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2015年北京顺义高三一模数学(文科)试题及答案


顺义区 2015 届高三第一次统一练习 数学试卷(文科)
一、选择题.(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知集合 A.

A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ??2, ?1,1, 2?
B.

?

?

??2, ?1?

??1, 2?
y? 1 x

2.下列函数中,既是奇函数又在区间 A. y ? ? x ? 2
2

? 0, ?? ? 上单调递减的是
C. y ? 2
?x

C.

?1, 2?

,则 A ? B ? D.

??2, ?1,1, 2?

B.

D. y ? ln x

3.在复平面内,复数 A.第一象限

?1 ? 2i ?

2

4.当 n ? 5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值等于 A.2 B.4 C.7
x y x ? y 的取值范围是 5.若 4 ? 4 ? 1 ,则

对应的点位于 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 D.11 开始

?0,1? ??1,0? B. ??1, ??? C. ? ??, ?1? D.
A.

输入n i ? 1, S ? 1

6.函数 充分必要条件是

y ? sin ? x ? ? ?
?

的图像关于 y 轴对称的

i ? n?




2 A. ? ? ? B.

??

S ? S ? ?i ?1?
?
2 ,k ?Z ,k ?Z

输出 S 结束

? ? k? ?
C. D.

i ? i ?1

? ? 2 k? ?

?
2

7.已知无穷数列

?an ? 是等差数列,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则 a ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递减数列且 Sn 有最大值 A.当首项 1 a ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递减数列且 Sn 有最小值 B.当首项 1 a ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递增数列且 Sn 有最大值 C.当首项 1 a ? 0, d ? 0 时,数列 ?an ? 是递减数列且 Sn 有最大值 D.当首项 1

8.某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单 价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 .该经营部要

设在进价基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,且 想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加 A.3 元 B.4 元 C.5 元

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?
D.6 元

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

x2 y 2 5 ? ?1 m 9.双曲线 4 的离心率为 2 ,则 m ? ? x ? 0, ? ? 2 x ? y ? 0, ?x ? y ? 3 ? 0 ?
10.不等式组 11.设向量

,其渐近线方程为

.

a?

?

3,1 , b ? ? 2, ?2 ?
3 2

?

所表示平面区域的面积为 ,若

12.已知函数 为 .

f ? x ? ? x ? 6x ? 9x

? ? a ? b ? ? ? ? a ? b ? ,则实数 ? ?
f ? x?
在闭区间
2

.

,则

??1,5? 上的最小值为

. ,最大值

P ? x, y ? ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 l 的距离 13.已知直线 l : y ? 3x ,点 是圆
的最小值为 .

?? ? f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? , x ? R f ? x1 ? ? ?2, f ? x2 ? ? 0 x ? x2 6? ? 14. 已知函数 .又 且 1
的最小值等于 ? ,则 ? 的值为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 13 分) 设数列 (I)求

?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? an ? 3, n ? N * .
?bn ? 是等比数列,且 b1 ? a2 , b4 ? a6 ? S8 .求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;

(II)已知

16.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

b ? 3 2,sin B ? cos A ?

6 3 ,

B 为钝角..
(I)求 a 的值; (II)求 cos C 的值.

17.(本小题满分 14 分) 如 图 (1), 在 Rt ?ABC 中 , ?C ? 90 , BC ? 3, AC ? 6, D, E 分 别 是 AC, AB 上 的 点 , 且

DE / / BC, DE ? 2 .将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A?DE 的位置,使 A?C ? CD ,如图(2).
(I)求证: DE / / 平面 A?BC ; (II)求证: A?C ? BE ; (III)线段 A?D 上是否存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A? DE .若存在,求出 DF 的长;若不存 在,请说明理由.

