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2015年广东省韶关市高考模拟数学试卷(文科)解析


2015 年广东省韶关市高考模拟数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1. (5 分) (2014?韶关模拟) 设集合 U={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪ (?UB)等于( ) A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 2. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=( ) A.1 B. C. D.3 3. (5 分) (2014?韶关模拟) 下列函数中, 既是奇函数又在 (0, + ∞) 单调递增的函数是 ( ) ﹣1 3 x A.y=x B.y=e C.y=x D.y=lnx 4. (5 分) (2014?韶关模拟)如图所示,该程序运行后输出的结果为( )

A.4 B.6 C.8 D.10 5. (5 分) (2015?青岛一模)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶 统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.5 和 1.6 B.85 和 1.6 C.85 和 0.4 6. (5 分) (2012?广东)在△ ABC 中,若∠ A=60°,∠ B=45°, A. B. C.

D.5 和 0.4 ,则 AC=( D.



7. (5 分) (2014?韶关模拟)已知向量 于( A.1 ) B. C.4



,若

,则



D.2

8. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y

的最大值( A.2

) B.3 C.4
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D.5

9. (5 分) (2014?韶关模拟) 设 l 为直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是 ( A.若 l∥ α,l∥ β,则 α∥ β B. 若 α⊥ β,l∥ α,则 l⊥ β C. 若 l⊥ α,l∥ β,则 α∥ β D.若 l⊥ α,l⊥ β,则 α∥ β 10. (5 分) (2014?韶关模拟)下列命题中是假命题的个数是( ) ① ?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ; 2 ② ?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③ 若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”是“ ⊥ ”的充要条件; ④ 若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A.0 B.1 C.2 D.3 二.填空题(一)必做题(11~13 题) 11. (5 分) (2014?韶关模拟)函数 y=lg(x +2x﹣3)的定义域是 间表示) 12. (5 分) (2014?韶关模拟)如图,已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 焦点重合,过抛物线焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=3,则 p= 直线 AB 斜率等于 .
2 2 x



. (结果用区
2

﹣y =1 的右 ;

13. (5 分) (2014?韶关模拟)已知各项不为零的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列 {bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b5b9= . (二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分) (2014?韶关模拟)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,点 Q 的 坐标为(2, ) ,则点 Q 到 l 的距离 d 为 .

2

【几何证明选讲选做题】 15. (2014?韶关模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB=1:2,△ AEF 的面积为 1cm , 2 则平行四边形 ABCD 的面积为 cm .
2

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三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (12 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)= sinx+cosx (x∈R) (1)求 f( )的值; , ]上的最大值和最小值及相应的 x 值.

(2)求 f(x)在区间[﹣

17. (12 分) (2014?韶关模拟)2014 年春节期间,高速公路车辆剧增,高速公路管理测控中 心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽 取 40 辆进行电子测速调查,将它们的车速(km/h)分成六段[80,85) ,[85,90) ,[90,95) , [95,100) ,[100,105) ,[105,110)后得到如图的频率分布直图. (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆 数的概率.参考数据: 82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

18. (14 分) (2014?韶关模拟)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形,AB=1, AA1=2,线段 B1D1 上有两个点 E,F. (1)证明:AC⊥ B1D1; (2)证明:EF∥ 平面 ABCD; (3)若 E,F 是线段 B1D1 上的点,且 EF= ,求三棱锥 A﹣BEF 的体积.

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19. (14 分) (2014?韶关模拟)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e=



直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直 线 MA1,MA2 的斜率分别为 ,证明 为定值.

20. (14 分) (2014?韶关模拟) 已知数列{an}的首项 a1=1, 前 n 项和为 Sn, an+1=2Sn+1, n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an+1,求数列{ }的前 n 项和 Tn,并证明:1≤Tn< .

