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【全优课堂】2014年秋高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2


自学导引 1.圆与圆的位置关系

外离 、 ________ 外切 、 圆与圆的位置关系有五种,分别为: ________ 相交 、________ 内切 、________. 内含 ________

2.圆与圆的位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则 两圆的位置关系的判断方法如下: 位置 外离 外切 相交 内切 内含 关系 图示 d 与 r1, >r1+r2 r2 的关 d _______ 系 < d_______ =r1+r2 |r1-r2|<d< d_______ =|r1-r2| |r d r1+r2 1-r2| ______ ______

(2)代数法:设两圆的方程分别为: 2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2 1+E1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 2+E2-4F2>0), 2 2 ? ?x +y +D1x+E1y+F1=0, 联立方程得? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解 2组 1组 0组 的个数 两圆的公 2 个 1 个 0 个 ____ ____ ____ 共点个数 两圆的位 相交 外切 外离或____ 内含 ______ ____或内切 ____ ____ 置关系

自主探究 探究 1:当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定相 离?只有一组解时一定外切吗?

【答案】 不一定. 当两圆组成的方程组无解时, 两圆无公共点, 两圆可能相离也可能内含;只有一组解时,两圆只有一个公共点, 两圆相切,可能外切,也可能内切.

探究 2:将两个相交的非同心圆的方程 x2+y2+Dix+Eiy+Fi =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特 殊性呢?

【答案】两圆相减得一直线方程,它经过两圆的公共点.经过 相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.

预习测评 1.圆(x+2) 2+y2=4 与圆(x-2) 2+(y-1) 2=9 的位置关系为 ( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 )

【答案】B

2.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0,C2:x2+y2-4x-2y+ 1=0 的公切线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

【答案】B

3.点 P 在圆 O:x2+y2=1 上运动,点 Q 在圆 C:(x-3)2+y2 =1 上运动,则|PQ|的最小值为________.

【答案】1
4. 两圆 x2+y2-x+y-2=0 和 x2+y2=5 的公共弦长为______.

【答案】 2

要点阐释 1.两圆的公共弦 (1)设圆 O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆 O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 则两圆相交公共弦所在直线方程为: (x2+y2+D1x+E1y+F1)-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, 即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长 问题,从而得以解决.如图,利用圆 O1 首先求出 O1 点到相交弦所 1 在直线的距离 d,而 AC= l, 2 1 2 2 2 ∴ l2=r2 1-d ,即 l=2 r1-d ,从而得以解决. 4

2.圆系问题 (1)过两圆交点的圆系方程 若两圆 C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 C2: x2+y2+D2x+E2y +F2=0 相交,则过这两圆交点的圆的方程可表示为 C3:x2+y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.(不含圆 C2) (2)过直线与圆交点的圆系方程 若直线 l:Ax+By+C=0 与圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 相 交,则经过它们交点的圆系方程可表示为: x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.

典例剖析 题型一 圆与圆位置关系的判断 【例 1】 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2 +y2+2x-2my+m2-3=0,问:m 为何值时,(1)圆 C1 和圆 C2 相 外切?(2)圆 C1 与圆 C2 内含? 思路点拨:将圆的方程化为标准方程,分别求出圆心和半径, 比较讨论,得出结论.

解: 对于圆 C1,圆 C2 的方程,配方得 C1:(x-m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果圆 C1 与圆 C2 相外切,则有 ?m+1?2+?m+2?2=3+2, 即(m+1)2+(m+2)2=25,m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2. (2)如果圆 C1 与圆 C2 内含,则有 ?m+1?2+?m+2?2<3-2,即 (m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,解得-2<m<-1. 故(1)当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含.

1.已知两圆 C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-2x-8y -8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系.

解: 法一:将两圆的方程联立得 2 2 ? ① ?x +y +4x+4y-2=0, ? 2 2 ? ② ?x +y -2x-8y-8=0, 由①-②,得 x+2y+1=0.③ 由③,得 x=-2y-1,把此式代入①, 并整理得 y2-1=0.④ 方程④的判别式 Δ=02-4×1×(-1)=4>0, 所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点,即两圆相交.

