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黑龙江省哈师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


黑龙江省哈师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (理 科)
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 A.(﹣2,﹣1) B={x||x﹣1|<3},则 A∩B=() B.[1,4) C.(﹣2,﹣1)∪[1,4) D. (﹣2,4)

2. (5 分)下列函数在(1,+∞)上为增函数的是() A.y=﹣|x﹣1| B.y=x+ C.y= D.y=x(2﹣x)

3. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,2 >0 ?x∈R,tanx=2
x﹣1

B.?x∈N , (x﹣1) >0 C.

*

2

?x∈R,lgx<1 D.

4. (5 分)已知点 P 在角 A. C.

的终边上,且|OP|=4,则 P 点的坐标为 () B. D.

5. (5 分)函数 y= A.(0,1]

(x≥3)的值域是() B.[﹣1,0) C.[﹣1,+∞) () C.b>a>c D.c>b>a D.(﹣∞,﹣1]

6. (5 分)设 a=log0.34,b=log0.30.2, A.a>b>c B.b>c>a

7. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(﹣1)=0,且在区间[0,+∞)上为减函数,不等式 f(log2x) >0 的解集为() A.(﹣1,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. D.

8. (5 分)已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ) (ω>0) ,若 最小值为() A.2



,则 ω 的

B. 4

C. 6 ,则 tan2θ 值为() C.

D.8

9. (5 分)已知 sinθ+cosθ= A. B.

D.

10. (5 分)f(x) ,g(x)都是定义在 R 上且不恒为 0 的函数,下列说法不正确的是() A.若 f(x)为奇函数,则 y=|f(x)|为偶函数 B. 若 f(x)为偶函数,则 y=﹣f(﹣x)为奇函数 C. 若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 y=f[g(x)]为偶函数 D.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 y=f(x)+g(x)非奇非偶 11. (5 分)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的一段图象如下,则 f(x)的解析式 为()

A. C.

B. D.

12. (5 分)函数 f(x)= 则 k 的取值范围() A.(1,2] B.(0,1]

,若函数 g(x)=f(x)﹣kx+k 的零点有 2 个,

C.(1,3]

D.(1,+∞)

二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) =.

14. (5 分)在△ ABC 中,

,则 cosC=.

15. (5 分)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(2x)=2f(x) ,当 x∈[1,2)时,f(x) =x ,则 f(10)=. 16. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)=ax +bx +cx(a≠0)的单调增区间为(﹣1,1) ,若方程 2 3a(f(x) ) +2bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是.
3 2 2

三.解答题: (共 70 分) 17. (10 分)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( ,π) ,sinα= .

+α)的值; ﹣2α)的值.

18. (12 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 cosA= , sinB= (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ ABC 的面积. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+1,x∈R (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数 f(x)在区间 上的最小值和最大值.

C.

20. (12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC 于点 F, FE∥CD 交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 C﹣AF﹣E 的余弦值.

21. (12 分)已知函数 f(x)是奇函数,f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) .当 x<0 时,f(x) = . (e 为自然对数的底数) .

(1)若函数 f(x)在区间(a,a+ ) (a>0)上存在极值点,求实数 a 的取值范围;

(2)如果当 x≥1 时,不等式 f(x)≥
x

恒成立,求实数 k 的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx, (k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; x (2)若方程 f(x)=log4(a?2 ﹣a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围.

黑龙江省哈师大附中 2015 届高三上学期第一次月考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 A.(﹣2,﹣1) B={x||x﹣1|<3},则 A∩B=() B.[1,4) C.(﹣2,﹣1)∪[1,4) D. (﹣2,4)

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解分式不等式化简集合 A,求解绝对值的不等式化简集合 B,然后直接利用交集运 算得答案. 解答: 解:由 ∴ ,得 x<﹣1 或 x≥1. ={x|x<﹣1 或 x≥1}.