*

21. (14 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)=blnx,g(x)=ax ﹣x(a∈R) . (1)若曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)若 b=1,设函数 u(x)=g(x)﹣f(x) ,试讨论函数 u(x)的单调性; (3)若 a=1,b>2e,求方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内实根的个数(其中 e 为 自然对数的底数) .
b

2

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2015 年广东省韶关市高考模拟数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1. (5 分) (2014?韶关模拟)设集合 U={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1, 2},则 A∪ (?UB)等于( ) A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的并集即可. 解答: 解:∵ 集合 U={﹣2,﹣1,0,1,2},B={﹣2,﹣1,2},
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∴ ?UB={0,1}, ∵ A={1,2}, 则 A∪ (?UB)={0,1,2}. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=( A.1 B. C. D.3 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论. 解答: 解:∵ z=i(2﹣i)=2i+1,
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∴ |z|=



故选:C. 点评: 本题主要考查复数的有关概念的计算,比较基础. 3. (5 分) (2014?韶关模拟) 下列函数中, 既是奇函数又在 (0, + ∞) 单调递增的函数是 ( ﹣ A.y=x3 B.y=ex C.y=x 1 D.y=lnx 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶数和单调性的性质即可得到结论. 3 解答: 解:A 选项中,函数 y=x 是奇函数又在(0,+∞)单调递增; x B 选项中,y=e 是非奇非偶函数; ﹣1 C 选项中,y=x 是奇函数,但在(0,+∞)上是减函数; D 选项中,y=lnx 是非奇非偶函数. 故选:A.
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点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性 的性质. 4. (5 分) (2014?韶关模拟)如图所示,该程序运行后输出的结果为( )

A.4

B.6

C.8

D.10

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件,跳出循环,计算输出 S 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 S=0+2=2,i=6﹣1=5; 第二次循环 S=2+2=4,i=5﹣1=4; 第三次循环 S=4+2=6,i=4﹣1=3; 满足条件 i≤3,跳出循环,输出 S=6. 故选:B. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图, 根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问 题的常用方法.
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5. (5 分) (2015?青岛一模)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶 统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.5 和 1.6

B.85 和 1.6

C.85 和 0.4

D.5 和 0.4

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 图表型. 分析: 根据均值与方差的计算公式,分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可. 解答: 解:根据题意可得:评委为某选手打出的分数还剩 84,84,84,86,87,
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所以所剩数据的平均数为

=85,
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所剩数据的方差为 [(84﹣85) +(84﹣85) +(86﹣85) +(84﹣85) +(87﹣85) ]=1.6. 故选 B. 点评: 本题考查茎叶图、平均数和方差,对于一组数据通常要求的是这组数据的众数,中位 数,平均数,方差,它们分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或 填空题. 6. (5 分) (2012?广东)在△ ABC 中,若∠ A=60°,∠ B=45°, A. B. C. ,则 AC=( D. )
2

2

2

2

2

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 结合已知,根据正弦定理,
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可求 AC ,

解答: 解:根据正弦定理,



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题

7. (5 分) (2014?韶关模拟)已知向量 于( A.1 ) B. C.4



,若

,则



D.2

考点: 向量的模;平行向量与共线向量. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由两向量共线,建立关于 x 的方程求出 x,即可得到向量 的坐标,再由求模公式求
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模即可 解答: 解:由题意向量 ∴ x ﹣3=0,故 x=± ∴ = = =2
2



,若



故选 D 点评: 本题考查求向量的模,求解的关系是根据向量共线的条件求出向量的坐标,以及熟练 掌握向量模的坐标表示,用其求模

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8. (5 分) (2014?韶关模拟)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y

的最大值( A.2

) B.3 C.4 D.5

考点: 简单线性规划. 专题: 作图题;不等式的解法及应用. 分析: 根据目标函数的解析式形式,分析目标函数的几何意义,然后判断目标函数取得最优 解的点的坐标,即可求解 解答:
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解:作出不等式组

表示的平面区域,如图所示

由 z=2x﹣3y 可得 y= x﹣ z, 则﹣ z 表示直线 z=2x﹣3y 在 y 轴上的截距, 截距越小, z 越大 由 故选:A. 可得 A(1,0) ,此时 z 最大为 2×1﹣3×0=2.

