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2014人教A版数学一轮复习指导课件 第2章 第2节 函数的单调性与最值


第二章 函数、导数及其应用

第二节

函数的单调性与最值

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考纲要求

考情分析

1.函数的单调性、最值是函数中的重 要内容,是高考命题的热点之 1.理解函数的单调 一.考查时主要为函数单调性的判 性、最大值、最小值 定、求单调区间、比较大小、解不 及其几何意义. 等式、求最值及不等式恒成立问 2.会运用函数图象理 题. 解和研究函数的性 2.题型多以选择题、填空题为主;若 质. 与导数知识交汇命题则以解答题的 形式出现,属中高档题.
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一、函数的单调性

1.单调函数的定义
增函数 减函数

设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量x1,x2. 定 f(x1)<f(x2) , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) ,那 义 当x1<x2时,都有 那么就说函数f(x)在区间D上是 么就说函数f(x)在区 增函数. 间D上是减函数.
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增函数

减函数

图象 描述 自左向右看图象是 逐渐上升 自左向右看图象是 逐渐下降

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2.单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 , 则 称 函 数 f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间D 叫 做 f(x) 的 单 调 区 间.

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1.函数y=f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的增区间是 (-∞,0]∪(0,+∞)吗? 提示:不是,函数f(x)的增区间是 (-∞,0]和(0,+∞),

不是(-∞,0]∪(0,+∞).

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函数的单调区间之间不能取并集.

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二、函数的最值 前提

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 ①对于任意x∈I,都 有 f(x)≥M ②存在x0∈I,

条件

f(x)≤M ②存在x0∈I, 使得 f(x0)=M

使得 f(x0)=M
M为最小值

结论

M为最大值

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2.最大(小)值反映在函数图象上有何特征? 提示:函数的最大(小)值反映在其图象上分别具有最高(低) 点.

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1.下列函数 f(x)中满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( 1 A.f(x)=x ) B.f(x)=(x-1)2

C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 解析:由条件知函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,四个选项

中只有A满足.

答案:A
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2.(2013·许昌模拟)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(
A.(0,+∞) C.(1,+∞) 答案:A B.[0,+∞) D.[1,+∞)

)

解析:∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,故选A.

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3.给定函数:①y=

;②y=

(x+1);③y=|x-

1|;④y=2x+1.其中,在区间(0,1)上呈单调递减的函数序号是 ( ) A.①② C.③④ B.②③ D.①④

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解析:①函数 y= =

在(0,+∞)上为增函数;②函数 y

(x+1)在(-1,1)上为减函数, 故在(0,1)上也为减函数;

③y=|x-1|在(0,1)上为减函数;④y=2x+1 在(-∞,+∞)上 为增函数,故选 B.

答案:B

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4.函数y=-(x-3)|x|的单调递增区间是________.

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解析:y=-(x-3)|x|
?-x2+3x,x>0, ? =? 2 ?x -3x,x≤0. ? ? 3? 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ?

? 3? 答案:?0,2? ? ?

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5.(理)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则 满足
?1? f(2x-1)<f?3?的 ? ?

x 取值范围是____________.

1 1 2 解析:由题意可知|2x-1|<3,解得3<x<3.
?1 2? 答案:?3,3? ? ?

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5.(文)已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且在区间[0,+ ∞)上单调递增,则满足 ________.
解析:由条件知 f(x)在 R 上单调递增, 1 2 ∴2x-1<3,解得 x<3. ? 2? 答案:?-∞,3? ? ?
?1? f(2x-1)<f ?3? 的 ? ?

x 的取值范围是

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【考向探寻】
判断或证明函数的单调性.

