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空间中直线与直线之间的位置关系学案1 人教课标版(新教案)

§2.1.2
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空间中直线与直线之间的位置关系

[知识要点].两条直线的位置关系;.平行线间的传递性(公理);.空间的等角定理;.异面直 线所成的角(或夹角);.空间两条直线互相垂直. [学习要求].了解空间中两条直线的位置关系;.掌握公理及等角定理.理解异面直线的概念; 掌握异面直线所成角的求法.
记忆和理解教材新知

知识点一:空间两条直线的位置关系

[提出问题]
问题:在同一平面内,两条直线有怎样的位置关系? 问题:若把立交桥抽象成一条直线,它们是否在同一平面内?有何特征? 问题:观察一下,日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线,是否也具有类似的特征?

[导入新知]
.异面直线 ()定义:不同在的两条直线. ()异面直线的画法

.空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且 只有三种. ()若从公共点的数目分,可以 分为: ① 只有一个公共点——;

② 没有公共点

()若从平面的基本性质分,可以分为:

① 在同一平面内 ② 不同在任何一

个平面内——;

思考:若 a ? ?,b ? ? ,那么 a 与 b 一定是异面直线吗?

知识点二:平行公理及等角定理
[提出问题]
.同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行. 问题:空间中是否有类似规律?
.观察下图中的 ?AOB与 ?A?O?B?

问题:这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系? 问题:测量一下,这两个角的大小关系如何?

[导入新知]

1. 平行公理(公理) ()文字表述:平行于同一直线的两条直线,这一性质叫做空间.

符号表述:

a b

// //

b?

c

? ?

?



.等角定理:空间中如果两个角的两边分别, 那么这两个角或. .异面直线所成的角

()定义:已知两条异面直线 a, b ,经过空间任意一点作直线 a? // a,b? // b ,我们把 a? 与 b?

所成的(或)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ()异面直线所成的角? 的取值范围:. ()当? ? 时,异面直线 a 与 b 垂直,
记作:.

突破常考题型

题型一:两条直线位置关系的判定 [例]如图,正方体 1C,判断下列直线的位置关系:

①直线与直线 1C 的位置关系是; ②直线与直线 1C 的位置关系是; ③直线与直线 1C 的位置关系是; ④直线与直线 1C 的位置关系是. [活学活用] 如图,正方体 1C 中,,分别是和 1C 的中点,问:()和是否是异面直线?说明理由;()和 是否是异面直线?说明理由.
题型二:平行公理及等角定理的应用
[例]在棱长为 a 的正方体 1C 中,,分别是和的中点.
()求证:四边形 1C 是梯形;
()求证: ?DNM ? ?D1 A1C1

[活学活用] 已知如图,空间四边形中,,,,分别是,,,的中点,求证:四边形是平行四边形.
题型三:两异面直线所成的角 [例]如图,已知长方体 1C 中,1A,,分别是和的中点,求异面直线,所成角的大小.
[活学活用] 已知正方体 1C. (1) 哪些棱所在的直线与直线是异面直线? (2) 直线和的夹角是多少? (3) 哪些棱所在的直线与直线垂直?

应用落实体验
[随堂即时演练] .如图,是长方体的一条棱,这个长方体中与平行和异面的棱的条数是( )

., ., .,, .,
. 已 知 如 图 , 长 方 体 1C 中 , 和 1C 以及和所成的角分别是( )

AB ? AD ? 2 3, AA1 ? 2 .

. 45? ,60? . 45? ,45?
. 60? ,90? . 30? ,60?
.如果 OA// O?A?,OB // O?B? , 那么 ?AOB和 ?A?O?B?. .已知 a, b 是异面直线,直线 c 直线 a ,那么 c 与 b 的位置关系. .如图所示,空间四边形中,, AB ? CD ,
,分别为,的中点,求和所成的角.

课时跟踪检测
组基础达标
.空间两个角?, ? ,且? 与 ? 的两边对应平行,? ? 60? ,则 ? 为( )
. 60? .120? . 30? . 60? 或 120?
.给出下列四个命题:
①若 a, b 是异面直线, b, c 是异面直线,则 a, c 异面;
②若直线 a, b 相交, b, c 相交,则 a, c 相交;
③若 a // b ,则 a, b 与 c 所成的角相等;
④若 a ? b,b ? c ,则 a // c .
其中真命题的个数是( ) ..C.. .空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是 () .梯形 .矩形 .平行四边形 .正方形
.在空间四边形中,,,的中点分别是,,,且 PQ ? 2, QR ? 5, PR ? 3 ,那么异面直线和所
成的角是( )
. 90? . 60? . 45? . 30?
.在三棱锥—中,,,分别是,,的中点,若与所成的角是 60? ,那么 ?FEG为( )
. 60? . 30? . 120? . 60? 或 120?
.如图,将无盖的正方体纸盒展开,直线,,在原正方体的位置关系是( )

.平行 .相交且垂直 .异面 .相交成 60?
.如图,,,,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线,是异面直线的图形是.
.已知 a, b 为不垂直的异面直线,? 是一个平面,则 a,b 在? 上的射影
有可能的是( ) ① 两条平行的直线; ② 两条互相 垂直的直线; ③ 同一条直线; ④ 一条直线及其外一点. 在以上结论中,正确的是(写出所有正确的结论的编号) . 如图所示,在正方体 1C 中,,分别,是的中点.
求证: BF // ED1 且 BF ? ED1
.在正方体 1C 中,求 ()与 1C 所成的角; ()与 1C 所成的角.

能力提升
.如图,在空间四边形中,两条对边 AB ? CD ? 3 ,,分别是另外两条对边,上的点,且 AE ? BF ? 1 , EF ? 5 ,求和所成的角的大小. ED FC 2
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功 的。 快乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和 坚持会撑起你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者 千虑,必有一得,学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不 畏困难强敌;热情,就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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