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的计算能力,考查数形结合的数学思想. 9. (5 分) (2014?韶关模拟) 设 l 为直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是 ( A.若 l∥ α,l∥ β,则 α∥ β B. 若 α⊥ β,l∥ α,则 l⊥ β C. 若 l⊥ α,l∥ β,则 α∥ β D.若 l⊥ α,l⊥ β,则 α∥ β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 l∥ α,l∥ β,则 α 与 β 相交或平行,故 A 错误; 若 α⊥ β,l∥ α,则 l 与 β 相交、平行或 l?β,故 B 错误;
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若 α⊥ β,l∥ α,则 l 与 β 相交、平行或 l?β,故 C 错误; 若 l⊥ α,l⊥ β, 则由平面与平面平行的判定定理知 α∥ β,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要注意空间思维能力的培养. 10. (5 分) (2014?韶关模拟)下列命题中是假命题的个数是( ① ?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ; 2 ② ?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 )

③ 若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”是“ ⊥ ”的充要条件; ④ 若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: ① 可举 β=0,即可判断; ② 令 f(x)=0,由 a>0,通过判别式为 1+4a>0 即可判断;
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x

③ 将| + |=| ﹣ |两边平方,化简,再由向量垂直的条件得 ⊥ ,由充分必要条件的定 义即可判断; x x ④ 若函数 f(x)=|2 ﹣1|,当 0<x<1 时,f(x)=2 ﹣1,函数为增函数,由函数的单 调性的定义,即可判断. 解答: 解:① 可举 β=0,则 cos(α+β)=cosα+sinβ 成立,故① 对; ② 令 f(x)=0,则 ln x+lnx﹣a=0,判别式为 1+4a,a>0,即判别式大于 0,故方程有 实根,故② 对; ③ 若 , 是两个非零向量, 则“| + |=| ﹣ |”?“ ? ,故③ 对;
x x 2

”?

④ 若函数 f(x)=|2 ﹣1|,当 0<x<1 时,f(x)=2 ﹣1,函数为增函数,故④ 错. 故假命题的个数为 1. 故选 B. 点评: 本题考查简易逻辑的基础知识,考查存在性命题和全称性命题的真假,注意运用举反 例,同时考查函数的单调性,属于基础题. 二.填空题(一)必做题(11~13 题) 2 11. (5 分) (2014?韶关模拟) 函数 y=lg (x +2x﹣3) 的定义域是 (﹣∞, ﹣3) ∪ (1, +∞) . (结 果用区间表示) 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 2 解答: 解:要使函数 f(x)有意义,则 x +2x﹣3>0,解得 x>1 或 x<﹣3,
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故函数的定义域为(﹣∞,﹣3)∪ (1,+∞) , 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪ (1,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域求法,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
2 2

12. (5 分) (2014?韶关模拟)如图,已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线

﹣y =1 的右

焦点重合,过抛物线焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=3,则 p= 4 ;直线 AB 斜率等于 ﹣2 .

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 求出双曲线 ﹣y =1 的右焦点,可得 p 与抛物线方程,利用抛物线的定义,可得 A
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的坐标,即可求出直线 AB 斜率. 解答: 2 2 解:双曲线 ﹣y =1 的右焦点为(2,0) ,∴ 抛物线方程为 y =8x,p=4. ∵ |AF|=3,∴ xA+2=3,∴ xA=1 代入抛物线方程可得 yA=±2 ∵ 点 A 在 x 轴上方,∴ A(1,2 ∴ 直线 AB 斜率等于 =﹣2

) , .