A

A'

D C (1)

E B C

D (2)

E B

18.(本小题满分 13 分) 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了 50 名市民,他们月 收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表: 月收入(单位:百元) 频数 频率 赞成人数

?15,25? ?25,35? ?35,45? ?45,55? ?55,65? ?65,75?
5 0.1 4

c
a
8

10

5 0.1 3

5 0.1 1

b
12

0.2 5

(I)若所抽调的 50 名市民中,收入在 图;

?35,45? 的有 15 名,求 a, b, c 的值,并完成频率分布直方
频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)

(II)若从收入(单位:百元)在

?55,65? 的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的 2 人

至少有 1 人不赞成“楼市限购令”的概率.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : x ? 4 y ? 16 .
2 2

(I)求椭圆 C 的离心率;

y ? kx ?1? k ? 0? (II)设椭圆 C 与 y 轴下半轴的交点为 B ,如果直线 交椭圆 C 于不同的两
点 E , F , 且 B, E , F 构成以 EF 为底边 , B 为顶点的等腰三角形 , 判断直线 EF 与圆

x2 ? y 2 ?

1 2 的位置关系.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数

f ? x ? ? a2 x2 ? ax ? ln x

.

f ? x? (I)当 a ? 0 时,求函数 的单调区间;
(II)设

g ? x ? ? a2 x2 ? f ? x ?

, 且函数

g ? x?

在点 x ? 1 处的切线为 l , 直线 l ? / / l , 且 l ? 在 y 轴

上的截距为 1,求证:无论 a 取任何实数,函数 (III)已知点

g ? x?

的图像恒在直线 l ? 的下方;

A?1, g ?1?? , Q ? x0 , g ? x0 ??

,且当

x0 ? 1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2,求实数 a 的

取值范围.

顺义区 2015 届高三第一次统一练习

数学试卷答案(文科)
一、CBBD DCAD 二、

1, y ? ?
9.

1 x 2

3 10. 2
13. 3 ? 1

11. ? 2

12. ?16, 20 三、 15.解:(I)因为 所以

1 14. 2

an?1 ? an ? 3, n ? N * , an?1 ? an ? 3, n ? N * ,

?an ? 是以 a1 ? 1为首项,公差 d ? 3 的等差数列, a ? a1 ? ? n ?1? d ? 1 ? ? n ?1? ? 3 ? 3n ? 2 所以 n ,
所以数列

Sn ?

n ? a1 ? an ? n ?1 ? 3n ? 2 ? 3 2 1 ? ? n ? n 2 2 2 2 .

............... ...........................................4 分

............... ...........................................6 分

a ? 3n ? 2 , (II)由(I)可知 n
所以 所以

a2 ? 4, S8 ?

8 ? a1 ? an ? 8 ?1 ? 22 ? ? ? 92 2 2 ,
................ ...........................................9 分

b4 ? a6 ? S8 ? 16 ? 92 ? 108

设等比数列

?bn ? 的公比为 q ,

q3 ?


所以 q ? 3 ,

b4 108 ? ? 27 b1 4 ,

Bn ? ?b ? 所以数列 n 的前 n 项和
cos A ?

4 ?1 ? 3n ? 1? 3
6 3 ,

............... ...........................................11 分

? 2 ? 3n ? 2

. ............... ...........................................12 分

16.解:(I)在 ?ABC 中,因为

sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? (
所以

6 2 3 ) ? 3 3 . ...........................................3 分

a b ? 由正弦定理, sin A sin B 得

a?

b sin A ? sin B

3 2? 6 3

3 3 ?3

. ............... ...........................................6 分

(II)因为 B 为钝角,

6 2 3 ) ?? 3 3 . ...........................................8 分 所以, 3 6 sin A ? sin B ? cos A ? 3 , 又 3 由(I)可知, cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? 1 ? (
所以

cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ?

