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2014-2015学年度春学期六校期中联考试卷高二数学(文科)

2014-2015 学年度春学期六校期中联考试卷高二数学(文科) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应 ..... 位置上 . ...
1.命题:“ ?x ? 0

, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定是



0 2 4 ? ,则 A 2.设集合 A ? x | x |? 2 , B ? ??2,,,,

?

?

B=

. . 条件

3.已知复数 z 满足 (2 ? i) z ? 5i (其中 i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部是 4.若 f ( x) 是定义在 R 上的函数,则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的 (从“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”中选一个) 5. 函数 f ( x) ?
3

x ?1 的定义域为_________________. x ?1

6. 若函数 f ( x) ? x 2 ? (a 2 ? 4a ? 1) x ? 2 在区间 ?? ? , 1? 上是减函数, 则 a 的取值范围是________. 7. 函数 y ? ? x 2 ? x ? 2 的单调递增区间为 8.函数 f ( x) ? ?
2 ? ?2 x ? x , 0 ? x ? 3 的值域是________. ?x 2 ? 6x , ? 2 ? x ? 0 ?

.

9.已知 p : a ? 4 ? x ? a ? 4; q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 取值范围为

p是

q 的充分不必要条件,则实数 a 的

10 .如果函数 f(x) 在区间 D 上是“凸函数”,则对于区间 D 内任意的 x1 , x2 ,?, xn ,有 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f n n ? ?成立.已知函数 y=sin x 在区间[0,π]上是“凸函数”, 则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 11. ? a ? 2? x ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取植范围为
2



12 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (?1,1) 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x) 在 (?1,1) 上 是 减 函 数 , 则 不 等 式

f (1 ? x) ? f (1 ? x 2 ) ? 0 的解集为________.
13.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6),对任意正实数 k,有 f(x+k) <f(x)成立,则当不等式|f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的值为________. 14.已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x .若在区间 [?1,3] 内,函数

g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则 k 的取值范围是
高二(文科)数学试卷

.

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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写 ........ 出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 2 15. 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x x ? (2m ? 3) x ? m ? 3m ? 0, m ? R

?

?

?

?

(1)若 A ? B ? [2,4] ,求实数 m 的值; (2)设全集为 R ,若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围.

16.已知命题 p : 指数函数 f ( x) ? (2a ? 6) x 在 R 上单调递减,命题 q : 关于 x 的方程
x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3 .若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

17.若二次函数 f ( x ) 的最小值是 f (?1) ? 0 , f (0) ? 1 且对称轴是 x ? ?1 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x ) 在区间 ?t , t ? 2? ? t ? R ? 的最小值.

18. 据气象中心观察和预测: 发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动, 其移动速度 v (km / h) 与 时间 t (h) 的函数图象如图所示, 过线段 OC 上一点 T (t ,0) 作横轴的垂线 l , 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t (h) 内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t ? 4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向, 且距 M 地 650 km, 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

高二(文科)数学试卷

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19.若函数 f ( x) 为定义域 D 上的单调函数,且存在区间[a,b]?D(其中 a<b),使得当 x∈[a,b] 时, f ( x) 的取值范围恰为[a,b],则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间[a,b]叫做等域区间. (1)已知 f ( x) ?

x 是[0,+∞)上的正函数,求 f ( x) 的等域区间;

(2)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g ( x) ? x 2 ? m 是 (??,0) 上的正函数?若存在,请 求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

ax2 ? bx ? c 20. 已知函数 f ( x) ? (其中 a, b, c, d 是实数常数, x ? ?d ) x?d (1)若 a ? 0 ,函数 f ?x ? 的图像关于点(—1,3)成中心对称,求 b, d 的值; (2)若函数 f ( x) 满足条件(1) ,且对任意 x0 ? ?3,10? 总有 f ?x0 ? ? ?3,10? ,求 c 的取值范围;
3 1 , ? ?? 时,不等 (3)若 b ? 0 ,函数 f ( x) 是奇函数, f ?1? ? 0 , f ?? 2? ? ? ,且对任意 x ? ? 2 式 f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,求负实数 m 的取值范围.

2014-2015 学年度春学期六校期中联考试卷(参考答案)
2 1. ? x ? 0 , x ? 2 x ? 4 ? 0

2. ?4?
4. 必要不充分 6. ?1, 3?

3 .2 5. ?? ?,?1? ? ?? 1,???

7. ? ? 2,? ? (闭区间也可以,左闭右开或左开右闭也可以) 8. ?? 8 , 1?

? ?

1? 2?

9. [-1,6]

10.

3 3 2

11. ?1,2? 13.2

12. (0,1) 14.
? ? 0, ? 1? 4? ?

15.(1)由题知 A ? [?2,4] ?????????.2 分

B ? [m ? 3, m]

?????????.4 分
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? A ? B ? [2,4] ,


?m ? 3 ? 2 ? ?m ? 4
∴m ? 5 (2)

?????????6 分

?????????.7 分

CR B ? {x x ? m ? 3, 或x ? m} ?????????.8 分

∵A?