故答案为:4,﹣2 . 点评: 本题考查抛物线、双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 13. (5 分) (2014?韶关模拟)已知各项不为零的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列 {bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b5b9= 16 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由等差数列的性质可得 a7 =2(a11+a3)=4a7,结合题意可得 b7=a7=4,再由等比数列 2 的性质可得 b5b9=b7 ,代值计算可得. 2 2 解答: 解:∵ 2a3﹣a7 +2a11=0,∴ a7 =2(a11+a3) 2 由等差数列的性质可得 a7 =2(a11+a3)=4a7, 解得 a7=4,或 a7=0 ∵ 等差数列{an}的各项不为零, ∴ a7=4,∴ b7=a7=4,
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2

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由等比数列的性质可得 16 故答案为:16 点评: 本题考查等差数列和等比数列的性质,属中档题. (二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分) (2014?韶关模拟)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,点 Q 的 坐标为(2, ) ,则点 Q 到 l 的距离 d 为 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用 分别把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得
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出. 解答: 解:直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,化直角坐标方程 x+y=1. 点 Q 的坐标为(2, ∴ 点 Q 到 l 的距离 d= 故答案为: . ) ,化为 = . =1,yQ= = .∴ Q .

点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法、点到直线的距离公式,考查了计算能力,属 于基础题. 【几何证明选讲选做题】 15. (2014?韶关模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AE:EB=1:2,△ AEF 的面积为 1cm , 2 则平行四边形 ABCD 的面积为 24 cm .
2

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 演绎法. 分析: 由四边形 ABCD 为平行四边形, 易判断出△ AEF 与△ CDF 相似, 进而可得△ AEF 与△ ABC 2 的面积的比,结合△ AEF 的面积等于 1cm ,即可求出平行四边形 ABCD 的面积. 解答: 解:∵ AE∥ CD,∴ △ AEF∽ △ CDF, ∴ AE:CD=AF:CF, ∵ AE:EB=1:2, ∴ AE:AB=AE:CD=1:3, ∴ AF:CF=1:3, ∴ AF:AC=1:4, ∴ △ AEF 与△ ABC 的高的比为 1:4,
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∴ △ AEF 与△ ABC 的面积的比为 1:12, ∴ △ AEF 与平行四边形 ABCD 的面积的比为 1:24, 2 ∵ △ AEF 的面积等于 1cm , 2 ∴ 平行四边形 ABCD 的面积等于 24cm . 故答案为:24. 点评: 本题考查相似三角形的判定,考查平行四边形面积的计算,判断出△ AEF 与△ CDF 相 似,确定△ AEF 与△ ABC 的面积的比是关键. 三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (12 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)= sinx+cosx (x∈R) (1)求 f( )的值; , ]上的最大值和最小值及相应的 x 值.

(2)求 f(x)在区间[﹣

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和差的正弦公式即可得出; (2)利用(1)的结论和正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解(1)函数 f(x)= sinx+cosx=
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=



∴ f(

)= , ],∴

=2sinπ=0. ,∴ 时,f(x)max=2. 时,f(x)min= . ,

(2)∵ x∈[﹣ 从而当 而当

时,即 x= ,即

点评: 本题考查了两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性,属于基础题. 17. (12 分) (2014?韶关模拟)2014 年春节期间,高速公路车辆剧增,高速公路管理测控中 心在一特定位置从七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽 取 40 辆进行电子测速调查,将它们的车速(km/h)分成六段[80,85) ,[85,90) ,[90,95) , [95,100) ,[100,105) ,[105,110)后得到如图的频率分布直图. (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆 数的概率.参考数据: 82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

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考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样;根据中位数的左、右两边小矩 形的面积相等求中位数; (2)利用频数=频率×样本容量分别求得车速在[80,85)的车辆数和车速在[85,90) 车辆数,用列举法写出从这 6 辆车中随机抽取 2 辆的所有基本事件,找出抽出的 2 辆 车中车速在[85,90)的基本事件,利用个数比求概率. 解答: 解: (1)根据“某段高速公路的车速分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司 在采样中,用到的是系统抽样方法. ( 注意每间隔 50 辆就抽取一辆这一条件) 平均数的估计值为: (82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02)×5=97. (2)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为 0.01×5×40=2(辆) ,分别记为 m,n; 车速在[85,90)车辆数为 0.02×5×40=4(辆) ,分别记为 A,B,C,D, 从这 6 辆车中随机抽取 2 辆共有 mn,mA,mB,mC,mD,nA,nB,nC,nD,AB, AC,AD,BC,BD,CD 共 15 种情况,抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数
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AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种,故所求的概率 P=