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【典例剖析】 (1)(2013· 哈尔滨模拟)下列函数中,在其定义域内 是减函数的是 A.f(x)=-x +x+1
?1? C.f(x)=?3?|x| ? ?
2

1 B.f(x)=x D.f(x)=ln(2-x)

a (2)判断函数 f(x)=x+x(a>0)在(0,+∞)上的单调性.
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(1)根据常见函数的单调性进行判断; (2)利用定义法或导数法进行判断. (1)解析: 中函数 f(x)=-x2+x+1 在定义域上不单调; A 1 B 中 f(x)=x 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但在定义域 上不单调;C 中函数 f(x)在定义域上不单调;D 中,定义域 为(-∞,2),由复合函数的单调性知 f(x)=ln(2-x)在(-∞, 2)上递减. 答案:D
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(2)解:方法一:设 0<x1<x2, a a 则 f(x2)-f(x1)=x2+x -x1-x 2 1
? a ? =(x2-x1)?1-x x ?. ? 2 1?

a 当 0<x1<x2≤ a时,恒有x x >1, 1 2 则 f(x2)-f(x1)<0,故 f(x)在(0, a)上是减函数, a 当 x2>x1≥ a时,恒有 0<x x <1, 1 2
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则 f(x2)-f(x1)>0,f(x)在[ a,+∞)上是增函数. 综上,f(x)在(0, a)上为减函数,在( a,+∞)上为增 函数. a 方法二:求导数得,f′(x)=1-x2. a a 令 f′(x)≥0,即 1-x2≥0,x2≤1. ∴x2≥a,∵x>0,a>0, ∴x≥ a,即 f(x)在[ a,+∞)上是增函数.
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令 f′(x)≤0,得 0<x≤ a. 故 f(x)在(0, a]上是减函数. 综上,f(x)在(0, a)上为减函数, 在( a,+∞)上为增函数.

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【互动探究】 在本例(2)中,将“在(0,+∞)上”改为“在定义域上”,

结果如何? a 解:由例题知 f(x)=x+x (a>0)在(0, a)上为减函数,在
( a,+∞)上为增函数. 由题意知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
? a? a ∵f(-x)=-x+ =-?x+x ?=-f(x), -x ? ?

∴函数 f(x)为奇函数. ∴f(x)在(-∞,- a)和( a,+∞)上为增函数; f(x)在(- a,0)和(0, a)上为减函数.
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判断函数单调性的常用方法 (1)定义法; (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数,一个增(减)函数与

一个减(增)函数的差是增(减)函数;
(3)奇函数在两个对称区间上的单调性相同,偶函数在两个 对称区间上的单调性相反; (4)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么在它的子区间上也 是增(减)函数;

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(5)如果y=f(u),u=g(x)单调性相同,那么y=f[g(x)]是增函
数;如果y=f(u),u=g(x)单调性相反,那么y=f[g(x)]是减函 数; (6)利用图象判断函数的单调性; (7)利用导数研究函数的单调性.

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【考向探寻】 利用观察法、换元法、配方法、函数的单调性、不等式的

性质、代数式的几何意义等求函数的最值(值域).

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【典例剖析】 2 (1)(2013· 唐山模拟)函数 y= 的定义域是(- x-1 ∞,1)∪[2,5),则其值域是________. (2)求下列函数的值域. 3x+1 ①y=3x -x+2;②y= -x -6x-5;③y= ; x-2
2 2

④y=|x-1|+|x+4|.

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(1) 函数解析式 → 函数的单调性 → 求最值 → 值域 (2) 函数解析式 → 判断函数类型 → 选定方法 → 值域

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2 (1)解析: 函数 y= 在(-∞, 1)和[2,5)上都单调递减, x-1
?1 ? 1 x<1 时, y<0; 2≤x<5 时, <y≤2.故值域为(-∞, 0)∪?2,2?. 2 ? ?

?1 ? 答案:(-∞,0)∪?2,2? ? ?

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(2)解:①y=3x

2

? 1?2 23 -x+2=3?x-6? +12, ? ?

23 ∵x∈R,∴y≥12,
?23 ? ∴函数的值域为?12,+∞?. ? ?

