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第五讲 函数的值域及二次函数的最值


第五讲
一、求函数的最值 1、换元法 例 1、求函数 y = x +

函数的最值及二次函数的值域 函数的最值及二次函数的值域 最值及二次函数

例 4、已知函数 y = 1 ? x +

x + 3 的最大值为 M,最小值为 m,则

m 的值为 M



x ? 1 的值域
方法总结:

方法总结:

4、判别式法 例 5、求函数 y =

2、分离常数法 例 2、求函数 y =

x 2 ? 3x + 4 的最大值和最小值 x 2 + 3x + 4

3x + 1 的值域 2x ? 5

方法总结:

方法总结:

5、数形结合 例 6、对 a, b ∈ R ,记 max a, b = ? 是 。

例 3、求函数 y =

x + 3x + 5 的值域 x +1
2

?a , a ≥ b ,函数 f ( x ) = max x + 1 , x ? 2 ( x ∈ R ) 的最小值 ?b, a ? b

方法总结: 方法总结: 3、平方法

二、二次函数的值域及二次方程根的分布 例 7、求下列函数的值域 (1) y = x 2 ? 2 x, x ∈ [1,2]

例 8、 (2009 江苏徐州一摸)方程 x ? mx + 1 = 0 的两根为 α , β ,且 α ? 0,1 ? β ? 2 ,则实数
2

m 的取值范围是



方法总结:

第四讲尾声: 第四讲尾声: (2) y = x 2 ? 2 x, x ∈ [t , t + 2] 例 6、 (2010 年衡水调研)设直线 x=1 是函数 f (x ) 的图象的一条对称轴,对于任意 x ∈ R ,

f ( x + 2) = ? f ( x) ,当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = x 3 。
(1)证明: f (x ) 是奇函数 (2)当 x ∈ [3,7 ] 时,求函数 f (x ) 的解析式。

2 (3) y = x + 3t + 1, x ∈ [1,2]

例 7、 (2010 湖北孝感一摸)已知函数 f ( x ) =

2a + 1 1 ? 2 ,常数 a ? 0 a a x

(1)设 mn ? 0 ,证明:函数 f (x ) 在 [m, n ] 上单调递增。 (2)设 0 ? m ? n ,且 f (x ) 的定义域和值域都是 [m, n ] ,求 n-m 的最大值。 方法总结:


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