? ? cos A cos B ? sin A sin B ?? ? 6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3

...........................................10 分

2 2 . 3
............... ...........................................13 分

17.(I)证明:因为 D, E 分别为 AC, AB 上的点,且 DE / / BC , 又因为 DE ? 平面A?BC , 所以 DE / / 平面 A?BC . ............... ...........................................3 分

(II)证明:因为 ?C ? 90 , DE / / BC , 所以 DE ? CD, DE ? AD , 由题意可知, DE ? A?D , 又 A?D ? CD ? D , 所以 DE ? 平面A?CD , ............... ...........................................4 分 ............... ...........................................5 分 ............... ...........................................6 分 ............... ...........................................7 分 ............... ...........................................8 分 ............... ...........................................9 分

所以 BC ? 平面A?CD , 所以 BC ? A?C , 又 A?C ? CD ,且 CD ? BC ? C , 所以 A?C ? 平面BCDE , 又 BE ? 平面BCDE , 所以 A?C ? BE .

(III)解:线段 A?D 上存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A?DE . 理由如下: 因为 A?C ? CD , 所以,在 Rt ?A?CD 中,过点 C 作 CF ? A?D 于 F , 由(II)可知, DE ? 平面A?CD ,又 CF ? 平面A?CD

A' F D C E B

所以 DE ? CF , 又 A?D ? DE ? D , 所以 CF ? 平面A?DE ,... ...........................................12 分 因为 CF ? 平面CEF , 所以平面 CFE ? 平面A?DE , 故线段 A?D 上存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A?DE . ................................13 分 如图(1) ,因为 DE P BC ,

DE AD 2 AD ? ? AC ,即 3 6 , 所以, BC 所以, AD ? 4, CD ? 2 .
所以,如图(2) ,在 Rt ?ACD 中,
'

A' D ? 4, CD ? 2 ' 0 所以, ?A DC ? 60 , 在 Rt ?CFD 中, DF ? 1

............... ...........................................14 分

18.解:(I)由频率分布表得 0.1 ? a ? b ? 0.2 ? 0.1 ? 0.1 ? 1 , 即 a ? b ? 0.5 . 因为所抽调的 50 名市民中,收入(单位:百元)在 ?35, 45? 的有 15 名,

15 ? 0.3 , 50 所以 a ? 0.2, c ? 0.2 ? 50 ? 10 , 所以 a ? 0.2, b ? 0.3, c ? 10 ,
所以 b ? 且频率分布直方图如下:

频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)
............... ...........................................4 分 (II) 设收入 ( 单位 : 百元 ) 在 ?55,65? 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 , 不赞成的分别是

B1, B2 ,
事件 M :选中的 2 人中至少有 1 人不赞成“楼市限购令”, 则从收入(单位:百元)在 ?55,65? 的被调查者中,任选 2 名的基本事件共有 10 个:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? ,

? B1, B2 ? ,

............... ...........................................10 分

事 件 M 包 含 的 结 果 是 ?A ? A1, B?2 , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , 1, B 1? ,

? B1, B2 ? 共 7 个,
7 , 10 7 故所求概率为 . 10
所以 P ? M ? ?

............... ...........................................11 分 ............... ...........................................12 分 ............... ...........................................13 分

19.解:(I)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 4

所以 a2 ? 16, b2 ? 4, 从而c2 ? a2 ? b2 ? 12 , 因此 a ? 4, c ? 2 3 , 故椭圆 C 的离心率 e ?

c 3 . ? a 2

............... ...........................................4 分

(II)由 ?

? y ? kx ? 1,
2 2

? x ? 4 y ? 16 由题意可知 ? ? 0 . ............... ...........................................5 分 设点 E , F 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , EF 的中点 M 的坐标为 ? xM , yM ? , x ? x2 y ? y2 4k 1 ?? ? 则 xM ? 1 , yM ? 1 ................ .....................................7 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
因为 ?BEF 是以 EF 为底边, B 为顶点的等腰三角形, 所以 BM ? EF , 因此 BM 的斜率 k BM ? ? 又点 B 的坐标为 ? 0, ?2 ? , 所以 k BM

2 2 得 1 ? 4k x ? 8kx ? 12 ? 0 ,

?

?