B={x||x﹣1|<3}={x|﹣2<x<4}, 则 A∩B=(﹣2,﹣1)∪[1,4) . 故选:C. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了分式不等式和绝对值不等式的解法,是基础题. 2. (5 分)下列函数在(1,+∞)上为增函数的是() A.y=﹣|x﹣1| B.y=x+ C.y= D.y=x(2﹣x)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 举反例说明 A,B 在(1,+∞)上不是增函数,由二次函数的性质说明 y=x(2﹣x) 在(1,+∞)上不是增函数,利用函数单调性的定义证明函数 y= 数. 解答: 解:对于函数 y=f(x)=﹣|x﹣1|, 在(1,+∞)上为增函

∵f(2)=﹣1,f(3)=﹣2,f(3)<f(2) , ∴y=﹣|x﹣1|在(1,+∞)上不是增函数; 对于 y=f(x)=x+ , ∵f( )= ,f( )= ,f( )<( ) ,

∴y=x+ 在(1,+∞)上不是增函数; 对于 y=x(2﹣x)=﹣x +2x,图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为 x=1, 在(1,+∞)上为减函数; 对于 y= 设 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= ,在(1,+∞)上任取两个实数 x1,x2,
2

=



∵x1,x2∈(1,+∞) ,且 x1<x2, ∴ <0,

即 f(x1)﹣f(x2)<0,f(x1)<f(x2) . ∴y= 在(1,+∞)上为增函数.

故选:C. 点评: 本题考查了函数单调性的判断与证明,关键是掌握单调性证明的步骤,是基础题. 3. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,2 >0 ?x∈R,tanx=2
x﹣1

B.?x∈N , (x﹣1) >0 C.

*

2

?x∈R,lgx<1 D.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的值域,得到 A 项正确;根据一个自然数的平方大于或等于 0,得到 B 项不正确;根据对数的定义与运算,得到 C 项正确;根据正弦函数 y=tanx 的值域,得 D 项正 确.由此可得本题的答案. t 解答: 解:∵指数函数 y=2 的值域为(0,+∞) x﹣1 ∴任意 x∈R,均可得到 2 >0 成立,故 A 项正确; * 2 ∵当 x∈N 时,x﹣1∈N,可得(x﹣1) ≥0,当且仅当 x=1 时等号 * 2 ∴存在 x∈N ,使(x﹣1) >0 不成立,故 B 项不正确; ∵当 x=1 时,lgx=0<1 ∴存在 x∈R,使得 lgx<1 成立,故 C 项正确;

∵正切函数 y=tanx 的值域为 R ∴存在锐角 x,使得 tanx=2 成立,故 D 项正确 综上所述,只有 B 项是假命题 故选:B 点评: 本题给出含有量词的几个命题,要求找出其中的假命题.着重考查了基本初等函数 的值域、对数的运算和不等式的性质等知识,属于基础题.

4. (5 分)已知点 P 在角 A. C.

的终边上,且|OP|=4,则 P 点的坐标为 () B. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义. 三角函数的求值. 根据三角函数的定义和题意分别求出 P 点的横坐标、纵坐标即可. 解:设 P 点的坐标为 (x,y) ,由三角函数的定义得, =4×(﹣ )=﹣2,y=|OP|sin =4× =﹣2 ,

x=|OP|cos

则 P(﹣2,﹣2 ) , 故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的定义的应用,属于基础题.

5. (5 分)函数 y= A.(0,1]

(x≥3)的值域是() B.[﹣1,0) C.[﹣1,+∞) D.(﹣∞,﹣1]

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据符合函数的单调性得到函数为增函数,问题得以解决. 解答: 解:设 g(x)= =1+ ,x≥3,

因为函数 g(x)为减函数,g(x)max=g(3)=2, 所以 g(x)=1+ 又因为 y= 所以 y= 所以 ymin= >1,

x 为减函数, g(x)为增函数, 2=﹣1,ymax=0,

故函数的值域为[﹣1,0)

故选:C. 点评: 本题主要考查了复合函数的单调性,属于基础题.

