.关于点( ,0)对称 3 称 π 1 π π 解析:由 y=0 得 2x+ =kπ ,k∈Z,即 x= kπ - ,k∈Z,当 k=1 时,x= , 3 2 6 3 π 故( ,0)是函数图象的一个对称中心,选 A. 3 15.已知函数 f(x)= 3cos 2x+sin 2x,则 f(x)的最小正周期是________.Π 16.已知函数 f(x)=sin (ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则ω =________. ) π B.关于直线 x= 对称 4 π C.关于点( ,0)对称 4 π D.关于直线 x= 对 3

2π π 4π 2π 3 解析:由图可知 T=4( - )= ,则有ω = = . 3 3 3 T 2

? π 5π ? 17、(2010 年高考天津卷)右图是函数 y=Asin(ω x+φ )(x∈R)在区间?- , ?上的图象,为了得到这个函数的图 6 ? ? 6 象,只要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点( ) π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 5π ? π ? [听课记录] 由图象可知 A=1,T= -?- ?=π , 6 ? 6?

10

2π ∴ω = =2.

T

∵图象过点? ∴

?π ,0?,∴sin?2π +φ ?=0, ? ? 3 ? ?3 ? ? ?

2π +φ =π +2kπ ,k∈Z, 3

π ∴φ = +2kπ ,k∈Z. 3 π π? ? ? ? ∴y=sin?2x+ +2kπ ?=sin?2x+ ?. 3 3? ? ? ? π 1 故将函数 y=sin x 先向左平移 个单位长度后,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,可得原 3 2 函数的图象. π? ? 18、(2010 年高考重庆卷)已知函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的部分 2? ? 图象如图所示,则( )

π A.ω =1,φ = 6 π C.ω =2,φ = 6

π B.ω =1,φ =- 6 π D.ω =2,φ =- 6

T 7π π π [听课记录] 由图象知 = - = ,∴T=π ,ω =2. 4 12 3 4
7π π 且 2? +φ =kπ +π (k∈Z),φ =kπ - (k∈Z). 12 6 π π 又|φ |< ,∴φ =- . 2 6 π 19.(2010 年高考四川卷)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 10 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( π A.y=sin (2x- ) 10 π B.y=sin (2x- ) 5 )C 1 π C.y=sin ( x- ) 2 10 1 π D.y=sin ( x- ) 2 20

11

三、三角函数的单调性
1.(2010 年高考湖南卷)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合.

π 2 sin 2 x ? 1 2.设 x∈(0, 2 ),则函数 y= 的最小值为________.

sin 2 x

3.已知函数 f(x)=3sin2 x+2 3sin xcos x+5cos2 x. (1)求函数 f(x)的周期和最大值; (2)已知 f(α )=5,求 tan α 的值.

5、已知 tan θ >1,且 sin θ +cos θ <0,则 cos θ 的取值范围是( 2 A.(- 2 ,0) 2 B.(-1,- 2 ) 2 C.(0, 2 )

) 2 D.( 2 ,1)

π π 6、比较大小,sin (-18)________sin (-10). 7、函数 y= 1-2cos x+lg (2sin x-1)的定义域为________.

12

8、求函数 y=lg (sin x-cos x)的定义域.

9、已知函数 f(x)=2cos 2x+sin2 x. π (1)求 f( 3 )的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值.

π 2x 1 10、y=2sin ( 4 - 3 )”求其单调区间.

π π 11、下列函数中,周期为π ,且在[ 4 , 2 ]上为减函数的是( π A.y=sin (2x+ 2 ) π B.y=cos (2x+ 2 )

) π D.y=cos (x+ 2 )

π C.y=sin (x+ 2 ) )

π 12、函数 y=2sin ( 6 -2x)(x∈[0,π ])为增函数的区间是( π A.[0, 3 ] π 7π B.[12, 12 ]

π 5π C.[ 3 , 6 ]

5π D.[ 6 ,π ]

13、已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2 x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值; π π 6 (2)若 f(x0)=5,x0∈[ 4 , 2 ],求 cos 2x0 的值.

13

π 14、已知函数 f(x)=sin2 ω x+ 3sin ω x?sin (ω x+ 2 ) (ω >0)的最小正周期为π . (1)求 f(x); π π (2)当 x∈[-12, 2 ]时,求函数 f(x)的值域.