1 . k

............... ...........................................8 分

1 ?2 yM ? 2 1 ? 4k 2 3 ? 8k 2 ,............... ....................................10 分 ? ? ?? 4k xM ? 0 4 k ? 1 ? 4k 2

3 ? 8k 2 1 ? ? ? k ? 0? , 4k k 1 2 2 亦即 k ? ,所以 k ? ? , ............... ...........................................12 分 8 4 故 EF 的方程为 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 . ............... ...........................................13 分
即?
2 2 又圆 x ? y ?

1 4 2 2 2 的圆心 O ? 0,0? 到直线 EF 的距离为 d ? , ? ? 2 3 2 18
............... ...........................................14 分

所以直线 EF 与圆相离.

20.(I)解: f ? x ? ? a x ? ax ? ln x ,
2 2

f ? ? x ? ? 2a 2 x ? a ?

1 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? ax ? 1?? 2ax ? 1? ? ? ? x ? 0? , x x x
............... ...........................................2 分

所以, a ? 0 时, f ? x ? 与 f ? ? x ? 的变化情况如下:

x
f ? ? x? f ? x?

? 1 ? ? 0, ? ? 2a ?
-

1 2a
0

? 1 ? ? , ?? ? ? 2a ?
+





因此,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?

? 1 ? ? 1 ? , ?? ? ,单调递减区间为 ? 0, ? . ? 2a ? ? 2a ?
............... ...........................................4 分

(II)证明: g ? x ? ? a x ? f ? x ? ? ln x ? ax ,
2 2

g?? x? ?

所以 g? ?1? ? 1 ? a , 所以 l 的斜率 kl ? 1 ? a . 因为 l ? / / l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1, 所以直线 l ? 的方程为 y ? ?1 ? a ? x ? 1 ................ ...........................................6 分 令 h ? x? ? g ? x? ? ? ??1 ? a ? x ? 1? ? ? ln x ? x ? 1? x ? 0 ? , 则无论

1 ?a, x

a 取 任 何 实 数 , 函 数 g ? x? 的 图 像 恒 在 直 线 l? 的 下 方 , 等 价 于

h ? x ? ? 0 ??a ? R, ?x ? 0?

,

............... ...........................................7 分

1 1? x h? ? x ? ? ? 1 ? x x . 而


x ? ? 0,1?

? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ??? 上单调递减, h ? x? h ?1? ? ?2 从而当 x ? 1 时, 取得极大值 , ? 0, ?? ? 上, h ? x ? 取得最大值 h ?1? ? ?2 ,.....................................................8 分 即在 h ? x ? ? ?2 ? 0 ??a ? R, ?x ? 0? 所以 , g ? x? 因此,无论 a 取任何实数,函数 的图像恒在直线 l ? 的下方.
所以函数 的 ............... ...........................................9 分

h ? x?

时,

h? ? x ? ? 0

,当

x ? ?1, ???

时,

h? ? x ? ? 0

,

(III)因为

A?1, ?a ? , Q ? x0 ,ln x0 ? ax0 ?
kQA ?

,

所以

ln x0 ? ax0 ? a ln x0 ? ?a x0 ? 1 x0 ? 1 ,

ln x0 ?a ? 2 x ? 1 x ? 1 0 0 所以当 时, , ln x0 ? ? a ? 2?? x0 ?1? ? 0
即 令

r ? x ? ? ln x ? ? a ? 2?? x ?1?? x ? 1?

恒成立.

............... ...........................................10 分 ,

1 r? ? x ? ? ? ? a ? 2? x 则 , 1 0 ? ?1 x 因为 x ? 1 ,所以 .
(i)当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 ,此时 所以

r? ? x ? ? 0

r ? x?