6. (5 分)设 a=log0.34,b=log0.30.2, A.a>b>c B.b>c>a

() C.b>a>c D.c>b>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数和对数的性质即可判断 解答: 解:由指数和对数函数的性质得:
x

<1,b=log0.30.2>1,

而 y=log0.3 为底数是 0.3<1 的对数函数且是减函数, 0.2 4 由 4>0.2 得到,log0.3 >log0.3 , 所以 b>c>a, 故选:B 点评: 考查学生灵活运用指数和对数函数的性质及利用对数函数的增减性比较大小,学生 做题时应利用函数思想进行比较大小. 7. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(﹣1)=0,且在区间[0,+∞)上为减函数,不等式 f(log2x) >0 的解集为() A.(﹣1,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C. D.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据题意,不等式 f(log2x)>f(1) ,偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数, 转化为﹣1<log2x<1 或 log2x>﹣1,即可求出不等式 f(log2x)>0 的解集. 解答: 解:根据题意,不等式 f(log2x)>f(1) , ∵偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数, ∴转化为﹣1<log2x<1 或 log2x>﹣1, ∴ <x<2, 故选:C. 点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与 单调性的对应关系是解答的关键,本题考查到了转化的思想.

8. (5 分)已知函数 f(x)=3sin(ωx+φ) (ω>0) ,若 最小值为() A.2



,则 ω 的

B. 4

C. 6

D.8

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得 ≥ ,解得 ω 的范围即可. ,3) ,

解答: 解:由题意可知 f(x)图象的一个最高点为( 其中一个平衡位置为( ,0) ,

两者的水平距离至少为四分之一周期, ∴ ≥ ,解得 ω≥2

∴ω 的最小值为 2 故选:A 点评: 本题考查三角函数的图象和性质,得出 ≥ 是解决问题的关键,属基础题.

9. (5 分)已知 sinθ+cosθ= A. B.

,则 tan2θ 值为() C. D.

考点: 二倍角的正切. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知 sinθ+cosθ= 可求 tan2θ 的值. 解答: 解:已知 sinθ+cosθ= 有 1+sin2θ= , 解得 2sinθcosθ=﹣ ,sinθ﹣cosθ= = , , ,可得 2sinθcosθ=﹣ ,sinθ﹣cosθ= ,从而

则 tan2θ=

=

=﹣



故选:C. 点评: 本题主要考察二倍角的正切公式的应用,属于基础题. 10. (5 分)f(x) ,g(x)都是定义在 R 上且不恒为 0 的函数,下列说法不正确的是() A.若 f(x)为奇函数,则 y=|f(x)|为偶函数 B. 若 f(x)为偶函数,则 y=﹣f(﹣x)为奇函数 C. 若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 y=f[g(x)]为偶函数

D.若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 y=f(x)+g(x)非奇非偶 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇偶函数的定义分别判断解答. 解答: 解:对于 A,若 f(x)为奇函数,则|f(﹣x)|=|﹣f(x)|=|f(x)|,所以 y=|f(x)| 为偶函数;正确; 对于 B,若 f(x)为偶函数,则﹣f(﹣x)=﹣f(x) ,与 y=﹣f(﹣x)关系不确定,所以 B 错误; 对于 C,若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 f[g(﹣x)]=f[g(x)],所以 y=f[g(x)] 为偶函数;C 正确; 对于 D,若 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 f(﹣x)+g(﹣x)=﹣f(x)+g(x) ,所 以函数 y=f(x)+g(x)是非奇非偶;所以 D 正确. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的奇偶性的判断;在定义域关于原点对称的前提下,判断 f(﹣x) 与 f(x)的关系,若相等,则 f(x)是偶函数;若相反,则是奇函数. 11. (5 分)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的一段图象如下,则 f(x)的解析式 为()

A. C.

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由图象可得 A=2,由周期可得 ω=2,又图象过点( 可得. 解答: 解:由图象可得 A=2, ∴f(x)=2sin(2x+φ) , 又图象过点( ∴ ,0) ,∴2sin( +φ)=0, ,k∈Z = ﹣ ,解得 ω=2, ,0) ,可得 φ 的方程,解得 φ

+φ=kπ,解得 φ=kπ﹣

当 k=1 时,φ=

,∴f(x)=2sin(2x+

) ,

故选:C 点评: 本题考查三角函数的图象与解析式,属基础题.

