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高中数学竞赛标准教材(共18讲)


01 第一章

集合与简易逻辑【讲义】

第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母 来表示; 集合中的各个对象称为元素, 用小写字母来表示, 元素 x 在集合 A 中, 称 x 属于 A, + 记为 x ? A ,否则称 x 不属于 A,记作 x ? A 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q 分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用 ? 来 表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如{有理数}, {x x ? 0}分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 则 A 叫做 B 的子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属 于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, A ? B ? {x x ? A且x ? B}. 定义 4 并集, A ? B ? {x x ? A或x ? B}. 定义 5 补集,若 A ? I , 则C1 A ? {x x ? I , 且x ? A}称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集, A \ B ? {x x ? A, 且x ? B} 。 定义 7 集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作开区间 ( a, b) ,集合

{x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作闭区间 [a, b] ,R 记作 (??,??).
定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); (2) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; (3) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B); (4) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B). 【证明】这里仅证(1) 、 (3) ,其余由读者自己完成。 (1) 若 x ? A ? (B ? C) , 则x? A, 且 x? B 或 x ?C , 所以 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 即 x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; 反之,x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , 则 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 即 x ? A 且 x ? B 或 x ? C ,即 x ? A 且 x ? ( B ? C ) ,即 x ? A ? ( B ? C ). (3) 若 x ? C1 A ? C1 B , 则 x ? C1 A 或 x ? C1 B , 所以 x ? A 或 x ? B , 所以 x ? ( A ? B) , 又 x ? I ,所以 x ? C1 ( A ? B) ,即 C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B) ,反之也有

C1 ( A ? B) ? C1 A ? C1 B.
定理 2 加法原理:做一件事有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法 中有 m2 种不同的方法,…,第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。
定理 3 乘法原理:做一件事分 n 个步骤,第一步有 m1 种不同的方法,第二步有 m2 种不同 的方法,…,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N ? m1 ? m2 ? ?? mn 种不 同的方法。 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例 1 设 M ? {a a ? x ? y , x, y ? Z} ,求证:
2 2

(1) 2k ? 1 ? M , (k ? Z ) ; (2) 4k ? 2 ? M , (k ? Z ) ; (3)若 p ? M , q ? M ,则 pq ? M .
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01 第一章

集合与简易逻辑【讲义】

[证明](1)因为 k , k ? 1 ? Z ,且 2k ? 1 ? k 2 ? (k ? 1) 2 ,所以 2k ? 1 ? M . (2) 假设 4k ? 2 ? M (k ? Z ) , 则存在 x, y ? Z , 使 4k ? 2 ? x 2 ? y 2 , 由于 x ? y 和 x ? y 有相同的奇偶性,所以 x 2 ? y 2 ? ( x ? y)(x ? y) 是奇数或 4 的倍数,不可能等于 4k ? 2 , 假设不成立,所以 4k ? 2 ? M . (3)设 p ? x 2 ? y 2 , q ? a 2 ? b 2 , x, y, a, b ? Z ,则 pq ? ( x 2 ? y 2 )(a 2 ? b2 )

? a 2 a 2 ? y 2b 2 ? x 2b 2 ? y 2 a 2 ? ( xa ? yb) 2 ? ( xb ? ya) 2 ? M (因为 xa ? ya ? Z , xb ? ya ? Z ) 。 2.利用子集的定义证明集合相等,先证 A ? B ,再证 B ? A ,则 A=B。
例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

A ? M ? B ? M ? A ? B, A ? B ? M ? A ? B ,求集合 M(用 A,B 表示) 。 【解】 先证 ( A ? B) ? M , 若 x ? ( A ? B) , 因为 A ? M ? A ? B , 所以 x ? A ? M , x ? M , 所以 ( A ? B) ? M ; 再证 M ? ( A ? B) ,若 x ? M ,则 x ? A ? B ? M ? A ? B. 1)若 x ? A ,则 x ? A ? M ? A ? B ;2)若 x ? B ,则 x ? B ? M ? A ? B 。所以 M ? ( A ? B). 综上, M ? A ? B.
3.分类讨论思想的应用。 例3

