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浙江省省台州中学2011届高三第四次统练试题数学理


?

2010— 台州中学 2010—2011 学年第一学期第四次统练试题 高三 数学(理科) 数学(理科)

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的. (1) 设全集 U = R ,集合 A = {x | 0 ≤ x ≤ 2}, B = { y | 1 ≤ y ≤ 3} ,则 (CU A) U B =( ) A.

(2,3]

B. (? ∞,1] U (2,+∞ )

C. [1,2 )

D. (? ∞,0 ) U [1,+∞ )
y

(2) 已知条件 p : a < 0 ,条件 q : a 2 > a ,则 ?p是?q 的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 (3) 已知向量 a = (1,0) b = (0,1) c = a + λb , , ( λ ∈ R) ,向量 d 如图所示.则( ) A.存在 λ > 0 ,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 λ > 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60 C.存在 λ < 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30
°

d

1
O

1

x

°

D.存在 λ > 0 ,使得向量 c 与向量 d 共线 (4) 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上 的射影可能是 ( )
D1 A1 C1

P D

B1
C

① A.①④

② B.②③

③ C.②④



A

B

D.①②

r r r r r r 5 r r (5) 已知向量 a =(1,2) b =( ? 2, ? 4) c |= 5 ,若( a + b ) c = ,则 a 与 c 的 , ,| · 2
夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° (6) 已知 f ( x ) = 2 sin( 2 x ? π ) ? m 在 x ∈ ?0, ? 上有两个不同零点,则 m 的取值范围为( ) 6 ? 2? A. (1,2) B.[1,2] C.[1,2) D. (1,2]

? π?

(7) 设函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )( A ≠ 0, ω > 0,| ? |< 最小正周期为 π ,则 A. f ( x ) 的图像经过点 (0, ) C. f ( x ) 的最大值为 A (

π

2 ) 的图像关于直线 x = π 对称, 且它的 2 3



1 2

5 2 π , π ] 上是减函数 12 3 5 D. f ( x ) 的图像的一个对称中心是 ( π , 0) 12
B. f ( x ) 在区间 [

?

(8)过双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 右焦点 F 作圆 x 2 + y 2 = a 2 的切线 FM (切点为 a2 b2 M) ,交 y 轴于点 P .若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率是 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

?lg( x + 1), x > 0 ? (9) 函数 f ( x) = ? 图象上关于坐标原点 O 对称的点有 n 对,则 n 的值为( π ?cos 2 x, x < 0 ?
A 3 B4 C 5 D 无穷多



(10) 定义域为[a,b]的函数 y = f ( x ) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x ) 图象上任意一 点, 其中 x= λa + (1 ? λ )b ∈ [ a, b] ,已知向量 ON = λ OA + (1 ? λ )OB , 若不等式 | MN |≤ k 恒成 。若函数 y = x ? 立,则称函数 f ( x)在[ a, b] 上“k 阶线性近似” 则实数 k 的取值范围为 ( A. [0, +∞ ) )

uuur

uuu r

uuu r

uuuu r

1 在[1,2]上“k 阶线性近似” , x

1 3 3 B. [ , +∞) C. [ + 2, +∞) D. [ ? 2, +∞ ) 12 2 2
.
2 3 2

小题, 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分. 填空题: (11) 已知 sin(

π 3 ? x) = ,则 sin 2 x 的值为 4 5

(12) 若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是 .

? 2 x ? y ≤ 0, x + y ?2 ? ?1? (13) 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y + 5 ≥ 0, 则 z = ? ? ?2? ? y ≥ 1, ?
的最大值等于 .
4

正视图

侧视图
2

俯视图 (第 12 题)

(14) ( x + 1) 4 ( x ? 1) 5 的展开式中, x 的系数为______

(15) 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是________ (16)设直线 3 x + 4 y ? 5 = 0 与圆 C1 : x 2 + y 2 = 4 交于 A, B 两点,若圆 C 2 的圆心在线段 AB 上, 且圆 C 2 与圆 C1 相切,切点在圆 C1 的劣弧 AB 上,则圆 C 2 的半径的最大值是 (17) 若数列 {an } 满足 .

1 1 ? = d ( n ∈ N? , d 为常数) ,则称数列 {an } 为调和数列.记数 an +1 an
.

列{

1 }为调和数列, 且x1 + x 2 + L + x 20 = 200, 则x5 + x16 = xn

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: (18)(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边,

?

