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广东省汕头市潮南实验学校2014-2015学年高二数学上学期10月月考试卷 文(含解析)


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广东省汕头市潮南实验学校 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学 试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知函数 f(x)= A. {0,2} B. {0} 定义域为 M,集合 N={x|x ﹣2x=0},则 M∩N=() C. {2} D. ?
2

2. (5 分)下列函数中,周期为 A.

的是() C. D. y=cos4x

B. y=sin2x

3. (5 分)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比 q 为() A. 2 B. 3 C. 4

D. 8

4. (5 分)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为() A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 5. (5 分)下列函数为偶函数且在(0,+∞)为增函数的是() A. y=﹣|x| B. y=x
3

C. y=e

x

D. y=ln

6. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

.则目标函数 z=2x+3y 的最小值为()

A. 6

B. 7
x

C. 8

D. 23

7. (5 分)函数 f(x)=2 +2x﹣2 的零点必落在区间() A. (﹣1,0) B. (0, ) C. ( ,1) D. (1,2)

8. (5 分)在△ABC 中,∠ABC=60°,AB=2,BC=3,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角三角 形的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为()

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A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

10. (5 分)|

|=1,|

|=



?

=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设

=m

+n

(m、n∈R) ,则 等于() A. B. 3 C. D.

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)幂函数 f(x)的图象经过点( , ) ,则 f(x)=.

12. (5 分)已知向量 =(x﹣2,﹣1) , =(1,x) ,若 ∥ ,则实数 x 的值为.

13. (5 分)已知程序框图,则输出的 i=.

14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不 等式(x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(x﹣2)<0 的解集为.

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三、解答题(共 6 小题,80 分) 15. (12 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ (1)求 f( )的值; ) ,x∈R.

(2)求该函数取得最大值时自变量的取值集合; (3)设 α 是第三象限角,且 f(α + )= ,求 sinα 的值.

16. (12 分)根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家;人均 GDP 为 1035﹣4085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4085﹣12616 美元为中等偏上收入国家; 人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比 例及人均 GDP 如下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均 GDP(单位:美元) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 (Ⅰ)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (Ⅱ)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏 上收入国家标准的概率. 17. (14 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a3 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a1<a2,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求数列{ }的前 n 项和.

18. (14 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1BC1 的底面是边长 2 的正三角形,侧面与底面 垂直,且长为 ,D 是 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (3)求点 A 到平面 A1BD 的距离.

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19. (14 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ)若 sinAcos +sinBcos =2sinC,且△ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.
2 2

20. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣4ax+2a+6(x∈R) . (1)求函数的最小值为 0 时的 a 的值; (2)若函数 f(x)的值均为非负值,求函数 g(a)=2﹣a|a+3|的值域; (3)若对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1 成立,求实数 a 的取值范围.

2

广东省汕头市潮南实验学校 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知函数 f(x)= A. {0,2} B. {0} 定义域为 M,集合 N={x|x ﹣2x=0},则 M∩N=() C. {2} D. ?
2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解函数定义域化简集合 M,求解方程化简集合 N,然后直接利用交集运算求解. 解答: 解:由 1﹣x≥0,得 x≤1. ∴M={x|x≤1}, 2 N={x|x ﹣2x=0}={0,2}, ∴M∩N={0}. 故选:B. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了函数定义域的求法,是基础题.

2. (5 分)下列函数中,周期为 A.

的是() C. D. y=cos4x

B. y=sin2x

考点: 三角函数的周期性及其求法. 分析: 利用公式 解答: 解:根据公式 对选项进行逐一分析即可得到答案. ,

的周期为:T=4π ,排除 A.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com y=sin2x 的周期为:T=π ,排除 B. 的周期为:T=8π ,排除 C. 故选 D 点评: 本题主要考查三角函数最小正周期的求法.属基础题. 3. (5 分)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比 q 为() A. 2 B. 3 C. 4

D. 8

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 题目给出了 a2=8,a5=64,直接利用等比数列的通项公式求解 q. 解答: 解:在等比数列{an}中,由 ,又 a2=8,a5=64,

所以,

,所以,q=2.

故选 A. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,在等比数列中,若给出任意一项 am,则有 ,是基础题.

4. (5 分)某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为() A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 计算分层抽样的抽取比例和总体个数, 利用样本容量=总体个数×抽取比例计算 n 值. 解答: 解:分层抽样的抽取比例为 总体个数为 3500+1500=5000, ∴样本容量 n=5000× =100. = ,

故选:A. 点评: 本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是关键. 5. (5 分)下列函数为偶函数且在(0,+∞)为增函数的是() A. y=﹣|x| B. y=x
3

C. y=e

x

D. y=ln

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件注意判断各个选项中函数的奇偶性和单调性,从而得出结论.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由于 y=﹣|x|在(0,+∞)为减函数,故排除 A;由于 y=x 是奇函数,故排除 B; 由于 y=e 是非奇非偶函数.故排除 C;由于 y=ln
x 3

是偶函数,且在(0,+∞)为增函

数,故满足条件, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断,属于基础题.

6. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件:

.则目标函数 z=2x+3y 的最小值为()

A. 6

B. 7

C. 8

D. 23

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域, 得如图的△ABC 及其内部, 再将目标函数 z=2x+3y 对应的直线进行平移,可得当 x=2,y=1 时,z=2x+3y 取得最小值为 7.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部,其中 A(2,1) ,B(1,2) ,C(4,5) 设 z=F(x,y)=2x+3y,将直线 l:z=2x+3y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最小值 ∴z 最小值=F(2,1)=7 故选:B

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x+3y 的最小值,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=2 +2x﹣2 的零点必落在区间() A. (﹣1,0) B. (0, ) C. ( ,1) D. (1,2)
x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 由函数 f (x) =2 +2x﹣2 为增函数, 分别判断四个答案中区间两个端点函数值的符号, 结合零点判断定理,可得答案.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:∵函数 y=2 和 y=2x﹣2 为增函数, x ∴函数 f(x)=2 +2x﹣2 为增函数, 又∵f(0)=﹣1<0, f( )= ﹣1>0,
x

故在区间(0, )内函数存在一个零点, 故选:B 点评: 本题主要考查函数零点位置的判断,判断函数的单调性,以及区间符号是否相反是 解决本题的关键. 8. (5 分)在△ABC 中,∠ABC=60°,AB=2,BC=3,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角三角 形的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 试验发生包含的事件对应的是长度为 5 的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三 角形,包括两种情况,第一种∠ADB 为钝角,第二种∠BAD 为钝角,根据等可能事件的概率得 到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件对应的是长度为 3 的一条线段, 满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况 第一种∠ADB 为钝角,这种情况的分界是∠ADB=90°的时候,此时 BD=1 ∴这种情况下,满足要求的 0<BD<1. 第二种∠OAD 为钝角,这种情况的分界是∠BAD=90°的时候,此时 BD=4 ∴这种情况下,不可能 综合两种情况,若△ABD 为钝角三角形,则 0<BD<1 P= 故选 B 点评: 本题考查了几何概率的求解,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含的事件 同集合结合起来,根据集合对应的图形做出面积,用面积的比值得到结果 9. (5 分)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为()

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A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形,底边长、高 都为 2 的等腰三角形,即可求出该几何体的全面积. 解答: 解:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形,底边长、 高都为 2 的等腰三角形, ∴几何体的全面积为 2×2+4× ×2×2=12. 故选:C. 点评: 本题考查几何体的全面积,考查学生的计算能力,确定几何体为四棱锥是关键.

10. (5 分)|

|=1,|

|=



?

=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设

=m

+n

(m、n∈R) ,则 等于() A. B. 3 C. D.

考点: 向量的共线定理;向量的模. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将向量 沿 与 方向利用平行四边形原则进行分解, 构造出三角形, 由题目已知,

可得三角形中三边长及三个角,然后利用正弦定理解三角形即可得到答案.此题如果没有点 C 在∠AOB 内的限制,应该有两种情况,即也可能为 OC 在 OA 顺时针方向 30°角的位置,请大家 注意分类讨论,避免出错. 解答: 解:法一:如图所示: = . = + = ,设 =x,则

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∴ =

=3.

法二:如图所示,建立直角坐标系. 则 ∴ =(1,0) , =m +n n) , = , =(0, ) ,

=(m,

∴tan30°= ∴ =3. 故选 B

点评: 对一个向量根据平面向量基本定理进行分解,关键是要根据平行四边形法则,找出 向量在基底两个向量方向上的分量, 再根据已知条件构造三角形, 解三角形即可得到分解结果. 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)幂函数 f(x)的图象经过点( , ) ,则 f(x)=x .
﹣2

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. a a 分析: 设 f(x)=x (a 为常数) ,由已知中幂函数 f(x)=x (a 为常数)的图象经过点( ) ,代入求出 a 值,可求出函数的解析式. 解答: 解:设 f(x)=x (a 为常数) , ∵幂函数 f(x)=x (a 为常数)的图象经过点( ∴ = ,
a a



, ) ,

解得:a=﹣2, ﹣2 故 f(x)=x , ﹣2 故答案为:x 点评: 本题考查的知识点是幂函数的解析式,其中根据已知构造方程,是解答的关键.