A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x 2 ? mx ? 2 ? 0} ,若

A ? B ? A, A ? C ? C ,求 a , m.
2 【解】依题设, A ? {1,2} ,再由 x ? ax ? a ? 1 ? 0 解得 x ? a ? 1 或 x ? 1 ,

因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ,所以 a ? 1 ? A ,所以 a ? 1 ? 1 或 2,所以 a ? 2 或 3。 因为 A ? C ? C ,所以 C ? A ,若 C ? ? ,则 ? ? m ? 8 ? 0 ,即 ? 2 2 ? m ? 2 2 , 若 C ? ? ,则 1 ? C 或 2 ? C ,解得 m ? 3.
2

综上所述, a ? 2 或 a ? 3 ; m ? 3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 。 4.计数原理的应用。 例 4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集, (1)若 A ? B ? I , 求有序集合对(A,B)的个数; (2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】 (1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, A ? B, I 中的每个元素恰属于其 中一个子集,10 个元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合 对有 310 个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步,1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,…,第 10 步,0 也有两种,由 乘法原理,子集共有 2 5.配对方法。
10

? 1024个,非空真子集有 1022 个。

例 5 给定集合 I ? {1,2,3,?, n} 的 k 个子集: A1 , A2 ,?, Ak ,满足任何两个子集的交集非 空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 k 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 2 这 k 个子集中,因此, k ? 2
n ?1
n ?1

对,每一对不能同在

;其次,每一对中必有一个在这 k 个子集中出现,否则,若
n ?1

有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 A ? A1 ? ? ,则 A1 ? C1 A ,从而可以在 k 个子 集中再添加 C1 A ,与已知矛盾,所以 k ? 2 6.竞赛常用方法与例问题。 。综上, k ? 2
n ?1



定理 4 容斥原理;用 A 表示集合 A 的元素个数,则 A ? B ? A ? B ? A ? B ,

需要 xy 此结论可以 A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? A?C ? B ?C ? A? B ?C ,

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01 第一章

集合与简易逻辑【讲义】

推广到 n 个集合的情况,即
n n

?
1?i ? j ? k ? n

? Ai ? ? Ai ? ? Ai ? A j ?
i ?1 i ?1 i? j

?

Ai ? A j ? Ak ? ? ? (?1) n?1 ? Ai .
i ?1

n

定义 8 集合的划分:若 A1 ? A2 ? ? ? An ? I ,且 Ai ? Aj ? ?(1 ? i, j ? n, i ? j) ,则 这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理:将 mn ? 1 个元素放入 n(n ? 1) 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于 m ? 1 个元素,也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素;将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽 屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 【解】 记 I ? { 1,2,3,?,100 }, A ? {x1 ? x ? 100, 且x能被2整除( 记为2 x)} ,

B ? {x 1 ? x ? 100,3 x}, C ? {x1 ? x ? 100,5 x} ,由容斥原理,
?100? ?100? A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? B ?C ? C ? A ? A? B ?C ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ?100? ?100? ?100? ?100? ?100? ? ? ? ? ? 74 ,所以不能被 2,3,5 整除的数有 ? ? 5 ? ? ? ? 6 ? ? ? ? 10 ? ? ? ? 15 ? ? ? ? 30 ? ? I ? A ? B ? C ? 26 个。
例 7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中最 多含有多少个元素? 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组只有一个数,若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以 S 至多含有其中 5 个数。 又因为 2004=182× 11+2,所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素,另一方面,当 恰有 S ? 912, 且 S 满足题目条件, S ? {r r ? 11k ? t, t ? 1,2,4,7,10, r ? 2004 , k ? N} 时, 所以最少含有 912 个元素。 例8 求所有自然数 n(n ? 2) ,使得存在实数 a1 , a2 ,?, an 满足:

n(n ? 1) }. 2 【解】 当 n ? 2 时, a1 ? 0, a2 ? 1 ;当 n ? 3 时, a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 3 ;当 n ? 4 时, { ai ? a j }1 ? i ? j ? n} ? {1,2, ?,

a1 ? 0, a2 ? 2, a3 ? 5, a4 ? 1 。下证当 n ? 5 时,不存在 a1 , a2 ,?, an 满足条件。 n( n ? 1) . 令 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 a n ? 2 所以必存在某两个下标 i ? j ,使得 ai ? a j ? a n ? 1 ,所以 an ? 1 ? an?1 ? a1 ? an?1 或 an ? 1 ? an ? a2 ,即 a2 ? 1 ,所以 a n ?
(ⅰ )若 a n ?

n(n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 1,考虑 an ? 2 ,有 an ? 2 ? an?2 或 an ? 2 ? an ? a2 , 2 即 a2 ? 2 ,设 an?2 ? an ? 2 ,则 an?1 ? an?2 ? an ? an?1 ,导致矛盾,故只有 a 2 ? 2.
考虑 an ? 3 ,有 an ? 3 ? an?2 或 an ? 3 ? an ? a3 ,即 a3 ? 3 ,设 an ? 3 ? an?2 ,则

n(n ? 1) n(n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 1或 a n ? , a2 ? 1 。 2 2

设 a3 ? 3 , 则 an ? an?1 ? 1 ? a3 ? a2 , 又推出矛盾, an?1 ? an?2 ? 2 ? a2 ? a0 ,推出矛盾,
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01 第一章

集合与简易逻辑【讲义】

所以 an?2 ? a2 , n ? 4 故当 n ? 5 时,不存在满足条件的实数。 (ⅱ )若 a n ?

n(n ? 1) , a 2 ? 1 ,考虑 an ? 2 ,有 an ? 2 ? an?1 或 an ? 2 ? an ? a3 ,即 2 这时 a3 ? a2 ? a2 ? a1 , 推出矛盾, 故 an?1 ? an ? 2 。 考虑 an ? 3 , 有 an ? 3 ? an?2 a3 ? 2 ,

或 an ? 3 ? an ? a3 ,即 a3 =3,于是 a3 ? a2 ? an ? an?1 ,矛盾。因此 an?2 ? an ? 3 ,所以

an?1 ? an?2 ? 1 ? a2 ? a1 ,这又矛盾,所以只有 an?2 ? a2 ,所以 n ? 4 。故当 n ? 5 时,不
存在满足条件的实数。 例 9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两个 数组成五个元素的集合 Ai , i ? 1,2, ? ,20, Ai ? A j ? 2,1 ? i ? j ? 20 . 求 n 的最小值。 【解】 nmin ? 16. 设 B 中每个数在所有 Ai 中最多重复出现 k 次,则必有 k ? 4 。若不然,数 m 出现 k 次 (k ? 4) ,则 3k ? 12. 在 m 出现的所有 Ai 中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它是 1,就有集合{1, a1 , a2 , m, b1 } { 1, a3 , a4 , m, b2 },{1, a5 , a6 , m, b3 } ,其中 ai ? A,1 ? i ? 6 , 为满足题意的集合。ai 必各不相同, 但只能是 2, 3, 4, 5, 6 这 5 个数, 这不可能, 所以 k ? 4. 20 个 Ai 中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以 n ? 16 。当 n ? 16 时,如下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。 例 10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 {x, y, z} ,其中 x ? y ? 3z , 求满足条件的最小正整数 n. 【解】 设其中第 i 个三元集为 {xi , y, zi }, i ? 1,2,?, n, 则 1+2+…+ 3n ? 所以

? 4z
i ?1

n

i

,

n 3n(3n ? 1) 当 n 为偶数时, 有 8 3n , 所以 n ? 8 , 当 n 为奇数时, 有 8 3n ? 1 , ? 4? z i 。 2 i ?1 所以 n ? 5 ,当 n ? 5 时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10, 14,8}满足条件,所以 n 的最小值为 5。