14

2 15、 .(2010 年高考山东卷)已知函数 f(x)=sin(π -ω x)cos ω x+cos ω x(ω >0)的最小正周期为π . (1)求ω 的值;

1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, π 16]上的最小值.

3 16.已知 a=(sin x,-cos x),b=(cos x, 3cos x),函数 f(x)=a?b+ 2 . (1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 2 时,求函数 f(x)的值域.

15

三、三角函数的单调性
1.(2010 年高考湖南卷)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. 解析:(1)因为 f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x) π? ? = 2sin ?2x+ 4 ?-1, 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π . π π π (2)由(1)知,当 2x+ 4 =2kπ + 2 ,即 x=kπ + 8 (k∈Z)时,f(x)取最大值 2-1.因此函数 f(x)取最大值时 x 的集合为
? ? ? ? ? π ? ? x . x k k Z = π + , ∈ 8 ? ? ? ? ?

2sin2 x+1 π 2.设 x∈(0, 2 ),则函数 y= sin 2x 的最小值为________.Sin 平方 2x 2sin2 x+1 3sin2 x+cos2 x 解析:y= sin 2x = 2sin x?cos x 3 sin x 1 cos x =2?cos x+2? sin x π sin x ∵x∈(0, 2 ),∴cos x>0. ∴y≥2 3 sin x 1cos x 2cos x?2 sin x =2 3 4= 3.

答案: 3 3.已知函数 f(x)=3sin2 x+2 3sin xcos x+5cos2 x. (1)求函数 f(x)的周期和最大值; (2)已知 f(α )=5,求 tan α 的值. 解析:(1)f(x)=3sin2 x+2 3sin xcos x+5cos2 x π = 3sin 2x+cos 2x+4=2sin (2x+ 6 )+4. 2π ∴周期为 2 =π ,最大值为 6. π (2)由 f(α )=5,得 2sin (2α + 6 )+4=5, ∴ 3sin 2α +cos 2α =1, 即 3sin 2α =1-cos 2α ? 2 3sin α cos α =2sin2 α . ∴sin α =0 或 tan α = 3.∴tan α =0 或 tan α = 3. 4.已知函数 f(x)= tan 17 (1)求 f(-12π )的值; π 1 (2)当 x∈[0, 2 ]时,求 g(x)=2f(x)+sin 2x 的最大值和最小值. 解析:(1)f(x)= tan 1+cos 2x 2-2cos 2x-1 π π 4 +x cos2 4 +x 4cos4 x-2cos 2x-1 . π π x sin2 x + - 4 4

16

= sin

cos2 2x π 4 +x cos

= π sin 4 +x

2cos2 2x π 2 +2x

2cos2 2x = cos 2x =2cos 2x. 17π 17π 17π 5π f(- 12 )=2cos (- 6 )=2cos 6 =2cos 6 π =-2cos 6 =- 3. π (2)g(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin (2x+ 4 ), π π π 5π x∈[0, 2 ]? 2x+ 4 ∈[ 4 , 4 ], π π ∴x= 8 时,g(x)max= 2;x= 2 时,g(x)min=-1. 5、已知 tan θ >1,且 sin θ +cos θ <0,则 cos θ 的取值范围是( 2 A.(- 2 ,0) 2 C.(0, 2 ) 2 B.(-1,- 2 ) 2 D.( 2 ,1) )A

π π 6、比较大小,sin (-18)________sin (-10). π π π 解析:因为 y=sin x 在[- 2 ,0]上为增函数且-18>-10, π π 故 sin (-18)>sin (-10). 7、函数 y= 1-2cos x+lg (2sin x-1)的定义域为________.
? ?1-2cos x≥0 由题意得? ? ?2sin x-1>0 ?

?cos x≤2 ? 1 ?sin x>2

1 ,

π ?π 2k x + π ≤ ≤ 3 3 +2kπ ,k∈Z 解得?π 5π ? 6 +2kπ <x< 6 +2kπ ,k∈Z 5 5π π 即 x∈[ 3 +2kπ , 6 +2kπ ),k∈Z. 8、求函数 y=lg (sin x-cos x)的定义域. 由已知得 sin x-cos x>0, 即 sin x>cos x.