(ii)当 ?2 ? a ? ?1 时, 0 ? a ? 2 ? 1 ,

?1, ??? 上单调递增,有 r ? x? ? r ?1? ? 0 不满足题意;

,

1 ? ? ? 1 ? x ? ?1, , ?? ? ? r? ? x ? ? 0 x ? ? ? a ? 2 ? 时, ?a?2 ? 时, r? ? x ? ? 0 , 所以当 ,当 1 ? ? t ? ?1, ? ? a ? 2 ? ,使得 r ?t ? ? r ?1? ? 0 不满足题意; 所以至少存在
(iii)当 a ? ?1 时, a ? 2 ? 1 ,此时 所以

r? ? x ? ? 0

r ? x?



综上可得 a ? ?1 ,

?1, ??? 上单调递减, r ? x? ? r ?1? ? 0 ,满足题意.

,

故所求实数 a 的取值范围是

??1, ??? .
............... ...........................................13 分

顺义区 2015 届高三第一次统一练习

数学试卷答案(文科)
一、CBBD 二、 9.
1, y ? ? 1 x 2

DCAD
3 10. 2

11. ? 2
1 14. 2

12. ?16, 20 三、

13. 3 ?1

15.解:(I)因为 an?1 ? an ? 3, n ? N * , 所以 an?1 ? an ? 3, n ? N * ,

a 所以数列 ? n ? 是以 a1 ? 1 为首项,公差 d ? 3 的等差数列, a ? a1 ? ? n ?1? d ? 1 ? ? n ?1? ? 3 ? 3n ? 2 所以 n , ............... ...........................................4 分 n ? a1 ? an ? n ?1 ? 3n ? 2 ? 3 2 1 Sn ? ? ? n ? n 2 2 2 2 . ............... ...........................................6 分 (II)由(I)可知 an ? 3n ? 2 , 8 ? a1 ? an ? 8 ?1 ? 22 ? a2 ? 4, S8 ? ? ? 92 2 2 所以 ,
所以 b4 ? a6 ? S8 ? 16 ? 92 ? 108 b 设等比数列 ? n ? 的公比为 q , b 108 q3 ? 4 ? ? 27 b 4 1 则 , 所以 q ? 3 , ................ ...........................................9 分

............... ...........................................11 分

Bn ? b 所以数列 ? n ? 的前 n 项和
cos A ?

4 ?1 ? 3n ? 1? 3
6 3 ,

. ............... ...........................................12 分

? 2 ? 3n ? 2

16.解:(I)在 ?ABC 中,因为 所以

sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? (

6 2 3 ) ? 3 3 . ...........................................3 分
b sin A ? sin B 3 2? 6 3 3 3 ?3

a b ? 由正弦定理, sin A sin B 得

a?

. ............... ...........................................6 分

(II)因为 B 为钝角,

6 3 cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? 1 ? ( )2 ? ? 3 3 . ...........................................8 分 所以, 3 6 sin A ? sin B ? cos A ? 3 , 又 3 由(I)可知,
cos C ? cos ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? cos ? A ? B ? 所以 ? ? cos A cos B ? sin A sin B

...........................................10 分

?? ?

6 ? 3? 3 6 ?? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 3

2 2 . 3
............... ...........................................13 分

17.(I)证明:因为 D, E 分别为 AC, AB 上的点,且 DE / / BC , 又因为 DE ? 平面A?BC , 所以 DE / / 平面 A?BC . ............... ...........................................3 分 (II)证明:因为 ?C ? 90 , DE / / BC , 所以 DE ? CD, DE ? AD , 由题意可知, DE ? A?D , 又 A?D ? CD ? D , 所以 DE ? 平面A?CD , ............... ...........................................4 分 ............... ...........................................5 分 ............... ...........................................6 分 ............... ...........................................7 分

所以 BC ? 平面A?CD , 所以 BC ? A?C , 又 A?C ? CD ,且 CD ? BC ? C ,

所以 A?C ? 平面BCDE , 又 BE ? 平面BCDE , 所以 A?C ? BE .

