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一条_新线_的发现再研究

2005 年第 10 期

19

短  论  集  锦
一条 “新线” 的发现再研究
赵临龙
( 陕西省安康师范专科学校数学系 ,725000)

一个猜想的类比问题
马  林
( 安徽师范大学附属中学 ,241001)

   文 [ 1 ] 给出了如下的命题 : 命题  如 图 1 , I 是 △ABC 的 内 心 , 作
AA 1 ⊥AI 交 BC 的延长线于 A 1 , 作 BB 1 ⊥BI

交 CA 的延长线于 B 1 ,作 CC1 ⊥CI 交 BA 的延 长线于 C1 ,则 A 1 、 B1 、 C1 三点共线 .

   笔者在文 [ 1 ] 中解决了文 [ 2 ] 所述猜想 : 1 1 1 1 + + = a b c a+ b+ c 1 1 1 Ζ 2n+1 + 2n +1 + 2n +1
a b c

=

1
a

+

1
b

+

1
c

2n+1

( n ∈N+ ) .

并指出 ,其等价于下述命题 . 命题 1   若 n ∈N+ , x 、 y、 z 均不为零 ,则 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 x +y +z = ( x + y + z) 的充要条件是 x 、 y、 z 中至少有两个互为相 反数 . 最近发现 , 命题 1 的一个类比问题也成 立. 命题 2   若 n ∈N+ , x 、 y、 z 均不为零 ,则
1
x
2n+1

图1

我们 说 , 此 命 题 仅 仅 是 笛 沙 格 ( Desar2 guss) 定理的特殊情况 , 自然共线的新线并非 为真正的创新发现 . 下面给出 笛沙格定理   两三角形对应顶点连线交 于一点的充分必要条件是 : 两三角形对应边 交点共线 . 顺便指出 , 笛沙格定理是研究三点共线 与三线共点的重要定理 .
参考文献 :
[1]   刘  斌 . 一条新线的发现 [J ] . 中等数学 ,2005 (2) .

+

1
y
2n+1

+

1
z
2n+1

=

1
x+ y+z

2n+1



编后语 : 本刊 2005 年第 2 期刊登了 “一 ( 条新线的发现” 一文 . 该文系学生 初中生) 习 作 ,考虑到对学生来说是 “新发现” ,为鼓励作 者 ,本刊在编辑加工时未作改动 . 最近接到读 者的来信 ,对新线提出自己的看法 ,故再发此 文 ,以正读者 .

的充要条件是 x 、 y、 z 中至少有两个互为相 反数 . 证明 : 充分性显然 . 下证必要性 . 因为 x 、 y、 z 异号 ( 若不然 ,不妨设 x > 0 , y > 0 , z > 0 ,则式 ① 左边大于右边 , 矛盾 ) , 不 妨设 x > 0 , y > 0 , z < 0. 记 y = - z + m , 代入 式① 并整理得 1 1 1 + + 2n+1 ( x + m) 2 n + 1 ( - z + m) 2 n + 1 x 1 2 n + 1 = 0.
z