π 5 在[0,2π ]内满足 sin x>cos x 的 x 的集合为( 4 ,4π ). 又正弦、余弦函数的周期为 2π , π 5 ∴所求定义域为{x| 4 +2kπ <x<4π +2kπ ,k∈Z}. 9、已知函数 f(x)=2cos 2x+sin 2 x.

17

π (1)求 f( 3 )的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 2π π π 3 1 (1)f( 3 )=2cos 3 +sin2 3 =-1+4=-4.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 分 (2)f(x)=2(2cos2 x-1)+(1-cos2 x) =3cos2 x-1,x∈R.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分 因为 cos x∈[-1,1],所以,当 cos x=±1 时,f(x)取得最大值 2; 当 cos x=0 时,f(x)取得最小值-1.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 分 π (1)求 y=2cos2 x+2cos x,x∈[0, 2 ]的值域; π (2)求 y=sin x+cos x+sin xcos x,x∈[0, 2 ]的值域. 1 1 (1)∵y=2(cos x+2)2-2, π 又∵x∈[0, 2 ],∴cos x∈[0,1], 当且仅当 cos x=0 时,ymin=0,cos x=1 时,ymax=4. 故函数值域为[0,4]. π π 2 (2)∵y=[sin (x+ 4 )+ 2 ]2-1,且 x∈[0, 2 ], π 2 ∴sin (x+ 4 )∈[ 2 ,1], π 2 当且仅当 sin (x+ 4 )= 2 时,ymin=1; π 1 sin (x+ 4 )=1 时,ymax=2+ 2. 1 故函数的值域为[1,2+ 2]. 1 2x π 求函数 f(x)=2sin ( 3 - 4 )的单调区间. π 2 π π 由 2kπ - 2 ≤3x- 4 ≤2kπ + 2 , 3π π 2 ∴2kπ - 4 ≤3x≤2kπ + 4 , 3π 9 ∴3kπ - 8 ≤x≤3kπ +8π . 3π 9π 即递增区间为[3kπ - 8 ,3kπ + 8 ]k∈Z. 3π π 2 π 由 2kπ + 2 ≤3x- 4 ≤2kπ + 2 , 9π 21 ∴3kπ + 8 ≤x≤3kπ + 8 π k∈Z, 9π 21 即递减区间[3kπ + 8 ,3kπ + 8 π ]k∈Z. π 2x 1 10、y=2sin ( 4 - 3 )”求其单调区间. π 2x 1 1 2x π [解析] y=2sin ( 4 - 3 )=-2sin ( 3 - 4 ),

18

π 2x π π 故由 2kπ - 2 ≤ 3 - 4 ≤2kπ + 2 , 3π 9π 解得 3kπ - 8 ≤x≤3kπ + 8 (k∈Z), 3π π 2x π 由 2kπ + 2 ≤ 3 - 4 ≤2kπ + 2 9π 21π 解得 3kπ + 8 ≤x≤3kπ + 8 (k∈Z), 3π 9π ∴递减区间为[3kπ - 8 ,3kπ + 8 ], 9π 21π 递增区间为[3kπ + 8 ,3kπ + 8 ](k∈Z). π π 11、下列函数中,周期为π ,且在[ 4 , 2 ]上为减函数的是( π A.y=sin (2x+ 2 ) π C.y=sin (x+ 2 ) π B.y=cos (2x+ 2 ) π D.y=cos (x+ 2 ) )

π π π 解析:因为函数的周期为π ,所以排除 C、D.又因为 y=cos(2x+ 2 )=-sin 2x 在[ 4 , 2 ]上为增函数,故 B 不符.只 π π π 有函数 y=sin (2x+ 2 )的周期为π ,且在[ 4 , 2 ]上为减函数.故选 A. π 12、函数 y=2sin ( 6 -2x)(x∈[0,π ])为增函数的区间是( π A.[0, 3 ] π 5π C.[ 3 , 6 ] π 7π B.[12, 12 ] 5π D.[ 6 ,π ] )

