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高中数学 直线与圆锥曲线的位置关系_图文

直线与圆锥曲线的位置关系 复习要求: ?掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 ?会运用数形结合的思想将交点问题转化为方程根的 问题来研究 ?能解决直线与圆锥曲线相交所得的弦的有关问题 烂柯山 围棋仙地 中 国 丹 霞 第 一 奇 峰 江郎山 演示 知识与方法 直线与圆锥曲线的位置关系 几 何 角 度 1)相离 2)相切 3)相交 知识与方法 代 数 角 度 直线与圆锥曲线的位置关系 F ( x, y) ? 0 , Ax ? By ? C ? 0 ,圆锥曲线 C : 设直线 l : ? Ax ? By ? C ? 0 联立方程 ? ? F ( x, y) ? 0 2 y ax ? bx ? c ? 0 消去 得 把研究直线和圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组解的问题。 问题与探究 2 2 x ? y ? 1 只有一个公共点 例1: 过点 P(0,1) 与双曲线 的直线有几条? 对于直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 当 k ? ? 2 或 k ? ?1 时,只有一个公共点。 p y 你还能提出一些关于直线 l 与双曲线 C 位置关系的问题吗? O x 问题与探究 你还能用其它方法来处理直线与双曲线位置关系的问题吗? 2 2 ? y ? kx ? 1 ?1? ? y? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 ? x ? 1 ? y 由 1 ?? ? 2 ? ? ? ? ? ?1 2 ? x? ? x? ?x ? y ? 1 ' 1 1 y y ' 作代换:令 x ? , y ' ? 即 x ? ' , y ? ' x x x x ' ' ? ?y ? k ? x (1) 化为 ? ' ' ? ?x ? y ? 1 2 2 ' ' 注意: 0 ? x ' ? 1 , x ? 0, y ? ?1 即除去两点(0,1)、(0,-1) 问题与探究 小 结: 设直线 l :Ax ? By ? C ? 0 ,圆锥曲线 C : F ( x, y) ? 0 ? Ax ? By ? C ? 0 由 ? ? F ( x, y) ? 0 2 ax ? ? bx ? c ? 0 (1)当 a ? 0时,若一次方程有解,则只有一解,即直线与圆锥曲线只有一个交点 此时,若圆锥曲线为双曲线,则直线与渐近线平行 若圆锥曲线为抛物线, 则直线与对称轴平行或重合 (2)当 a ? 0 时,? ? 0 ? 方程有两不等实根 ? 相交(于两点) ? ? 0 ? 方程有两相等实根 ? 相切(于一点) ? ? 0 ? 方程没有实根 ? 相离(无公共点) 问题与探究 例2: 已知直线 l : y ? ? x ? 5 求弦 AB 的长。 y2 ? 1 交于A 、 B 两点, 与双曲线 C : x ? 4 2 2 y 已知双曲线 C : x 2 ? ? 1 ,过右焦点F作直线 l 交双曲线于A B 4 、 | AB |? m 根据 m 的值分别求 l 的条数。 两点,若 ,根据 的值分别求 的条数。 归纳与小结 1.直线与圆锥曲线位置关系问题及弦长问题的 处理思路和方法。 2.数学思想:数形结合、分类讨论、函数方程、 转化思想等。 应用与拓展 1.(设计题)为了庆祝衢州建市二十周年,某单位欲在一长轴长为 10 m,短 轴长为6 m 的椭圆形花圃中摆放一块面积为 15 m 2的鲜花图案,为了美观希 望能设计成“蝴蝶形”(关于椭圆中心对称,边界为两个三角形)如图所 示:

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