点评: 本题考查了由频率分布直方图求中位数及频数,考查了古典概型的概率计算,利用列 举法求基本事件个数,是进行古典概型概率计算的常用方法. 18. (14 分) (2014?韶关模拟)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形,AB=1, AA1=2,线段 B1D1 上有两个点 E,F. (1)证明:AC⊥ B1D1; (2)证明:EF∥ 平面 ABCD; (3)若 E,F 是线段 B1D1 上的点,且 EF= ,求三棱锥 A﹣BEF 的体积.

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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判 定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 AC⊥ 平面 BDD1B1,即可证明 AC⊥ B1D1;
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(2)根据平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1,即可证明 EF∥ 平面 ABCD; (3)证明 AO⊥ 平面 BEF,即可求三棱锥 A﹣BEF 的体积. 解答: (1)证明:在 ABCD﹣A1B1C1D1 中,连接 BD, 因为底面 ABCD 是正方形 所以 AC⊥ BD…(1 分) 又 DD1⊥ 平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以 DD1⊥ AC…(3 分) 又 BD∩ DD1=D, 所以 AC⊥ 平面 BDD1B1, 又 B1D1?平面 BDD1B1, 所以 AC⊥ B1D1;…(5 分) (2)证明:在 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1, 因为 EF?平面 A1B1C1D1, 所以 EF∥ 平面 ABCD;…(10 分) (3)解:设 AC 与 BD 交于点 O,由(1)可知 AO⊥ 平面 BDD1B1, 即 AO⊥ 平面 BEF 所以 AO 是三棱锥 A﹣BEF 的高,且 AO= AC= 所以 VA﹣BEF= = …(14 分) …(12 分)

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查线面平行,考查锥体体积的计算,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题.

19. (14 分) (2014?韶关模拟)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e=



直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直 线 MA1,MA2 的斜率分别为 ,证明 为定值.

考点: 圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)设椭圆的方程,利用离心率 ,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的
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短半轴为半径的圆 O 相切,确定几何量,从而可得椭圆的方程; (Ⅱ )利用 M 点在椭圆上,计算斜率,化简即可得到结论. 解答: (I)解:设椭圆的方程为

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∵ 离心率

,∴ a =3c ,∴ b =2c

2

2

2

2

∵ 直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切 ∴ b= ∴ c =1 2 ∴ a =3 ∴ 椭圆的方程为 ; ,0) ,A2( ,0) ,
2

(Ⅱ )证明:由椭圆方程得 A1(﹣ 设 M 点坐标(x0,y0) ,则 ∴



=

×

=

=

=﹣



是定值﹣ 是定值.

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,考查斜率的计算,考查学生的计算能 力,属于中档题. 20. (14 分) (2014?韶关模拟) 已知数列{an}的首项 a1=1, 前 n 项和为 Sn, an+1=2Sn+1, n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an+1,求数列{ }的前 n 项和 Tn,并证明:1≤Tn< .
*

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据数列的项和和之间的关系,即可求数列{an}的通项公式;
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(2)求出 bn=log3an+1 的通项公式,利用错位相减法即可求数列{ 并证明:1≤Tn< . 解答: 解: (1)由题意得 an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,n≥2, 两式相减得 an+1﹣an+1=2Sn﹣2Sn﹣1=an+1=2an, 则 an+1=3an,n≥2, 所以当 n≥2 时,{an}是以 3 为公比的等比数列.