12. (5 分)函数 f(x)= 则 k 的取值范围() A.(1,2] B.(0,1]

,若函数 g(x)=f(x)﹣kx+k 的零点有 2 个,

C.(1,3]

D.(1,+∞)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 题意可得函数 y=f(x)的图象和直线 y=k(x﹣1)只有 2 个交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣kx+k=0, ∴f(x)=k(x﹣1) , 令 h(x)=k(x﹣1) , 画出函数 f(x) ,g(x)的图象, 如图示:

, 直线 y=k(x﹣1)经过定点(1,0) ,斜率为 k. 当 0<x<1 时,f′(x)= >1, 当 x≥1 时,f′(x)=2﹣ ∈(﹣1,2) ,

∴1<k≤2, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的零点与方程根的关系,体现了转化的数学思想,属于中档题. 二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) = .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的诱导公式化为锐角的三角函数. 解答: 解:cos 故答案为: . =cos(4π+ )=cos =cos( )=﹣cos =﹣ ;

点评: 本题考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值;关键是熟练诱导公式. 14. (5 分)在△ ABC 中,

,则 cosC=



考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: 由 cosB 的值利用同角三角函数间的关系求出 sinB,然后再根据 sinA 的值,由 B 为 锐角,得到 A 可为锐角或钝角,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA,把所求的 cosC 利用诱导公式及两角和的余弦函数公式化简后,将各项的值代入即可求出值. 解答: 解:在△ ABC 中, 则 sinB= = , ,

由于 > ,即 sinA>sinB, 则由正弦定理,可得 a>b 即有 A>B, 而 B 为锐角,则 A 可为锐角或钝角, 则 cosA= = ,

故 cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB =﹣ × 或= × + × = + × = . .

故答案为:

点评: 本题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系,以及两角和的余弦 公式化简求值,解题的关键点是判断角的范围得到符合题意的解. 15. (5 分)定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(2x)=2f(x) ,当 x∈[1,2)时,f(x) =x ,则 f(10)=
2



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由已知中函数 f(x)满足 f(2x)=2f(x) ,可得 f(10)=2 f(5)=4f( )=8f( ) , 结合当 x∈[1,2)时,f(x)=x ,可得答案. 2 解答: 解:∵当 x∈[1,2)时,f(x)=x , ∴f( )= ,
2

又∵函数 f(x)满足 f(2x)=2f(x) , ∴f(10)=2 f(5)=4f( )=8f( )= 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是函数的值,其中根据分析出 f(10)=2 f(5)=4f( )=8f( ) , 是解答的关键. 16. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)=ax +bx +cx(a≠0)的单调增区间为(﹣1,1) ,若方程 3a(f(x) ) +2bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是 a<﹣ .
2 3 2



考点: 利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据函数的单调区间求出 a,b,c 的关系,然后利用导数研究三次函数的极值,利用 数形结合即可得到 a 的结论. 3 2 解答: 解:∵函数 f(x)=ax +bx +cx(a≠0)的单调增区间为(﹣1,1) , ∴f'(x)>0 的解集为(﹣1,1) , 即 f'(x)=3ax +2bx+c>0 的解集为(﹣1,1) , 2 ∴a<0,且 x=﹣1 和 x=1 是方程 f'(x)=3ax +2bx+c=0 的两个根, 即﹣1+1=
3 2 2





解得 b=0,c=﹣3a. ∴f(x)=ax +bx +cx=ax ﹣3ax=ax(x ﹣3) , 2 2 则方程 3a(f(x) ) +2bf(x)+c=0 等价为 3a(f(x) ) ﹣3a=0, 2 即(f(x) ) =1,即 f(x)=±1. 2 要使方程 3a(f(x) ) +2bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实根,即 f(x)=±1.各有 3 个不同的 根, ∵f(x)=ax +bx +cx=ax ﹣3ax=ax(x ﹣3) , 2 2 ∴f'(x)=3ax ﹣3a=3a(x ﹣1) , ∵a<0, ∴当 f'(x)>0 得﹣1<x<1,此时函数单调递增, 当 f'(x)<0 得 x<﹣1 或 x>1,此时函数单调递减, ∴当 x=1 时,函数取得极大值 f(1)=﹣2a, 当 x=﹣1 时,函数取得极小值 f(﹣1)=2a, 2 ∴要使使方程 3a(f(x) ) +2bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实根,即 f(x)=±1 各有 3 个不同 的根,
3 2 3 2 3 2

此时满足 f 极小(﹣1)<1<f 极大(1) ,f 极小(﹣1)<﹣1<f 极大(1) , 即 2a<1<﹣2a,且 2a<﹣1<﹣2a,



,且



解得即 a 故答案为:a

且a .