? R B ∴ m ? ?2, 或m ? 3 ? 4 ,

?????????.12 分

∴ m ? 7或m ? ?2

?????????.14 分

16. 解:若 p 真,则 f(x)=(2a-6)x 在 R 上单调递减, 7 ∴0<2a-6<1,∴3<a< ,?????????.2 分 2 若 q 真,令 f(x)=x2-3ax+2a2+1,则应满足 Δ=?-3a? -4?2a +1?≥0 ? ? -3a ?- 2 >3 ? ?f?3?=9-9a+2a +1>0
2 2 2

,?????????5 分

a≥2或a≤-2 ? ?a>2 ∴? 5 ? ?a<2或a>2

5 ,故 a> ,?????????.7 分 2

又由题意应有 p 真 q 假或 p 假 q 真.…………………………8 分

?3<a<2 ①若 p 真 q 假,则? 5 ?a≤2

7 ,无解.?????????.10 分

?a≤3或a≥2 ②若 p 假 q 真,则? 5 ?a>2
?5 ? ? ?

7 ,

5 7 ∴ <a≤3 或 a≥ .………………………………………………12 分 2 2 综上可知 a a 的取值范围是 ? ,3? ? ? ,?? ? ???????14 分 2 2
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?7 ?

? ?

2 17.解: (1)由题知 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0) ?????????.1 分

? ? f (?1) ? 0 ? ? f (0) ? 1 ? b ?x ? ? ? ?1 2a ?

?

?a ? b ? c ? 0 ? ?????????.3 分 ?c ? 1 ?b ? 2a ?

?a ? 1 ? ?c ? 1 ?b ? 2 ?

?????????.6 分

? f ( x) ? ( x ? 1)2
(2)当 t

?????????.7 分

? 2 ? ?1 时,即 t ? ?3 时

f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ?t , t ? 2? 上单调递减
f ( x)min ? f (t ? 2) ? (t ? 3)2
当t ?????????9 分

? ?1 ? t ? 2 时,即 ?3 ? t ? ?1 时

f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ?t , ?1? 上单调递减, f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ? ?1, t ? 2? 上单调递增
f ( x)min ? f (?1) ? 0
当t ?????????.11 分

? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 1)2 在区间 ?t , t ? 2? 上单调递增,
?????????.13 分

f ( x)min ? f (t ) ? (t ? 1)2

?t 2 ? 6t ? 9 , t ? ?3 ? 综上可得 f ( x) min ? ?0 ,?3 ? t ? ?1 ?????????.14 分 ?t 2 ? 2t ? 1 , t ? ?1 ? 18. 解 (1)由图象可知;当 t=4 时,v=3×4=12,

1 所以 s=2×4×12=24.

???????2 分

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1 3 (2)当 0≤t≤10 时,s=2· t· 3t=2t2; ??????? 4 分 1 当 10<t≤20 时,s=2×10×30+30(t-10)=30t-150;???????6 分 1 1 当 20<t≤35 时,s=2×10×30+10×30+(t-20)×30-2×(t-20)×2(t-20) =-t2+70t-550. ???????8 分 32 ? ?2t ,t∈[0,10], 综上可知 s=?30t-150,t∈?10,20], ? ?-t2+70t-550,t∈?20,35].

???????9 分

3 (3)当 t∈[0,10]时,smax=2×102=150<650. ???????10 分 当 t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650. ???????12 分 当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650. ???????14 分 解得 t1=30,t2=40,20<t≤35,故 t=30,???????15 分 所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城. ???????16 分
19.解

(1)∵f(x)= x是[0,+∞)上的正函数,

且 f(x)= x在[0,+∞)上单调递增,???????2 分 ? a=a, ?f?a?=a, ∴当 x∈[a,b]时,? 即? ??????? 4 分 ?f?b?=b, ? b=b, 解得 a=0,b=1,故函数 f(x)的“等域区间”为[0,1].???????5 分 (2)∵函数 g(x)=x2+m 是(-∞,0)上的减函数,
2 ?g?a?=b, ?a +m=b, ∴当 x∈[a,b]时,? 即? 2 ???????6 分 ?g?b?=a, ?b +m=a,

两式相减得 a2-b2=b-a,即 b=-(a+1),???????7 分 1 代入 a2+m=b,得 a2+a+m+1=0,则其对称轴为 a=-2. 1 由 a<b<0,且 b=-(a+1)<0,得-1<a<-2,
???????9 分

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1? ? 故关于 a 的方程 a2+a+m+1=0 在区间?-1,-2?内有实数解,?????10 分 ? ? 记 h(a)=a2+a+m+1, h?-1?>0, ? ? 则? ? 1? h?- ?<0, ? ? ? 2?

???????12 分

3? ? 解得 m∈?-1,-4?.???????13 分 ? ? 3? ? 故存在 m∈?-1,-4?,使得函数 g(x)=x2+m 是(-∞,0)上的正函数. ??14 分 ? ?
20.解:(1) ,

.???????1



类比函数

的图像,可知函数

的图像的对称中心是

.?????3



又函数

的图像的对称中心是



??????? 4 分

(2)由(1)知,



依据题意,对任意 若 ,则

,恒有



,符合题意.???????5





,当

时,对任意

,恒有

,不符合题意.

???????7 分
.????9

所以

,函数



上是单调递减函数,且满足



因此,当且仅当

,即

时符合题意. 高二(文科)数学试卷 第 7 页 共 8 页

综上,所求实数

的范围是

.???????10



(3)依据题设,有

解得

???????12 分

于是,





,???????14



解得



因此,



考察函数 所以,所求负实数

,可知该函数在 的取值范围是

是增函数,故



.???????16



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