已知 b + c = a + bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 2 sin
2

B C + 2 sin 2 = 1 ,判断 ?ABC 的形状. 2 2
10

? 2 ? ? 的展开式中, (19)(本题满分 14 分) 在 ? x ? ? ? 3 x? ?
(1)写出展开式含 x 的项; (2)如果第 3r 项和第 r + 2 项的二项式系数相等,求 r 的值。 (20)(本小题满分 14 分)正△ ABC 的边长为 4, CD 是 AB 边上的高, E , F 分别是 AC 和 BC 边的 中点,现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B . (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ⊥ DE ?证明你的结论.
A E

2

A

E
D F C

D F
B

C

B
2 2

(21)(本题满分 15 分) 已知抛物线 C 1 : y = x , 椭圆C2 : x +

y2 = 1. 4

(1)设 l1 , l2 是 C1 的任意两条互相垂直的切线,并设 l1 I l2 = M ,证明:点 M 的纵坐标为 定值; (2)在 C1 上是否存在点 P,使得 C1 在点 P 处切线与 C2 相交于两点 A、B,且 AB 的中垂 线恰为 C1 的切线?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (22) (本小题满分 15 分) 已知 f ( x ) = ( x 3 + bx 2 + cx + d ) ? e x ,且 f (0) = 4 ? 5b, x = 1 为 f ( x ) 的极值点, g ( x ) = ( 2 x + 2) ? e ?2 x . (I)若 f ( x ) 在 ( 2,+∞) 上递增,求 b 的取值范围; (II)对任意 x1 ∈ [0,1], 存在 x 2 使得 f ( x1 ) = g ( x 2 ) 成立,求 b 的取值范围.

台州中学 2010-2011 学年第一学期第四次统练答题卷
高三 ………………… 数学(理科)

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

________

?

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11. 13. 15. 17.

;12. ;14. ;16.

三.解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分)

19. (本题满分 14 分)

?

20. (本题满分 14 分)

A

E

D F B

C

21. (本题满分 15 分)

?

22. (本题满分 15 分)

?

第四次统练数学参考答案(理科) 第四次统练数学参考答案(理科) 参考答案
一.选择题: 选择题: 题 号 答 案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 D

二.填空题: 填空题: 11. 11.

7 25

12. 12. 2

13. 13.8

14. 14.45

?

15. 15.48 解答题: 三.解答题:

16. 16.1

17. 17.20

18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)在 ?ABC 中, b + c ? a = 2bc cos A ,又 b + c = a + bc
2 2 2 2 2 2

1 π ,A= 2 3 B C 2 + 2 sin 2 = 1 ,∴ 1 ? cos B + 1 ? cos C = 1 (Ⅱ)∵ 2 sin 2 2 2π ∴ cos B + cos C = 1, cos B + cos( ? B) = 1 3 2π 2π cos B + cos cos B + sin sin B = 1 , 3 3
∴ cos A =



3 1 π sin B + cos B = 1 ,∴ sin( B + ) = 1 , 2 2 6
∵ 0 < B < π ,∴ B =

π
3

,C =

π
3
10 ? k ? 2 ? k ? ? 3 ? = (?1) k 2 k C10 x 3 ? ? x? ?

∴ ?ABC 为等边三角形。

k

4

19. (本小题满分 14 分) (1) Tk +1 = C x
K 10

10 ? k

令 102

4 k=2 得 k=6 3
6 6 6 4 10 ? ?6 3

∴含 x 的项是 ( ?1) 2 C10 x (2)∵ C10
3 r ?1

= 2 C10 x =13440x

6

6

2

2

(7 分)
A

r = C10+1

∴3r-1=r+1 或 3r-1+r+1=10∴r=1 或 r=

5 (舍去) 2
D P Q N F

E M

∴r=1 (14 分) 20.(本小题满分 14 分)解:法一: (I)如图:在△ABC 中, 由 E、F 分别是 AC、BC 中点, 得 EF//AB, B 又 AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF. ∴AB∥平面 DEF. (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB 是二面角 A—CD—B 的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面 BCD 取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD ∴EM⊥平面 BCD 过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF ∴∠MNE 是二面角 E—DF—C 的平面角…………6 分 在 Rt△EMN 中,EM=1,MN=

3 2

?