点评: 本题主要考查方程根的个数的应用,利用方程和函数之间的关系,作出函数的图象, 利用数形结合是解决本题的关键.利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点. 三.解答题: (共 70 分) 17. (10 分)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( ,π) ,sinα= .

+α)的值; ﹣2α)的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过已知条件求出 cosα,然后利用两角和的正弦函数求 sin( (2)求出 cos2α,然后利用两角差的余弦函数求 cos( 解答: 解:α∈( (1)sin( ∴sin( ,π) ,sinα= cosα+cos . .∴cosα=﹣ sinα= ﹣2α)的值. = =﹣ ; +α)的值;

+α)=sin

+α)的值为:﹣

(2)∵α∈( ∴cos( cos(

,π) ,sinα=

.∴cos2α=1﹣2sin α= ,sin2α=2sinαcosα=﹣ sin2α= =﹣ .

2

﹣2α)=cos

cos2α+sin .

﹣2α)的值为:﹣

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. 18. (12 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 cosA= , sinB= (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ ABC 的面积. 考点: 解三角形;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1) 由 A 为三角形的内角, 及 cosA 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再将已知等式的左边 sinB 中的角 B 利用三角形的内角和定理变形为 π﹣(A+C) ,利用 诱导公式得到 sinB=sin(A+C) ,再利用两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用同角三 角函数间的基本关系即可求出 tanC 的值; (2)由 tanC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosC 的值,再利用同角三角函数间 的基本关系求出 sinC 的值, 将 sinC 的值代入 sinB= cosC 中, 即可求出 sinB 的值, 由 a, sinA 及 sinC 的值,利用正弦定理求出 c 的值,最后由 a,c 及 sinB 的值,利用三角形的面积公式即 可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (1)∵A 为三角形的内角,cosA= , ∴sinA= 又 = , cosC+ sinC,

C.

cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= cosC= sinC, ; 得:cosC= = =

整理得: 则 tanC=

(2)由 tanC=

=



∴sinC= ∴sinB= cosC=

= ,



∵a=

,∴由正弦定理

=

得:c=

=

=



则 S△ ABC= acsinB= ×

×

×

=



点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦定理,三角形的面积公式,两角和 与差的正弦函数公式,诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解 本题的关键. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+1,x∈R (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)求函数 f(x)在区间 上的最小值和最大值.

考点: 二倍角的正弦;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)将函数 f(x)化简得 f(x)= (2)由函数的图象可知,f(x)在区间 当 x= 时取最大值 ,当 x= sin(2x﹣ ) .从而可求单调递增区间; , ]单调递减,

上单调递增,在[

时,取最小值﹣1.
2

解答: 解: (1)f(x)=2cosx(sinx﹣cosx)+1=2sinxcosx﹣2cos x+1=sin2x﹣cos2x= (2x﹣ 由 2kπ﹣ ) . ≤2x﹣ ≤2kπ+ 得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ , . . 上单调递增,在[ 时,取最小值﹣1, . , ]单调递减,

sin

所以,函数 f(x)的单调递增区间为: (2)函数 f(x)的单调递减区间为: 由函数的图象可知,f(x)在区间 当 x= 故 时取最大值 ,当 x=

点评: 本题主要考察二倍角的正弦和复合三角函数的单调性,属于中档题. 20. (12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC 于点 F, FE∥CD 交 PD 于点 E. (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 C﹣AF﹣E 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题;向量法;空间位置关系与距离. 分析: (1)结合已知由直线和平面垂直的判定定理可证 PC⊥平面 ADF,即得所求; (2)由已知数据求出必要的线段的长度,建立空间直角坐标系,由向量法计算即可. 解答: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥AD, 又 CD⊥AD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PCD, ∴AD⊥PC,又 AF⊥PC, ∴PC⊥平面 ADF, 即 CF⊥平面 ADF; (2)设 AB=1,在直角△ PDC 中,CD=1,∠DPC=30° 则 PC=2,PD= ,由(1)知,CF⊥DF, 则 DF= 即有 CF= 则 = ,AF= = ,