............... ...........................................8 分 ............... ...........................................9 分

(III)解:线段 A?D 上存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A?DE . 理由如下: A' 因为 A?C ? CD , 所以,在 Rt ?A?CD 中,过点 C 作 CF ? A?D 于 F , 由(II)可知, DE ? 平面A?CD ,又 CF ? 平面A?CD F 所以 DE ? CF , E 又 A?D ? DE ? D , D 所以 CF ? 平面A?DE ,... ...........................................12 分 C B 因为 CF ? 平面CEF , 所以平面 CFE ? 平面A?DE , 故线段 A?D 上存在点 F ,使平面 CFE ? 平面A?DE . ................................13 分 如图(1),因为 DE P BC ,
DE AD 2 AD ? ? 6 , 所以, BC AC ,即 3 所以, AD ? 4, CD ? 2 .

所以,如图(2),在 Rt ?ACD 中, A' D ? 4, CD ? 2 ' 0 所以, ?A DC ? 60 , 在 Rt ?CFD 中, DF ? 1 ............... ...........................................14 分
'

18.解:(I)由频率分布表得 0.1 ? a ? b ? 0.2 ? 0.1 ? 0.1 ? 1 , 即 a ? b ? 0.5 . 因为所抽调的 50 名市民中,收入(单位:百元)在 ?35, 45? 的有 15 名, 15 ? 0.3 , 所以 b ? 50 所以 a ? 0.2, c ? 0.2 ? 50 ? 10 , 所以 a ? 0.2, b ? 0.3, c ? 10 , 且频率分布直方图如下:

频率 组距 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 收入(百元)

............... ...........................................4 分 (II)设收入 (单位 : 百元 )在 ?55,65? 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 ,不赞成的 分别是 B1, B2 , 事件 M :选中的 2 人中至少有 1 人不赞成“楼市限购令”, 则从收入(单位:百元)在 ?55,65? 的被调查者中,任选 2 名的基本事件共有 10 个:

? A1, A2 ? , ? A1, A3 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? B1, B2 ? ,
............... ...........................................10 分

事件 M 包含的结果是 ?A ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , 1, B 1? ,? A 1 , B2

? B1, B2 ? 共 7 个,
7 , 10 7 故所求概率为 . 10

............... ...........................................11 分 ............... ...........................................12 分 ............... ...........................................13 分

所以 P ? M ? ?

19.解:(I)由题意,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 4

所以 a2 ? 16, b2 ? 4, 从而c2 ? a2 ? b2 ? 12 , 因此 a ? 4, c ? 2 3 , 故椭圆 C 的离心率 e ?
c 3 . ? a 2

............... ...........................................4 分

? y ? kx ? 1, (II)由 ? 2 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 , 2 ? x ? 4 y ? 16
由题意可知 ? ? 0 . ............... ...........................................5 分 设点 E , F 的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? , EF 的中点 M 的坐标为 ? xM , yM ? , 则 x ?x y ? y2 4k 1 xM ? 1 2 ? ? ? , yM ? 1 ................ .....................................7 分 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 因为 ?BEF 是以 EF 为底边, B 为顶点的等腰三角形, 所以 BM ? EF ,

因此 BM 的斜率 k BM ? ? 又点 B 的坐标为 ? 0, ?2? ,

1 . k

............... ...........................................8 分

1 ?2 yM ? 2 1 ? 4k 2 3 ? 8k 2 所以 k BM ? ,............... ....................................10 分 ? ?? 4k xM ? 0 4k ? 1 ? 4k 2 3 ? 8k 2 1 ? ? ? ? k ? 0? , 即 4k k 1 2 亦即 k 2 ? ,所以 k ? ? , ............... ...........................................12 分 8 4 故 EF 的方程为 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 . ............... ...........................................13 分
1 4 2 2 2 的圆心 O ? 0,0? 到直线 EF 的距离为 d ? , ? ? 2 3 2 18 所以直线 EF 与圆相离. ............... ...........................................14 分

又圆 x 2 ? y 2 ?