三、基础训练题 1.给定三元集合 {1, x, x ? x} ,则实数 x 的取值范围是___________。
2
2 2.若集合 A ? {x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R} 中只有一个元素,则 a =___________。

3.集合 B ? {1,2,3} 的非空真子集有___________个。
2 4.已知集合 M ? {x x ? 3 x ? 2 ? 0}, N ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 N ? M ,则由满足条件的实

数 a 组成的集合 P=___________。 5.已知 A ? {x x ? 2}, B ? {x x ? a} ,且 A ? B ,则常数 a 的取值范围是___________。 6.若非空集合 S 满足 S ? {1,2,3,4,5} ,且若 a ? S ,则 6 ? a ? S ,那么符合要求的集合 S 有___________个。 7.集合 X ? {2n ? 1 n ? Z}与Y ? {4k ? 1 k ? Z}之间的关系是___________。 8.若集合 A ? {x, xy, xy ? 1} ,其中 x ? Z , y ? Z 且 y ? 0 ,若 0 ? A ,则 A 中元素之和 是___________。
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01 第一章

集合与简易逻辑【讲义】

2 9.集合 P ? {x x ? x ? 6 ? 0}, M ? {x mx ? 1 ? 0} ,且 M ? P ,则满足条件的 m 值构成

的集合为___________。
? 2 10.集合 A ? {x y ? 2 x ? 1, x ? R }, B ? { y y ? ? x ? 9, x ? R} ,则

A ? B ? ___________。
11. 已知 S 是由实数构成的集合, 且满足 1) 若a?S , 则 1 ? S ;2 ) S 中至少含有多少个元素?说明理由。 12.已知 A ? {( x, y ) y ? a x }, B ? {( x, y ) y ? x ? a}, C ? A ? B ,又 C 为单元素集合,求 实数 a 的取值范围。 四、高考水平训练题 1.已知集合 A ? {x, xy, x ? y}, B ? {0, x , y} ,且 A=B,则 x ? ___________,

1 ?S 。 如果 S ? ? , 1? a

y ? ___________。
2. I ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ? I , B ? I , A ? B ? {2}, (C1 A) ? (C1 B) ? {1,9},

(C1 A) ? B ? {4,6,8} ,则 A ? (C1 B) ? ___________。
2 3.已知集合 A ? {x 10 ? 3 x ? x ? 0}, B ? {x m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,当 A ? B ? ? 时,实

数 m 的取值范围是___________。

? ? ? 1?, 则a ? ___________。 ax2 ? x ? 1 ? ? 2 2 5.集合 M ? {m , m ? 1,?3}, N ? {m ? 3,2m ? 1, m ? 1 } ,若 M ? N ? {?3} ,则 m ? ___________。 6.集合 A ? {a a ? 5 x ? 3, x ? N ? }, B ? {b b ? 7 y ? 2, y ? N ? } ,则 A ? B 中的最小元素
4.若实数 a 为常数,且 a ? A ? ? x

? ? ? ?

1

是___________。
2 2 2 2 7. 集合 A ? {x ? y, x ? y, xy}, B ? {x ? y , x ? y ,0}, 且 A=B, 则 x ? y ? ___________。

8.已知集合 A ? {x ___________。 9.设集合

x ?1 ? 0}, B ? {x px ? 4 ? 0} ,且 B ? A ,则 p 的取值范围是 2? x

A ? {( x, y ) y 2 ? x ? 1 ? 0}, B ? {( x, y ) 4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0}, C ? {( x, y) y ? kx ? b} ,
问:是否存在 k , b ? N ,使得 ( A ? B) ? C ? ? ,并证明你的结论。 10.集合 A 和 B 各含有 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素,试求同时满足下列条件的集合 C 的个数:1) C ? A ? B 且 C 中含有 3 个元素;2) C ? A ? ? 。
2 2 2 11.判断以下命题是否正确:设 A,B 是平面上两个点集, C r ? {( x, y ) x ? y ? r } ,若