= ,又 EF∥CD, = ,则有 DE= ,

同理可得 EF= CD= , 如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,1) ,E( ,0,0) ,F( , ,0) ,P( , ,0,0) ,C(0,1,0) , ,

设 =(x,y,z)为平面 AEF 的法向量,则

则有

,令 x=4 可得 z=

,则 =(4,0,

) ,

设平面 ACF 的一个法向量为 =(k,l,r) ,则





则有

,令 l=4,可得 r=4,k=

,则 =(

,4,4) ,

设二面角 C﹣AF﹣E 的平面角为 θ,则 θ 为钝角, 则 cosθ=﹣|cos< , >|=﹣| |=﹣ .

点评: 本题考查空间直线与平面垂直的性质和判定,考查用空间向量法求二面角的余弦值, 建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键,属中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)是奇函数,f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) .当 x<0 时,f(x) = . (e 为自然对数的底数) .

(1)若函数 f(x)在区间(a,a+ ) (a>0)上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)如果当 x≥1 时,不等式 f(x)≥ 恒成立,求实数 k 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求出 x>0 时的解析式,确定 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,∞)上单 调递减,函数 f(x)在 x=1 处取得唯一的极值,利用函数 f(x)在区间(a,a+ ) (a>0)上 存在极值点,即可求实数 a 的取值范围; (2)令 ,由题意,k≤g(x)在[1,+∞)上恒成立,

求出 g(x)min=g(1)=2,即可求实数 k 的取值范围. 解答: 解:x>0 时, …(3 分)

(1)当 x>0 时,有



f'(x)>0?lnx<0?0<x<1;f'(x)<0?lnx>0?x>1 所以 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,∞)上单调递减,函数 f(x)在 x=1 处取得唯一 的极值. 由题意 a>0,且 ,解得所求实数 a 的取值范围为 …(6 分)

(2)当 x≥1 时, 令 ,由题意,k≤g(x)在[1,+∞)上恒成立 …(8

分)

令 h(x)=x﹣lnx(x≥1) ,则

,当且仅当 x=1 时取等号.

所以 h(x)=x﹣lnx 在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=1>0 因此, g(x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)min=g(1)=2.…(10

分) 所以 k≤2. 所以所求实数 k 的取值范围为(﹣∞,2]…(12 分) 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值、最值,考查恒成立问题,考查转化思想,考查 学生解决问题的能力. 22. (12 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx, (k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; x (2)若方程 f(x)=log4(a?2 ﹣a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据偶函数可知 f(x)=f(﹣x) ,取 x=﹣1 代入即可求出 k 的值; (Ⅱ)根据方程 有且只有一个实根,化简可得
x

有且只有一个实根,令 t=2 >0,则转化成新方程有且只有一个正根,结 合函数的图象讨论 a 的取值,即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (I) 由题意得 f(﹣x)=f(x) , 即 ,

x

化简得 从而 4 ∴
(2k+1)x

,…(2 分) =1,此式在 x∈R 上恒成立,

…(6 分)
x

(II)由题意,原方程化为

且 a?2 ﹣a>0

即:令 2 =t>0
2

x

…(8 分)

函数 y=(1﹣a)t +at+1 的图象过定点(0,1) , (1,2)如图所示: 若方程(1)仅有一正根,只有如图的三种情况, 2 可见:a>1,即二次函数 y=(1﹣a)t +at+1 的 开口向下都可,且该正根都大于 1,满足不等式(2) ,…(10 分) 当二次函数 y=(1﹣a)t +at+1 的开口向上, 只能是与 x 轴相切的时候, 此时 a<1 且△ =0,即 综上:a>1 或 也满足不等式(2) …(12 分)
2

点评: 本题主要考查了偶函数的性质,以及对数函数图象与性质的综合应用,同时考查了 分类讨论的思想,数形结合的思想.属于中档题.


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