π π 解析:∵y=2sin ( 6 -2x)=-2sin (2x- 6 ), π π ∴y=2sin ( 6 -2x)的递增区间实际上是 u=2sin (2x- 6 )的递减区间, 3π π π 即 2kπ + 2 ≤2x- 6 ≤2kπ + 2 (k∈Z), 5π π 解上式得 kπ + 3 ≤x≤kπ + 6 (k∈Z). 5π π 令 k=0,得 3 ≤x≤ 6 π 5 又∵x∈[ 0,π ],∴ 3 ≤x≤6π . π π 5 即函数 y=2sin ( 6 -2x)(x∈[0,π ])的增区间为[ 3 ,6π ]. 13、已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2 x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值; π π 6 (2)若 f(x0)=5,x0∈[ 4 , 2 ],求 cos 2x0 的值. (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2 x-1,得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2 x-1)

19

π? ? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ 6 ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 分 所以函数 f(x)的最小正周期为π .4 分 π? ? ? π? ?π π ? ?π ? ?π ? 因为 f(x)=2sin?2x+ 6 ?在区间?0, 6 ?上为增函数,在区间? 6 , 2 ?上为减函数,又 f(0)=1,f? 6 ?=2,f? 2 ?=-1,

? π? 所以函数 f(x)在区间?0, 2 ?上的最大值为 2,最小值为-1.
π? ? (2)由(1)可知 f(x0)=2sin?2x0+ 6 ?. π? 3 6 ? 又因为 f(x0)=5,所以 sin?2x0+ 6 ?=5. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分 π ?2π 7π ? ?π π ? 由 x0∈? 4 , 2 ?,得 2x0+ 6 ∈? 3 , 6 ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 分 π? ? 从而 cos?2x0+ 6 ?=- 所以 cos 2x0=cos? π? 4 ? 1-sin2?2x0+ 6 ?=-5.? ? ? ? ? ? ?10 分 π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 分 6 ??

?

π 2x0+ 6

π? π π? π ? ? =cos?2x0+ 6 ?cos 6 +sin?2x0+ 6 ?sin 6 = 3-4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 分 10 .?

π 14、已知函数 f(x)=sin2 ω x+ 3sin ω x?sin (ω x+ 2 ) (ω >0)的最小正周期为π . (1)求 f(x); π π (2)当 x∈[-12, 2 ]时,求函数 f(x)的值域. 1-cos 2ω x 解析:(1)f(x)= + 3sin ω xcos ω x 2 π 3 1 1 1 = 2 sin 2ω x-2cos 2ω x+2=sin (2ω x- 6 )+2. ∵函数 f(x)的最小正周期为π ,且ω >0, 2π ∴2ω =π ,解得ω =1. π 1 ∴f(x)=sin (2x- 6 )+2. π π π π 5π (2)∵x∈[-12, 2 ],∴2x- 6 ∈[- 3 , 6 ].根据正弦函数的图象可得: π π π 1 3 当 2x- 6 = 2 ,即 x= 3 时,f(x)取得最大值为 1+2=2. π π π 当 2x- 6 =- 3 ,即 x=-12时, 3 1 1- 3 f(x)取得最小值为- 2 +2= 2 . 1- 3 3 ∴f(x)的值域为[ 2 ,2]. 15、 .(2010 年高考山东卷)已知函数 f(x)=sin(π -ω x)cos ω x+cos2ω x(ω >0)的最小正周期为π . (1)求ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,

20

π 16]上的最小值. 解析:(1)因为 f(x)=sin(π -ω x)cos ω x+cos2ω x, 所以 f(x)=sin ω xcos ω x+ 1+cos 2ω x 2

π 1 1 1 2 1 =2sin 2ω x+2cos 2ω x+2= 2 sin(2ω x+ 4 )+2. 2π 由于ω >0,依题意得2ω =π ,所以ω =1. π 2 1 (2)由(1)知 f(x)= 2 sin(2x+ 4 )+2, π 2 1 所以 g(x)=f(2x)= 2 sin(4x+ 4 )+2. π π π π 当 0≤x≤16时, 4 ≤4x+ 4 ≤ 2 , π 2 所以 2 ≤sin(4x+ 4 )≤1. 1+ 2 因此 1≤g(x)≤ 2 . π 故 g(x)在区间[0,16]上的最小值为 1. 3 16.已知 a=(sin x,-cos x),b=(cos x, 3cos x),函数 f(x)=a?b+ 2 . (1)求 f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标; π (2)当 0≤x≤ 2 时,求函数 f(x)的值域. 3 解析:(1)f(x)=sin xcos x- 3cos2 x+ 2 1 3 3 1 3 =2sin 2x- 2 (cos 2x+1)+ 2 =2sin 2x- 2 cos 2x π =sin (2x- 3 ). ∴f(x)的最小正周期为π . π π 令 sin (2x- 3 )=0,得 2x- 3 =kπ (k∈Z). kπ π ∴x= 2 + 6 (k∈Z). kπ π 故所求对称中心的坐标为( 2 + 6 ,0)(k∈Z). π π π 2π (2)∵0≤x≤ 2 ,∴- 3 <2x- 3 ≤ 3 . π 3 ∴- 2 ≤sin (2x- 3 )≤1, 3 即 f(x)的值域为[- 2 ,1].