法二:把圆 C1 的方程化为标准方程,得(x+2)2+(y+2)2=10. 圆 C1 的圆心坐标为(-2,-2),半径长 r1= 10. 把圆 C2 的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-4)2=25. 圆 C2 的圆心坐标为(1,4),半径长 r2=5. 圆 C1 和圆 C2 的连心线的长为 ?-2-1?2+?-2-4?2=3 5, 圆 C1 和圆 C2 的两半径长之和是 r1+r2=5+ 10,两半径长之 差是 r2-r1=5- 10. 而 5- 10<3 5<5+ 10,即 r2-r1<3 5<r1+r2. 所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点,即两圆相交.

题型二 与两圆的公共弦有关的问题 【例 2】 求两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y -8=0 的公共弦所在直线的方程及公共弦长. 思路点拨: 先利用两圆方程作差消去二次项, 求出公共弦所在 的直线方程,然后转化为直线与圆相交求弦长问题.

解:联立两圆的方程得方程组 2 2 ? ?x +y -2x+10y-24=0, ? 2 两式相减得 x-2y+4=0,此即 2 ? x + y + 2 x + 2 y - 8 = 0 , ? 为两圆公共弦所在直线的方程. 法一: 设两圆相交于点 A , B ,则 A , B 两点满足方程组 ? ? ? ?x-2y+4=0, ?x=-4, ?x=0, ? 2 解得? 或? 2 ? ? ? ?x +y +2x+2y-8=0, ?y=0 ?y=2. 所以|AB|= ?-4-0?2+?0-2?2=2 5,即公共弦长为 2 5.

法二:由 x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50, 其圆心坐标为(1,-5),半径长为 r=5 2,圆心到直线 x-2y+4 |1-2×?-5?+4| =0 的距离为 d= =3 5.设公共弦长为 2l,由勾股 1+?-2?2 定理得 r2=d2+l2,即 50=(3 5)2+l2,解得 l= 5,故公共弦长为 2l=2 5.

2.圆 A 的方程为 x2+y2-2x-2y-7=0,圆 B 的方程为 x2+ y2+2x+2y-2=0,判断圆 A 和圆 B 是否相交,若相交,求过两交 点的直线的方程及两交点间的距离;若不相交,说明理由.

解:圆 A 的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9,圆心 A(1,1),半 径 rA=3.圆 B 的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4, 圆心 B(-1, -1), 半 径 rB = 2 , ∴ 两 圆 心 之 间 的 距 离 满 足 3 - 2<|AB| = ?1+1?2+?1+1?2=2 2<3+2.即两圆心之间的距离小于两圆半径 之和且大于两圆半径之差,∴两圆相交. 两圆方程左、右两边分别相减可得 4x+4y+5=0,设两圆交 点分别为 C,D,则 C,D 两点坐标满足上述方程,故两圆公共弦 所在的直线方程为 4x+4y+5=0. |4×1+4×1+5| 13 ∵圆心 A 到直线 CD 的距离为 d= = 8 2. 2 2 4 +4 132 238 2 2 2 由勾股定理,得|CD|=2 rA-d =2 3 - 32 = 4 . ∴两圆相交,过两交点的直线方程为 4x+4y+5=0,两交点 238 间的距离为 4 .

题型三 圆系方程的应用 【例 3】 求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程. 思路点拨: 可以先求出已知两圆的交点坐标, 然后由圆心在已 知直线上和圆过两定点求圆的方程, 也可以先用待定系数法设出过 两圆交点的圆系方程,再由圆心在已知直线上,确定系数.

解:
2 2 ? ?x +y +6x-4=0, 法一: 解方程组 ? 2 2 ? ?x +y +6y-28=0,

得两圆的交点 A( -

1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线 x-y-4=0 上,故 b =a-4. 则 ?a+1?2+?a-4-3?2= ?a+6?2+?a-4+2?2, ?1 7? 1 89 ? ? 解得 a=2,故圆心为 2,-2 ,半径为 2. ? ? ? 1?2 ? 7?2 89 故圆的方程为?x-2? +?y+2? = 2 , ? ? ? ? 即 x2+y2-x+7y-32=0.

