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武汉华英艺考生文化课百日冲刺:函数的单调性


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函数的单调性 教案
教学目标:理解函数的单调性 教学重点:函数单调性的概念和判定 教学过程: 1、过对函数 y ? 2 x 、 y ? ? 3 x 、 y ?
1 x

及 y ? x 的观察提出有关函数单调性的问题.
2

2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念 例题讲解: 例 1.如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x ) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x ) 的单调区间,及在每一 单调区间上, y ? f ( x ) 是增函数还是减函数。 解:函数 y ? f ( x ) 的单调区间有 ?? 5 , ? 2 ?, ?? 2 ,1 ?, ?1, 3 ?, ?3 , 5 ? , 其中 y ? f ( x ) 在区间 ? ? 5 , 2 ? , y

y 0
5 x 5x

?1, 3 ? 上是减函数,在区间 ??
增函数。

2 ,1 ?, ?3 , 5 ? 上是

-5

注意:1 单调区间的书写 2 各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性,是一种比较粗略的方法,那么,对于任给函数,我们 怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢? 例 2。证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在 R 上是增函数。 证明:设 x 1 , x 2 是 R 上的任意两个实数,且 x 1 ? x 2 ,则
? x ? x1 ? x 2 ? 0 , ? y ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (3 x1 ? 2 ) ? (3 x 2 ? 2 ) ? 3( x1 ? x 2 ) ? 3 ? x ? 0

5

所以, f ( x ) ? 3 x ? 2 在 R 上是增函数。 例 3.函数 f(x)=ax2-(3a-1)x+a2 在[-1,+∞]上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解 当 a=0 时,f(x)=x 在区间[1,+∞)上是增函数.
当 a≠ 0 时 , 对 称 轴 x= 3a ? 1 2a ?a> 0 ? 若 a> 0 时 , 由 ? 3a ? 1 得 0 < a ≤ 1. ≤ 1, ? ? 2a ,

若 a<0 时,无解.
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武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 ∴a 的取值范围是 0≤a≤1. 例 4.证明函数 f ( x ) ?
1 x

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在 ( 0 , ?? ) 上是减函数。

证明:设 x 1 , x 2 是 ( 0 , ?? ) 上的任意两个实数,且 x 1 ? x 2 ,则
? x ? x1 ? x 2 ? 0
1 x1 1 x2 x 2 ? x1 x1 x 2

? y ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

?

?

由 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) ,得 x 1 x 2 ? 0 ,且 x 2 ? x 1 ? ? ? x ? 0 于是 ? y ? 0 所以, f ( x ) ?
1 x

在 ( 0 , ?? ) 上是减函数。

归纳总结:利用定义证明函数单调性的步骤: (1) 取值 (2) 计算 ? x 、 ? y (3) 对比符号 (4) 结论 课堂练习:教材第 46 页 练习 A、B 达标练习: 【能力达标】 一、 选择题 1、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 A. y ? ? 3 x ? 1 B. y ?
3

( D. y ?
4 x



x

C. y ? x ? 4 x ? 3
2

2、函数 y ? A. ( ?? , ? 3 ]

x

2

? 2 x ? 3 的单调减区间是

( D. [1, ?? )



B. [ ? 1, ?? )

C. ( ?? , ? 1 ]

二、填空题: 3、函数 f ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 1 , x ? ( 3 , 4 ) 上的单调性是_____________________.
2

4、已知函数 y ? 8 x ? ax ? 5 在 [1, ?? ) 上递增,那么 a 的取值范围是________.
2

三、解答题: 5、设函数 f ( x ) 为 R 上的增函数,令 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( 2 ? x )
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武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 (1) 、求证: F ( x ) 在 R 上为增函数 (2) 、若 F ( x 1 ) ? F ( x 2 ) ? 0 ,求证 x 1 ? x 2 ? 2 参考答案: 1、B;2、A;3、递增;4、 a ? ? 1 6 ;
5 .( 1 ) 任 取 x 1 , x 2 ? R 且 x 1 ? x 2 , ? 2 ? x 1 ? 2 ? x 2 , ? f ( x )在 R 上 是 增 函 数 , ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , f ( 2 ? x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) , ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , f ( 2 ? x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ? 0 , ? F ( x 2 ) ? F ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ? f ( 2 ? x1 ) ? 0 即 F ( x1 ) ? f ( 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ? F ( x1 ) ? f ( 2 ? x 2 ) ? F ( x ) 是 增 函 数 ,? x 1 ? 2 ? x 2 , ? x 1 ? x 2 ? 2 .

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小结:本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法 课后作业:第 52 页 习题 2-1A 第 5 题。

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