12. (5 分)已知向量 =(x﹣2,﹣1) , =(1,x) ,若 ∥ ,则实数 x 的值为 1.
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考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量平行可得 x 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵ =(x﹣2,﹣1) , =(1,x) , 由 ∥ 可得 x(x﹣2)=﹣1×1, 解方程可得 x=1 故答案为:1 点评: 本题考查向量的平行与共线,属基础题. 13. (5 分)已知程序框图,则输出的 i=9.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,i 的值,当满足 S≥100 时,退出执行循环 体,输出 i 的值为 9. 解答: 解:S=1,i=3 不满足 S≥100,执行循环体,S=3,i=5 不满足 S≥100,执行循环体,S=15,i=7 不满足 S≥100,执行循环体,S=105,i=9 满足 S≥100,退出执行循环体,输出 i 的值为 9. 故答案为:9. 点评: 本题考察程序框图和算法,属于基础题. 14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不 等式(x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立,则不等式 f(x﹣2)<0 的解集为(﹣∞,2) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 先利用不等式(x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立得到函数 f(x)是定义在 R 上的增函数;再利用函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数得到函数 f(x)过(0,0)点,二者 相结合即可求出不等式 f(x﹣2)<0 的解集. 解答: 解:由不等式(x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立得,函数 f(x)是定义在 R 上的增函数 ①. 又因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,函数 f(x)过点(0,0)②. ①②相结合得:x<2 时,f(x)<0. 故不等式 f(x﹣2)<0 转化为 x﹣2<0. 解的 x<2, 故答案为: (﹣∞,2) 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题.关键点有两处:①判断出函数 f (x)的单调性;②利用奇函数的性质得到函数 f(x)过(0,0)点 三、解答题(共 6 小题,80 分) 15. (12 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ (1)求 f( )的值; ) ,x∈R.

(2)求该函数取得最大值时自变量的取值集合; (3)设 α 是第三象限角,且 f(α + )= ,求 sinα 的值.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式求得 f( )的值.

(2)根据正弦函数的值域求得该函数取得最大值时自变量的取值集合. (3)由 α 是第三象限角以及 f(α + )= ,利用二倍角的余弦公式求得 sinα 的值. ) ,∴f( )=sin = .

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=sin(2x﹣ (2)当且仅当 2x﹣ =2kπ +

,k∈z 时,即 x=kπ +

时,该函数取得最大值 1, ,k∈z}. .

所以该函数取得最大值时自变量的取值集合为{x|x=kπ + (3)由 f(α +
2

)= ,求得 cos2α = =1﹣2sin α ,∴sinα =± .

再结合 α 是第三象限角,可得 sinα =﹣

点评: 本题主要考查正弦函数的定义域和值域,同角三角函数的基本关系,二倍角公式的 应用,属于基础题. 16. (12 分)根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家;人均 GDP 为 1035﹣4085 美元为中等偏下收入国家;人均 GDP 为 4085﹣12616 美元为中等偏上收入国家;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各区人口占该城市人口比 例及人均 GDP 如下表: 行政区 区人口占城市人口比例 区人均 GDP(单位:美元) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 (Ⅰ)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准; (Ⅱ)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏 上收入国家标准的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;概率的应 用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用所给数据,计算该城市人均 GDP,即可得出结论; (Ⅱ)利用古典概型概率公式,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为 =6400 ∴该城市人均 GDP 达到中等偏上收入国家标准; (Ⅱ)从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,共有 =10 种情况,GDP 都达到中等偏上收入国 =3

家标准的区域有 A, C, E, 抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准, 共有 种情况, ∴抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率 .

点评: 本题考查概率与统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识, 考查必然、或然思想. 17. (14 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a3 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a1<a2,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求数列{ }的前 n 项和.

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)首先根据等差数列和等比中项求的等差数列的通项公式 (2)先求出前 n 项和的公式,进一步用相消法前 n 求和. 解答: 解: (1)设数列{an}的公差为 d 2 依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d) =2(2+4d) 2 化简得 d ﹣4d=0,解得 d=0 或 d=4

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 d=0 时,an=2 当 d=4 时,an=2+(n﹣1)?4=4n﹣2 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n﹣2 (2)当 an=2 时,不合题意舍去 当 an=4n﹣2 时,Sn= =2n
2

数列{

}的前 n 项和:

=

点评: 本题考查的知识点:等差数列的通项公式,等比中项,相消法求数列的前 n 项和. 18. (14 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1BC1 的底面是边长 2 的正三角形,侧面与底面 垂直,且长为 ,D 是 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (3)求点 A 到平面 A1BD 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连结 AB1 交 A1B 于点 M,连结 DM,证出 DM 为△AB1C 的中位线,得 DM∥B1C,利用 线面平行的判定定理,即可证出 B1C∥平面 A1BD; (2)利用等边三角形“三线合一”证出 BD⊥AC,根据 AA1⊥平面 ABC 证出 BD⊥AA1,从而证出 BD⊥平面 ACC1A1; (3)利用等体积法,求点 A 到平面 A1BD 的距离. 解答: (1)证明:连结 AB1,交 A1B 于点 M,连结 DM ∵四边形 AA1B1B 为平行四边形, ∴M 为 AB1 的中点, ∵D 是 AC 的中点,可得 DM 为△AB1C 的中位线, ∴DM∥B1C, ∵DM? 平面 A1BD,B1C?平面 A1BD, ∴B1C∥平面 A1BD; (2)证明:∵△ABC 中,AB=BC,AD=DC,∴BD⊥AC, ∵AA1⊥平面 ABC,BD? 平面 ABC,∴BD⊥AA1,
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵AC、AA1 是平面 ACC1A1 内的相交直线, ∴BD⊥平面 ACC1A1; (3)解:在△A1BD 中,BD⊥A1D,BD= ,A1D= ∴ = = , ,AB=2, ,



在△A1BA 中,AB⊥A1A,A1A= ∴ = =

设点 A 到平面 A1BD 的距离是 h,则 ∵D 到平面 A1BA 的距离为 ∴ ∴h= , , ,即点 A 到平面 A1BD 的距离是 .

点评: 本题在直三棱柱中证明线面平行和线面垂直,考查点 A 到平面 A1BD 的距离,考查了 直三棱柱的性质和空间平行、垂直位置关系的判定与证明等知识,属于中档题. 19. (14 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ)若 sinAcos +sinBcos =2sinC,且△ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.
2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由 a+b+c=8,根据 a=2,b= 求出 c 的长,利用余弦定理表示出 cosC,将三边 长代入求出 cosC 的值即可; (Ⅱ) 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简, 整理后利用两角和与差的正弦函数公式 及诱导公式变形,再利用正弦定理得到 a+b=3c,与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值,利用三角形 的面积公式列出关系式,代入 S= sinC 求出 ab 的值,联立即可求出 a 与 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a=2,b= ,且 a+b+c=8, ∴c=8﹣(a+b)= ,

∴由余弦定理得:cosC=

=

=﹣ ;

(Ⅱ)由 sinAcos +sinBcos =2sinC 可得:sinA? 整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,

2

2

+sinB?

=2sinC,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, ∴sinA+sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=3c, ∵a+b+c=8, ∴a+b=6①, ∵S= absinC= sinC, ∴ab=9②, 联立①②解得:a=b=3. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣4ax+2a+6(x∈R) . (1)求函数的最小值为 0 时的 a 的值; (2)若函数 f(x)的值均为非负值,求函数 g(a)=2﹣a|a+3|的值域; (3)若对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)由△=0? 2a ﹣a﹣3=0,解方程求出即可; (2) 由△≤0? ﹣1≤a≤ , 从而得到 g (a) 的定义域, 根据二次函数的性质求出函数的值域; (3)问题转化为? x∈[0,2],f(x)max﹣f(x)min≤1,通过讨论 a 的范围,解不等式,求 出即可. 解答: 解: (1)∵函数的值域为[0,+∞) ,? ∴△=16a ﹣4(2a+6)=0? 2a ﹣a﹣3=0∴a=﹣1 或 a= ; (2)对一切 x∈R,函数值均非负, ∴△=8(2a ﹣a﹣3)≤0? ﹣1≤a≤ ,∴a+3>0,? ∴g(a)=2﹣a(a+3)=﹣a ﹣3a+2=﹣(a+ ) + ∵二次函数 g(a)在[﹣1, ]上单调递减, ∴g(a)min=f( )=﹣ ∴g (a)的值域为[﹣ ,g(a)max=f(﹣1)=4,? ,4];
2 2 2 2 2 2

(a∈[﹣1, ]) ;

(3)若对? x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1 成立 ?? x∈[0,2],f(x)max﹣f(x)min≤1, a≤0 时,f(x)max﹣f(x)min=f(2)﹣f(0)=4﹣8a≤1,解得:a≥ (舍) , 0<a≤ 时,f(2)﹣f(2a)=4a ﹣8a+4≤1,解得: ≤a≤ ,∴a= ,
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com <a≤1 时,f(0)﹣f(2a)=4a ≤1,解得:﹣ ≤a≤ (舍) , a>1 时,f(0)﹣f(2)=8a﹣4≤1,解得:a≤ (舍) , 综上:实数 a 的范围是{ }. 点评: 本题考查了二次函数的性质,函数恒成立问题,考查了分类讨论思想,是一道中档 题.
2

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