∴tan∠MNE=

2 3 21 ,cos∠MNE= 3 7

………………………8 分

(Ⅲ)在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE……………………10 分 证明如下:在线段 BC 上取点 P。使 BP = ∵ DQ =

1 BC ,过 P 作 PQ⊥CD 与点 Q, 3

∴PQ⊥平面 ACD

1 2 3 DC = 在等边△ADE 中,∠DAQ=30° 3 3

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………14 分 法二: (Ⅱ)以点 D 为坐标原点,直线 DB、DC 为 x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,2)B(2,0,0)C(0, 2 3 ,0, ), E (0, 3 ,1), F (1, 3 ,0) ……4 分 平面 CDF 的法向量为 DA = (0,0,2) 设平面 EDF 的法向量为 n = ( x, y, z ) 则?

? DF ? n = 0 ? ? DE ? n = 0 ?

即?

?x + 3 y = 0 ? 取n = (3,? 3 ,3) ? 3y + z = 0 ? = 21 21 所以二面角 E—DF—C 的余弦值为 …8 分 7 7

cos < DA, n >=
z A

DA ? n | DA || n |

y
E C F

D P

B x

(Ⅲ)在平面坐标系 xDy 中,直线 BC 的方程为 y = ? 3 x + 2 3 设 P ( x,2 3 ? 3 x,0), 则 AP = ( x,2 3 ? 3 x,?2)

∴ AP ⊥ DE ? AP ? DE = 0 ? x =

4 1 ? BP = BC …………………12 分 3 3
…………………………14 分

所以在线段 BC 上存在点 P,使 AP⊥DE 另解:设 P ( x, y,0), 则 AP ? DE =

3y ? 2 = 0∴ y =

2 3 3

又 BP = ( x ? 2, y,0), PC = ( ? x,2 3 ? y,0)

…………………………12 分

?

Q BP // PC ∴ ( x ? 2)(2 3 ? y ) = ? xy ∴ 3 x + y = 2 3
把 y= DE 21. 解: (1) y = 2 x , 设切点分别为 ( x1 , x1 ), ( x1 , x2 ) 即 y = 2 x1 x ? x1
2 2 2

2 3 4 1 代入上式得 x = ,∴ BP = BC 所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P 使 AP ⊥ 3 3 3
…………….14 分

则 l1方程为y ? x1 = 2 x1 ( x ? x1 )
2



2 l2 方程为 y = 2 x2 x ? x2



由 l1 ⊥ l2得2 x1 2 x2 = ?1 所以 yM = ?

即 x1 x2 = ?

1 4

1 1 ,即点 M 的纵坐标为定值 ? . 4 4
2

(2)设 P ( x0 , x0 ) , 则 C1 在点 P 处切线方程为: y = 2 x0 x ? x0 得 4 x + (2 x0 x ? x0 ) ? 4 = 0
2 2 2

代入 C2 方程 4 x 2 + y 2 ? 4 = 0
2 2 3 4

即 (4 + 4 x0 ) x ? 4 x0 x + x0 ? 4 = 0 则 x3 + x4 =
3 x0 x4 ? 4 , x3 ? x4 = 0 2 2 1 + x0 4 + 4 x0

设 A( x3 , y3 ), B ( x4 , y4 )

6 2 4 2 4 ? = 16 x0 ? 16(1 + x0 )( x0 ? 4) = 16(4 + 4 x0 ? x0 ) > 0



由(1)知 yM = ?
2 0

1 4

从而

y3 + y4 1 =? , 2 4

1 即 x0 ( x3 + x4 ) ? x = ? ? 4
解得 x0 =
2

4 x0 1 2 进而得 ? x0 = ? 2 1 + x0 4

1 ,且满足③ 3

所以这样点 P 存在,其坐标为 (±

3 1 , ). 3 3

15 分

22. (I)由 f (0) = 4 ? 5b 得 d = 4 ? 5b ,又得 c = b ? 4

f ( x) = [ x 3 + bx 2 + (b ? 4) x + 4 ? 5b] ? e x f ' ( x) = ( x + b)( x 2 + 3 x ? 4)e x ≥ 0, ?x ∈ (2,+∞) 恒成立, b ≥ ?2
由 g ' ( x) = e ?2 x ( ?4 x ? 2) 得, g (x ) 在 ( ?∞,? ) 上递增, 在 ( ?

,

1 2

1 ,+∞) 上递减. 2

?

故 g (x ) 的值域为 ( ?∞, e] , f ' ( x) = ( x + b)( x 2 + 3 x ? 4)e x = ( x + b)( x + 4)( x ? 1)e x (II)


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