②由-x2-6x-5≥0 得 x2+6x+5≤0, 解得-5≤x≤-1, ∴0≤-x2-6x-5≤4, ∴0≤y≤2,∴函数的值域为[0,2].
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③定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). 3x+1 3?x-2?+7 7 y= = =3+ . x-2 x-2 x-2 ∵x∈(-∞,2)∪(2,+∞), 7 ∴ ≠0, x-2 ∴y≠3. ∴函数的值域为(-∞,3)∪(3,+∞).

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④方法一: 由几何意义, 可知 y=|x-1|+|x+4|表示数轴 上的点到表示 1 的点与表示-4 的点的距离之和,由图形知 y≥5.故值域为[5,+∞). ?-2x-3,x<-4, ? 方法二:y=|x-1|+|x+4|=?5,-4≤x≤1, ?2x+3,x>1. ? 画出函数的图象可得值域为[5,+∞).

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求函数值域(最值)的常用方法 (1)配方法:若函数为一元二次函数,常采用配方法求函 数的值域,其关键在于正确化成完全平方式. (2)换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成 值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.形如 y =ax+b± cx+d(a,b,c,d 均为常数且 ac≠0)的函数常用 此法求值域.
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(3)基本不等式法: 借助于基本不等式 a+b≥2 ab(a>0, b >0)求值域.用不等式法求值域时,要注意基本不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”. (4)单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据其单调 k 性求函数的值域.常用到函数 y=x+x(k>0)的单调性:增区间 为(-∞,- k ]和[ k,+∞),减区间为(- k,0)和(0, k). (5)导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结 合闭区间的端点值,求出最值.
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【活学活用】 1.求下列函数的值域. x2 (1)y= 2 ;(2)y=x- 1-2x. x +1 2 ?x2+1?-1 x 1 解:(1)y= 2 = =1- 2 , x +1 x2+1 x +1

1 又∵x +1≥1,∴0< 2 ≤1, x +1
2

1 ∴0≤1- 2 <1,即函数的值域为[0,1). x +1
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1 (2)方法一:由 1-2x≥0,得 x≤2.
? 1? ∴函数的定义域为?-∞,2?. ? ?

又 y=x- 1-2x在定义域上为增函数, 1 ∴y≤2- 1 1 1-2×2=2.

? 1? ∴函数的值域为?-∞,2?. ? ?

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1-t2 方法二:设 t= 1-2x(t≥0),则 x= 2 , 1-t2 1 1 2 ∴y= 2 -t=-2(t+1) +1≤2(t≥0).
? 1? ∴函数的值域为?-∞,2?. ? ?

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【考向探寻】 1.求函数的单调区间;

2.已知函数的单调性求参数范围;
3.利用单调性解不等式、求值域.

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【典例剖析】 (1)设函数 y=f(x)定义在实数集上, 它的图象关于 直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1 为增函数,则有
?1? ?3? ?2? A.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?3? ?1? ?2? B.f?2?<f?3?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?1? C.f?3?<f?2?<f?3? ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? ?1? D.f?2?<f?3?<f?3? ? ? ? ? ? ?
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(2)已知函数f(x)是R上的增函数,且f(x2 +x)>f(a-x)对一切
x∈R都成立,则实数a的取值范围为________. (3)求出下列函数的单调区间: ①f(x)=|x2-4x+3|; ②f(x)=log2(x2-1).

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(1)利用对称性将函数值转化到区间[1,+∞)上,根据单调
性判断大小. (2)由单调性得到x2+x>a-x,即a<x2+2x恒成立,转化为求 函数g(x)=x2+2x的最小值. (3)①函数含有绝对值,故可将其转化为分段函数后作出图

象求解;②中的函数为函数y=log2u,u=x2-1的复合函数,要
注意其定义域.

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(1)解析:∵y=f(x)的图象关于 x=1
? 3? ?1? f?2-2?=f?2?,∵当 ? ? ? ?