20.(I)解: f ? x ? ? a2 x2 ? ax ? ln x ,
f ? ? x ? ? 2a 2 x ? a ? 1 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? ax ? 1?? 2ax ? 1? ? ? ? x ? 0? , x x x

............... ...........................................2 分 所以, a ? 0 时, f ? x ? 与 f ? ? x ? 的变化情况如下:

x
f ? ? x? f ? x?

? 1 ? ? 0, ? ? 2a ?

1 2a

? 1 ? ? , ?? ? ? 2a ?

-

0

+





? 1 ? ? 1 ? 因此,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? , ?? ? ,单调递减区间为 ? 0, ? . ? 2a ? ? 2a ?

............... ...........................................4 分 (II)证明: g ? x ? ? a2 x2 ? f ? x ? ? ln x ? ax ,
g?? x? ? 1 ?a, x

所以 g? ?1? ? 1 ? a ,

所以 l 的斜率 kl ? 1 ? a . 因为 l ? / / l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1, 所以直线 l ? 的方程为 y ? ?1 ? a ? x ?1 ................ ...........................................6 分 令 h ? x? ? g ? x? ? ? ??1 ? a ? x ? 1? ? ? ln x ? x ? 1? x ? 0 ? ,

则 无 论 a 取 任 何 实 数 , 函 数 g ? x? 的 图 像 恒 在 直 线 l? 的 下 方 , 等 价 于 h ? x? ? 0 ? ? a ? R , ?x ? 0 ?, ............... ...........................................7 分 1 1? x h? ? x ? ? ? 1 ? x x . 而

x ? ?1, ??? h? ? x ? ? 0 h? x ? 0 时, ? ? ,当 时, , h x 0,1 1, ?? ? 所以函数 ? ? 的 ? ? 上单调递增,在 ? 上单调递减, h x h 1 ? ?2 从而当 x ? 1 时, ? ? 取得极大值 ? ? , 0, ?? ? h ? x ? h 1 ? ?2 即在 ? 上, 取得最大值 ? ? ,.....................................................8 分 h x ? ?2 ? 0 ??a ? R, ?x ? 0? 所以 ? ? , g x 因此,无论 a 取任何实数,函数 ? ? 的图像恒在直线 l ? 的下方. ............... ...........................................9 分


x ? ? 0,1?

(III)因为 所以

A?1, ?a ? , Q ? x0 ,ln x0 ? ax0 ?

,

kQA ?

ln x0 ? ax0 ? a ln x0 ? ?a x0 ? 1 x0 ? 1 ,

ln x0 ?a ? 2 所以当 x0 ? 1 时, x0 ? 1 , ln x0 ? ? a ? 2?? x0 ?1? ? 0 即 恒成立. r x ? ln x ? ? a ? 2?? x ?1?? x ? 1? 令 ? ? , 1 r? ? x ? ? ? ? a ? 2? x 则 , 1 0 ? ?1 x 因为 x ? 1 ,所以 .

............... ...........................................10 分

r? x ? 0 (i)当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 ,此时 ? ? , r x 1, ?? ? r x ? r ?1? ? 0 所以 ? ? 在 ? 上单调递增,有 ? ? 不满足题意; (ii)当 ?2 ? a ? ?1 时, 0 ? a ? 2 ? 1 , 1 ? ? ? 1 ? x ? ?1, x ?? , ?? ? ? ? r x ? 0 ? ? ? a ? 2 ? 时, ?a?2 ? 时, r ? ? x ? ? 0 , 所以当 ,当
1 ? ? t ? ?1, ? r t ? r ?1? ? 0 所以至少存在 ? a ? 2 ? ,使得 ? ? 不满足题意;

r? x ? 0 (iii)当 a ? ?1 时, a ? 2 ? 1 ,此时 ? ? , r x 1, ?? ? r x ?r 1 ?0 所以 ? ? 在 ? 上单调递减, ? ? ? ? ,满足题意. 综上可得 a ? ?1 , ?1, ??? 故所求实数 a 的取值范围是 ? . ............... ...........................................13 分


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