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根的判别式与韦达定理

根的判别式与韦达定理(复习) 宛平中学 韩群

教学目的:掌握韦达定理与根的判别式的简单应用及综合应用; 教学重点与难点:韦达定理与根的判别式的综合应用; 教学过程: 一、 知识点复习: (生回忆,师板书) ?? ? b 2 ? 4ac? 0时 ? 方程有两个不相等的实数根 ? 1、根的判别式:△=b2-4ac: ?? ? b 2 ? 4ac ? 0时 ? 方程有两个相等的实数根 ? 2 ?? ? b ? 4ac?0时 ? 方程没有实数根 2、韦达定理:一元二次方程的一般式:ax2+bx+c=0 有两个实数根 x1、x2, 则有 x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a; 应用: (配备各种类型的小例题) (1)求值应用:x12+x22=-(x1+x2)2-2x1x2 , (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, x13+x23=-(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) ,
x1 ? x2 ?

?x1 ? x2 ?2
2 2

?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
2



x ? x2 1 1 ? ? 1 , x1 x 2 x1 x 2

?x ? x2 ? ? 2 x1 x2 x ?x 1 1 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
x1 ? x2 ?



?

x1 ? x2

?

2

? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ,

(x1+k) (x2+k)=x1x2+(x1+x2)+k2, (2)求字母系的值; (此时要验证方程有没有实数根) (3)求作新方程:以 x1、x2 为根的一元二次方程为 x2+(x1+x2)x+x1x2=0;
?x ? y ? a (4) 解方程组:? 则可以把 x、 y 看作是一元二次方程 z2-az+b=0 的两根; ? xy ? b

(5)确定根的符号:
b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ? 0 ? 若 ?x x ? c ?0 则方程有两个正根 ? 1 2 a ? ?? ? 0 ? ?
1

若 x1·x2=c/a<0,则方程两根符号相反;
b ? x ? x ? ? ?0 1 2 ? a ? c ? 若 ? x1 x 2 ? ? 0 则方程有两个负根 a ? ?? ? 0 ? ?

3、注意点: (1) 方程有实数根时, 要看一看是否是一元二次方程, 否则要分两种情况考虑; 若是一元二次方程还不能忘记考虑二次项系数不能为 0; (2) 在求字母系数的值时不要忘记检验一元二次方有没有实数根; 二、 双基训练: (可选择其中请学生板书,师巡视,讲解) 1、若 x1、x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根,则 x1+x2=;x1· x2=; 2 2、方程 x -1-3x=0 的两根之和等于;两根之积等于; 3、关于 x 的一元二次方程 x2-ax-3=0 的根的情况是; 4、以 2 和-3 为根的一元二次方程为; 5、若 x1、x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根,则(x1+x2)2=; 6、若方程 x2-2x+k=0 的两个根的倒数和为 8/3,则 k=; 7、若 x1,x2 是方程 x2+3x-5=0 的两个根,则(x1+1)(x2+1)的值为; 8、已知 a,b 是方程 x2+2x-5=0 的两个根,则 a2+ab+2a 的值为 ; 2 3 2 2 9、如果 a,b 是方程 x +x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a +a b+ab +b3 的值 等于; (注意等式的恒等变形) 10、关于 x 的一元二次方程(k2-1)x2+(2k-1)x+1=0 有两个不相等的实数根,那 么 k 的取值范围是 ; 12、 已知实数 x1,x2 是满足 x12-6x1+2=0 和 x22-6x2+2=0,那么
x 2 x1 ? 的值 x1 x 2

是 ; 13、 已知关于 x 的方程 x2-2(m-2)x+m2=0 问:是否存在实数 m,使方程的 两个实数根的平方和等于 56,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明 理由。 14、 若方程 x2+(k2-25)x+k-2=0 的两根互为相反数,求 k 的值; 四、课内小结:这一节课主要复习了根的判别式与韦达定理的应用,每一位同学 要熟练掌握韦达定理的应用。解题时,注意到“注意点” 。 五、布置作业:
2


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