?3? 对称,∴f?2?= ? ?

x≥1 时,f(x)=3x-1 为增函数,∴

1 1 2 当 x<1 时,f(x)为减函数,又3<2<3,
?1? ?1? ?2? ∴f?3?>f?2?>f?3?. ? ? ? ? ? ?

答案:C
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(2)解析:由题意知x2+x>a-x对一切x∈R都成立,
即a<x2+2x对一切x∈R都成立. 令g(x)=x2+2x,则g(x)=x2+2x=(x+1)2-1≥-1, ∴a<-1,∴所求a的范围为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)

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(3)解:①先作出函数y=x2-4x+3的图象,把x轴下方的部

分翻折到x轴上方,可得函数f(x)的图象.如图甲所示.

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由图可知,函数的增区间为[1,2],(3,+∞),减区间为(-

∞,1),(2,3].
②函数的定义域为x2-1>0, 即{x|x>1或x<-1}. 令u(x)=x2-1,图象如图乙所示. 由图象知,u(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(1,+∞)上是

增函数.
而f(u)=log2u是增函数. 故f(x)=log2(x2-1)的单调增区间是 (1,+∞),单调减区间是(-∞,-1).
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(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法: ①利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或 复合函数,求单调区间.

②定义法:先求定义域,再利用单调性定义.
③图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易 作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.

④导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.

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(2)求函数y=f(g(x))的单调区间的步骤:
①确定定义域; ②将函数y=f(g(x))分解成两个基本初等函数; ③分别确定两基本初等函数的单调性; ④按“同增异减”的原则确定原函数的单调区间.

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如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或 减函数),不能认为这个函数在这几个区间的并集上就是增 1 函数(或减函数),例如函数f(x)= x 在(-∞,0)上是减函数, 1 在(0,+∞)上也是减函数,但不能说f(x)= x 在(-∞,0)∪ (0,+∞)上是减函数,因为当x1=-1,x2=1时,有f(x1)= -1<f(x2)=1不满足减函数的定义.
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【活学活用】 2.(1)已知函数f(x)=log2(x2 -ax+3a)在区间[2,+∞)上递 增,则实数a的取值范围是________.

?a ? ≤2, 解析:由题意应有?2 ∴-4<a≤4, ?4-2a+3a>0, ? ∴a 的取值范围是(-4,4].
答案:(-4,4]

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(2)函数 y= x2-1的单调递增区间为________,单调递 减区间为________.
解析:∵y= x2-1, ∴该函数的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞). 又∵y= x2-1可看作是由 y= u与 u=x2-1 两个函数 复合而成的, 且 y= u在 u∈[0,+∞)上为增函数, 而 u=x2-1 在(-∞,-1]上为减函数且 u≥0, 在[1,+∞)上为增函数且 u≥0.
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∴当 x∈(-∞,-1]时,y= x2-1为减函数, 当 x∈[1,+∞)时,y= x2-1为增函数.
答案:[1,+∞) (-∞,-1]

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(12分)函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=

f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

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(1)是抽象函数单调性的证明,运用定义法,需构造f(x1)-

f(x2)的形式.(2)是抽象不等式,需利用(1)的结论,化抽象不等
式为具体不等式,为此还要将右边常数3看成某个变量的函数 值.

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(1)设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>1.2分 ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =[f(x2-x1)+f(x1)-1]-f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 即f(x2)>f(x1),5分 ∴函数f(x)在R上是增函数.6分

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(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3.8 分 ∴原不等式等价于 f(3m2-m-2)<f(2). 由(1)的结论, 得 3m2-m-2<2,10 分 4 解得-1<m<3.
? 4? 故原不等式的解集为?-1,3?.12 ? ?



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证明抽象函数单调性的步骤 步骤一:在所给区间内取x1,x2,且x1<x2; 步骤二:作差f(x2)-f(x1);

步骤三:利用所给函数的性质变形,以利于判断差的符
号; 步骤四:判断符号; 步骤五:下结论,即明确函数的单调性.

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2014一轮复习指导资料 第2章 第2节 函数的单调性与最值_图文.ppt
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