21


相关文章:
《三角函数》辅导资料.doc
《三角函数》辅导资料 - 《三角函数》复习题 一、求值 1 2 1.已知 cos
高三三角函数辅导讲义.doc
高三三角函数辅导讲义 - 1.弧度制 (1)把长度等于___的弧所对的圆心角叫做
《三角函数》辅导.doc
《三角函数》辅导 - 《三角函数》复习题 一、求值 1 2 1.已知 cos2α
必修4辅导一三角函数.doc
必修4辅导一三角函数 - 《必修四三角函数》辅导资料 1.1 任意角与弧度制 (
假期辅导三角函数(含答案).doc
假期辅导三角函数(含答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。假期辅导三角函数,(含答案) 三角函数一、知识梳理 1.任意角的三角函数 y 角α 的终边与单位圆交...
数学:《三角函数之三角恒等变形》竞赛辅导课件_图文.ppt
数学:《三角函数之三角恒等变形》竞赛辅导课件 - 竞赛辅导─三角函数 ( 二 )
三角函数复习一对一辅导讲义.pdf
三角函数复习一对一辅导讲义 - 教学目标 1.掌握三角函数的诱导公式 2.掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求 值域、求单调区间等...
三角函数分节教学辅导方案设计精编2017学生_图文.doc
三角函数分节教学辅导方案设计精编2017学生 - 耿老师教研工作室---您值得信赖的专业化个性化学习方案 锐角三角函数知识讲解(一) 【学习目标】 1.结合图形理解...
三角函数诱导公式辅导讲义.doc
三角函数诱导公式辅导讲义_高一数学_数学_高中教育_教育专区。主要讲了三角函数的诱导公式 个性化教学辅导教案学生姓名 任课教师 教学内容 教学目标 重难点 教学过程:...
三角函数系列辅导第二讲解读.doc
三角函数系列辅导第二讲解读 - 三角函数系列辅导第二讲:三角函数的图像及性质 (
三角函数辅导1-改好.doc
三角函数辅导1-改好 - 三角函数一 练习: 在 0° 360° 范围内,找出
(教师)高三三角函数辅导01.doc
(教师)高三三角函数辅导01 - 高三三角函数复习 一、选择题 1. ( 201
必修四辅导一三角函数.doc
必修四辅导一三角函数 - 《必修四》辅导一 1.1 任意角与弧度制 (一)任意角
三角函数系列辅导第二讲.doc
三角函数系列辅导第二讲 - 三角函数系列辅导第二讲:三角函数的图像及性质 (一)
三角函数辅导材料2.doc
高一升高二《三角函数》辅... 暂无评价 2页 免费 第六讲 20102011暑期辅导...三角函数辅导材料 2 练习:4.比较大小:①sin130°,sin140° ②tan 1.终边相同...
三角函数周日辅导.doc
三角函数周日辅导 - 《三角函数》测试试题 1. 下列符号判断正确的是( ) A
竞赛辅导-三角函数_图文.ppt
竞赛辅导-三角函数 - 三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在 现
数学:《三角函数之三角恒等变形》竞赛辅导课件_图文.ppt
数学:《三角函数之三角恒等变形》竞赛辅导课件 - 竞赛辅导─三角函数 ( 二 )
三角函数图像与性质一对一辅导讲义.doc
三角函数图像与性质一对一辅导讲义_高一数学_数学_高中教育_教育专区。教学目标 重点、难点 考点及考试要求 1、掌握三角函数的图像与性质;能处理同角三角函数的基本...
数学:《三角函数之三角恒等变形》竞赛辅导课件_图文.ppt
数学:《三角函数之三角恒等变形》竞赛辅导课件 - 竞赛辅导─三角函数 ( 二 )