法二:设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1), ? 3 3λ ? ? 其圆心为?-1+λ,-1+λ? ?,代入 x-y-4=0,解得 λ=-7. ? ? 2 2 故所求圆的方程为 x +y -x+7y-32=0. 方法点评:求圆的方程,方法较多,然而利用圆系方程或利用 圆的几何性质求解,运算量较小且简便适用.

3. 求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点, 且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点;(2)有最小面积.

解:设所求圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0, 即 x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0. (1)因为此圆过原点,∴1+4λ=0. 1 3 17 2 2 ∵λ=-4,∴所求圆的方程为 x +y +2x- 4 y=0. (2)当半径最小时,圆面积也最小,对原方程左边配方 ? 8?2 4 λ-4? ? ?2 5? 2 得[x+(1+λ)] +?y+ =4?λ-5? +5. ? 2 ? ? ? ? 8 ∴当 λ=5时,此圆面积最小,故满足条件的圆的方程为 ? 13?2 ? 6?2 4 ?x+ ? +?y- ? = . 5 ? ? 5? 5 ?

误区解密 考虑问题不全面致错 【例 4】 求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切,且和 直线 y=0 相切的圆的方程. 错解:由题意知,所求圆与直线 y=0 相切且半径为 4,设其 圆心 C 的坐标为(a,4),且其方程为(x-a)2+(y-4)2=42,又圆 x2 +y2-4x-2y-4=0,即(x-2)2+(y-1)2=32,其圆心为 A(2,1), 半径为 3.由两圆相切,得|CA|=3+4, 所以(a-2)2+(4-1)2=72,解得 a=2± 2 10, 所以所求圆的方程为 (x-2-2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2+2 10)2+(y-4)2=16. 错因分析:上述错解只考虑了圆心在直线 y=0 上方的情形, 而漏掉了圆心在直线 y=0 下方的情形,另外错解没有考虑两圆内 切的情况,也是不全面的.

正解:由题意,设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心 为 C,又圆 C 与直线 y=0 相切且半径为 4.故圆心 C 的坐标为(a,4) 或(a,-4).又因为圆 x2+y2-4x-2y-4=0 的圆心 A 的坐标为 (2,1),半径为 3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7 或|CA|=4-3=1. 当取 C(a,4)时, (a-2)2+(4-1)2=72 或(a-2)2+(4-1)2=12(无解), 故 a=2± 2 10,此时所求圆的方程为 (x-2-2 10)2+(y-4)2=16 或(x-2+2 10)2+(y-4)2=16; 当取 C(a,-4)时, (a-2)2+(-4-1)2=72 或(a-2)2+(-4-1)2=-12(无解),所 以 a=2± 2 6,此时所求圆的方程为(x-2-2 6)2+(y+4)2=16 或 (x-2+2 6)2+(y+4)2=16.

纠错心得: 处理两圆相切问题,首先,必须准确把握是内切还是外切,若 只是告诉两圆相切, 则必须分两圆内切和外切两种情况讨论; 其次, 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对 值(内切时)或两圆半径之和(外切时).

课堂总结 1. 判断两个圆的位置关系常用两圆圆心距 d 与两圆半径的和、 差比较大小.d=R+r 时,两圆外切;d=|R-r|时,两圆内切;d <|R-r|时,两圆内含;d>R+r 时,两圆相离;|R-r|<d<R+r 时,两圆相交.

2.过两个已知圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 x2+y2+D2x+ E2y+F2=0 的交点的圆系方程为: x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + λ(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0(λ≠- 1).(ⅰ) 方程 (ⅰ )是一个圆系方程,这些圆的圆心都在两圆的连心线 上,圆系方程代表的圆不包含圆 x2+y2+D2x+E2y+F2=0. λ=-1 时,(ⅰ)式变为一条直线: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(ⅱ) 若两圆相交,则方程(ⅱ)是它们的公共弦所在直线的方程;若 两圆相切,则方程(ⅱ)就是它们的公切线方程.


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