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第六节 正弦定理和余弦定理(经典讲义)


第六节

正弦定理和余弦定理

【考纲下载】 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

定理 内容

1. 正弦定理和余弦定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C (R 是△ABC 外接圆半径)

余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos_B, c2=a2+b2-2abcos_C

变形 形式

①a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c ②sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R ③a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; ④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C= csin A

b2+c2-a2 cos A= , 2bc a2+c2-b2 cos B= , 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab

解决 三角 形的 问题

① 已知两角和任一边,求另一角和其他两 条边; ② ②已知两边和其中一边的对角,求另一 边和其他两角

①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两角

2.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 关系 式 解的 个数

A 为钝角或直角

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2
1

1.在三角形 ABC 中,“A>B”是“sin A>sin B”的什么条件?“A>B”是“cos A< cos B”的什么条件? 提示:“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,“A>B”是“cos A<cos B”的充要条 件. 2. 在三角形中, “a2+b2<c2”是“△ABC 为钝角三角形”的什么条件?“a2+b2>c2” 是“△ABC 为锐角三角形”的什么条件? 提示:“a2+b2<c2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件;“a2+b2>c2”是 “△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件.

1 1.(2013· 北京高考)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 5 5 A. B. C. D.1 5 9 3 2.在△ABC 中,若 a=2,c=4,B=60° ,则 b 等于( A.2 3 B.12 C.2 7 D.28 )

)

3. (2013· 湖南高考)在锐角△ABC 中, 角 A, B 所对的边长分别为 a, b.若 2asin B= 3b, 则角 A 等于( ) π π π π A. B. C. D. 3 4 6 12 1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为________. 3 1 5.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4

考点一

利用正、余弦定理解三角形

π [例 1] (1)(2013· 天津高考)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC 4 =( ) 10 10 3 10 5 A. B. C. D. 10 5 10 5 (2)(2013· 安徽高考)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=________. 1 (3)(2013· 浙江高考)在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点,若 sin∠BAM= ,则 sin 3 ∠BAC=________.

2

1 1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b, 2 且 a>b,则∠B=( ) π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 2.已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7, c=6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5

考点二

利用正、余弦定理判断三角形的形状

[例 2] 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

【互动探究】 若将本例(2)中的条件改为“(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)”,试判断△ABC 的 形状.

(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B =asin A,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 高频考点 考点三 与三角形面积有关的问题

1. 正、 余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容, 既有选择、 填空题, 也有解答题,难度适中,属中档题. 2.高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度: (1)求三角形的面积; (2)已知三角形的面积解三角形. [例 3] (1)(2013· 新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 π π b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积为( ) 6 4 A.2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1
3

(2)(2013· 湖北高考)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c.已知 cos 2A-3cos(B +C)=1. ①求角 A 的大小; ②若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 1 1 1 (1)求三角形的面积.对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一 2 2 2 个角就使用含哪个角的公式. (2)已知三角形的面积解三角形.与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理 进行边和角的互化.

1.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c= 0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

2.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

答题模板(三) 利用正、余弦定理解三角形 [典例] (2013· 江西高考)(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已 知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

[全盘巩固] 1. 已知△ABC, sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 2, 则此三角形的最大内角的度数是( A.60° B.90° C.120° D.135°
4

)

2.(2013· 山东高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1, b= 3,则 c=( ) A.2 3 B.2 C. 2 D.1 3.(2014· 沈阳模拟)在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于( 3+ 6 3+ 39 3 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 4 4.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 5. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若三边的长为连续的三个正整数, 且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 6.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面积等于( 3 3 3 3 3 A. B. C. 或 3 D. 或 2 4 2 2 4 ) )

7. △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 asin Asin B+bcos2A= 2a, b 则 =________. a 3 8.(2014· 深圳模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos 5 5 B= ,b=3,则 c=________. 13 9.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则△ABC 的周长的最大值为________. 10.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

7 11.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.

12.(2013· 重庆高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2 + 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cos Acos B= , = ,求 tan α 的值. 5 cos2α 5

5

[冲击名校] b a tan C 1.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 + =6cos C,则 + a b tan A tan C =________. tan B 2. (2013· 福建高考)如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90° ,OP=2 2,点 M 在线 段 PQ 上.

(1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30° ,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最 小?并求出面积的最小值.

[高频滚动] 2 2 1.已知 sin x-sin y=- ,cos x-cos y= ,且 x,y 为锐角,则 tan(x-y)=( 3 3 2 14 2 14 2 14 5 14 A. B.- C.± D.± 5 5 5 28 π 4 π α+ ?= ,则 sin?2α+ ?的值为________. 2.设 α 为锐角,若 cos? 12? ? 6? 5 ?

)

6


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