}的前 n 项和 Tn,

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因为 a2=2S1+1=2+1=3,



所以,

=3,对任意正整数成立
n﹣1

{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列.
n

(2)由(1 得知 an=3 = =n?( )

,bn=log3an+1=log33 =n,

n﹣1


n﹣1

Tn=1+2× +3?( ) +…+n?( )
2

2


n﹣1

Tn= +2?( ) +…+(n﹣1)?( )

+n?( )

n



① ﹣② 得 Tn=1+ +( ) +…+( )

2

n﹣1

﹣n?( ) =

n

﹣n?( ) ,

n

所以 Tn= ﹣( + 因为( +

)?( ) ,
n

n

)?( ) >0, )?( ) < , ,所以数列{Tn}单调递增,所以 Tn 的最小值为 T1=1,
n

所以 Tn= ﹣( + 又因为 Tn+1﹣Tn= 所以 1≤Tn< .

点评: 本题主要考查递推数列的应用,以及数列求和,利用错位相减法是解决本题的关键, 综合性较强,运算量较大. 21. (14 分) (2014?韶关模拟)已知函数 f(x)=blnx,g(x)=ax ﹣x(a∈R) . (1)若曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)若 b=1,设函数 u(x)=g(x)﹣f(x) ,试讨论函数 u(x)的单调性; b (3)若 a=1,b>2e,求方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内实根的个数(其中 e 为 自然对数的底数) . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义可得切线的斜率,曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)
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2

处有相同的切线,可得

,解出即可;

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(2)b=1 时,u(x)=g(x)﹣f(x)=ax ﹣x﹣lnx(x> 0). = .对 a 分类讨论:当 a=0 时,

2

<0,即可得出单调性; 当 a≠0 时,令 u′ (x)=0,即 2ax ﹣x﹣1=0…(*) ,△ =1+8a.对△ 分类讨论:当△ ≤ 0, 当△ >0,利用求根公式即可得出; 2 b (3)当 a=1,b>2e,设 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣x=blnx﹣x ,x∈(1,e ) .令 h′ (x) =0, 解得 与 解答: 解: (1) , 当 x>1 时, 利用导数研究其零点的个数即可. ,g′ (x)=2ax﹣1. , . 分区间
2



,即
2

,解得



(2)b=1 时,u(x)=g(x)﹣f(x)=ax ﹣x﹣lnx(x> 0). ① 当 a=0 时, = . <0,∴ 函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减;
2

② 当 a≠0 时,令 u′ (x)=0,即 2ax ﹣x﹣1=0…(*) ,△ =1+8a. 当△ ≤0,即 单调递减; 当△ >0,即 当 时,方程(*)的解为:x1= ,x2= . 时,2ax ﹣x﹣1≤0,即 u′ (x)≤0,∴ 函数 u(x)在(0,+∞)上
2

时,x1<0,x2<0,则函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减;

当 a>0 时,x1<0,x2>0,则函数 u(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增; 综上所述:当 a≤0 时,函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减; 当 a>0 时,函数 u(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增. 2 b (3)当 a=1,b>2e,设 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣x=blnx﹣x ,x∈(1,e ) . ,令 h′ (x)=0,解得 ,∴ x h′ (x)+ 0 ﹣
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,当 x>1 时,



h(x) 单调递增 ∴ h 极大值= =

极大单调递减 >0. 上有一个根.

又∵ h(1)=﹣1 方程在
b b b

h(e )=(b﹣e ) (b+e ) , x x 设 t(x)=e ﹣x(x∈(2e,+∞) ,t′ (x)=e ﹣1>0,∴ t(x)在(2e,+∞)上单调递 增, t(x)>t(2e)>0.e >x,∴ h(e )<0,方程在
b x b

上有一个实数根.

方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内有两个实根. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义,考查了分类讨 论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;maths;清风慕竹;minqi5;吕静;xintrl;qiss; zlzhan;双曲线;刘长柏;lincy;孙佑中;whgcn(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 9 日

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