对任何 r ? 0 ,都有 Cr ? A ? Cr ? B ,则必有 A ? B ,证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.已知集合 A ? {x x ? 0}, B ? {z z ?

m2 x ?1 , x ? 2}, B ? ?, 且B ? A ,则实数 m 的取值 m x? 1

范围是___________。 2.集合 A ? {1,2,3,?,2n,2n ? 1} 的子集 B 满足:对任意的 x, y ? B, x ? y ? B ,则集合 B 中元素个数的最大值是___________。
2 3.已知集合 P ? {a, aq, aq }, Q ? {a, a ? d , a ? 2d} ,其中 a ? 0 ,且 a ? R ,若 P=Q,则

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01 第一章

集合与简易逻辑【讲义】

实数 q ? ___________。 4. 已知集合 A ? {( x, y ) x ? y ? a, a ? 0}, B ? {( x, y ) xy ? 1 ? x ? y } , 若 A ? B 是平面 上正八边形的顶点所构成的集合,则 a ? ___________。 5.集合 M ? {u u ? 12m ? 8n ? 4l, m, l, n ? Z} ,集合

N ? {u u ? 20p ? 16q ? 12r, p, q, r ? Z} ,则集合 M 与 N 的关系是___________。 6.设集合 M ? {1,2,3,?,1995 } ,集合 A 满足: A ? M ,且当 x ? A 时, 15 x ? A ,则 A
中元素最多有___________个。 7.非空集合 A ? {x 2a ? 1 ? x ? 3a ? 5}, B ? {x 3 ? x ? 22 } ,≤则使 A ? A ? B 成立的所 有 a 的集合是___________。 8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 A ? B ? C ? {1,2,?, n}, 则满足条件的有序三 元组(A,B,C)个数是___________。
2 2 9.已知集合 A ? {( x, y ) ax ? y ? 1}, B ? {( x, y ) x ? ay ? 1}, C ? {( x, y ) x ? y ? 1} ,问:

当 a 取何值时, ( A ? B) ? C 为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个元素集合,结 论如何? 10.求集合 B 和 C,使得 B ? C ? {1,2,?,10} ,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 11.S 是 Q 的子集且满足:若 r ? Q ,则 r ? S ,?r ? S , r ? 0 恰有一个成立,并且若

a ? S , b ? S ,则 ab ? S , a ? b ? S ,试确定集合 S。
12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两个元 素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. S1 , S 2 , S3 是三个非空整数集,已知对于 1,2,3 的任意一个排列 i, j , k ,如果 x ? S i ,

y ? S j ,则 x ? y ? Si 。求证: S1 , S 2 , S3 中必有两个相等。
2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 Ai (i ? 1,2,?,117) ,使 得(1)每个 Ai 恰有 17 个元素; (2)每个 Ai 中各元素之和相同。 3.某人写了 n 封信,同时写了 n 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错的情 况有多少种? 4. 设 a1 , a2 ,?, a20 是 20 个两两不同的整数, 且整合 {ai ? a j 1 ? i ? j ? 20} 中有 201 个不 同的元素,求集合 { ai ? a j 1 ? i ? j ? 20} 中不同元素个数的最小可能值。 5.设 S 是由 2 n 个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶 数。 6.对于整数 n ? 4 ,求出最小的整数 f ( n) ,使得对于任何正整数 m ,集合

{m, m ? 1,?, m ? n ? 1} 的任一个 f (n) 元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。 7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数 k ,使 S 的任意一个 s 元子集中都存在两个不 同的数 a 和 b,满足 (a ? b) ab 。
8.集合 X ? {1,2,?,6k}, k ? N ? ,试作出 X 的三元子集族&,满足: (1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) & ? 6k ( & 表示 &的元素个数 )。
2

, 2, ?,m } ,求最小的正整数 m ,使得对 A 的任意一个 14-分划 9.设集合 A ? {1
A1 , A2 ,?, A14 ,一定存在某个集合 Ai (1 ? i ? 14) ,在 Ai 中有两个元素 a 和 b 满足 4 b ? a ? b。 3
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