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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:4-2-1 直线与圆的位置关系


一、选择题 1.(2012· 安徽卷)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共 点,则实数 a 取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] [答案] C [解析] 圆(x-a)2+y2=2 的圆心 C(a,0)到直线 x-y+1=0 的距 离为 d 则 d≤r= 2? |a+1| ≤ 2?|a+1|≤2?-3≤a≤1. 2 ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

2.圆 x2+y2-2x+4y-20=0 截直线 5x-12y+c=0 所得的弦长 为 8,则 c 的值是( A.10 C.5 或-34 [答案] B [解析] 由题意得圆心 C(1,-2),半径 r=5,圆心 C 到直线 5x |29+c| -12y+c=0 的距离 d= 13 ,又 r2=d2+42, ?29+c?2 所以 25= 132 +16,解得 c=10 或-68. 3.已知直线 ax-by+c=0(ax≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条 边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( A.是锐角三角形 C.是钝角三角形 [答案] B ) B.是直角三角形 D.不存在 ) B.10 或-68 D.-68

[解析] 圆心 O(0,0)到直线的距离 d=

|c| =1, a +b2
2

则 a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形. 4. 过点 P(2,3)引圆 x2+y2-2x+4y+4=0 的切线, 其方程是( A.x=2 B.12x-5y+9=0 C.5x-12y+26=0 D.x=2 和 12x-5y-9=0 [答案] D [解析] 点 P 在圆外,故过 P 必有两条切线, ∴选 D. 5.点 M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9 上,点 M 到直线 3x+4y-2=0 的最短距离为( A.9 C.5 [答案] D |15+12-2| [解析] 由圆心到直线的距离 d= =5>3 知直线与圆 32+42 相离,故最短距离为 d-r=5-3=2,故选 D. 6.过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦最长的 直线的方程是( ) B.3x+y-7=0 D.3x+y-5=0 ) B.8 D.2 )

A.3x-y-5=0 C.3x-y-1=0 [答案] A

[解析] x2+y2-2x+4y=0 的圆心为(1,-2),截得弦最长的直 线必过点(2,1)和圆心(1,-2)

∴直线方程为 3x-y-5=0,故选 A. 7.已知直线 x+7y=10 把圆 x2+y2=4 分成两段弧,这两段弧长 之差的绝对值等于( π A.2 C.π [答案] D [解析] 圆 x2+y2=4 的圆心为 O(0,0),半径 r=2,设直线 x+7y =10 与圆 x2+y2=4 交于 M,N 两点,则圆心 O 到直线 x+7y=10 的 距离 d= |-10| = 2, 过点 O 作 OP⊥MN 于 P, 则|MN|=2 r2-d2= 1+49 ) 2π B. 3 D.2π

2 2.在△MNO 中,|MN|2+|ON|2=2r2=8=|MN|2,则∠MON=90° , 这两段弧长之差的绝对值等于
??360-90?×π×2 90×π×2? ? - 180 ?=2π. 180 ? ?

8.设圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线 4x- 3y-2=0 的距离等于 1,则圆半径 r 的取值范围是( A.3<r<5 C.r>4 [答案] B [解析] 圆心 C(3,-5),半径为 r,圆心 C 到直线 4x-3y-2= 0 的距离 d= |12+15-2| =5,由于圆 C 上有且仅有两个点到直线 4x 42+?-3?2 B.4<r<6 D.r>5 )

-3y-2=0 的距离等于 1,则 d-1<r<d+1,所以 4<r<6. 二、填空题 9.已知直线 5x+12y+m=0 与圆 x2-2x+y2=0 相切,则 m= ________.

[答案] 8 或-18 [解析] 由题意,得圆心 C(1,0),半径 r=1,则 得 m=8 或-18. 10.(2012~2013· 北京朝阳一模)过原点且倾斜角为 60° 的直线被 圆 x2+y2-4x=0 所截得的弦长为________. [答案] 2 [解析] 直线方程是 y= 3x,即 3x-y=0,圆心 C(2,0),半径 r=2,则圆心到直线 3x-y=0 的距离 d= 截得的弦长为 2 r2-d2=2 4-3=2. 11. (2012-2013· 江苏南京模拟)设直线 l 截圆 x2+y2-2y=0 所得 1 3 弦 AB 的中点为(-2, 则直线 l 的方程为________; |AB|=________. 2), [答案] x-y+2=0 2 |2 3-0| ? 3?2+12 = 3,所以所 |5+m| =1,解 52+122

2 2 2 2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 +y1 -2y1=0,x2 +y2 -2y2

=0,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0,kAB y1-y2 3 1 = =1.故 l 的方程为 y-2=1· (x+2),即 x-y+2=0.又圆心为 x1-x2 (0,1),半径 r=1,故|AB|= 2. 12.(2012· 江西卷)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. [答案] ( 2, 2) [解析] 本题主要考查数形结合的思想,设 P(x,y),则由已知可
?x2+y2=4 ? 得 PO(O 为原点)与切线的夹角为 30° ,由|PO|=2,由? 可 ? ?x+y=2 2

? ?x= 2 得? . ? ?y= 2

三、解答题 13.已知直线 l:y=2x-2,圆 C:x2+y2+2x+4y+1=0,请判 断直线 l 与圆 C 的位置关系,若相交,则求直线 l 被圆 C 所截的线段 长. [解析] 圆心 C 为(-1,-2),半径 r=2. 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d=5 5<2, 所以直线 l 与圆 C 相交. |AB| 4 设交点为 A,B,所以 2 = r2-d2=5 5. 8 5 所以|AB|= 5 . 8 所以直线 l 被圆 C 所截的线段长为5 5. 14.已知圆经过点 A(2,-1),圆心在直线 2x+y=0 上且与直线 x-y-1=0 相切,求圆的方程. [解析] 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). ∵圆心在直线 2x+y=0 上, ∴b=-2a,即圆心为 C(a,-2a). 又∵圆与直线 x-y-1=0 相切,且过点(2,-1), ∴ |a+2a-1| =r,(2-a)2+(-1+2a)2=r2, 2

即(3a-1)2=2[(2-a)2+(-1+2a)2], 解得 a=1 或 a=9, ∴a=1, b=-2,r= 2或 a=9,b=-18,r=13 2. 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2 或(x-9)2+(y+18)2=338.

15. 已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1: x+2y+7=0 相切. 过 点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点. (1)求圆的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程. [解析] (1)设圆 A 的半径为 r, ∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, ∴r= |-1+4+7| =2 5, 5

∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时, 则直线 l 的方程为 x=-2, 此时有|MN|=2 19,即 x=-2 符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0, ∵Q 是 MN 的中点,∴AQ⊥MN, 1 ∴|AQ|2+(2|MN|)2=r2. 又∵|MN|=2 19,r=2 5, ∴|AQ|= 20-19=1, 解方程|AQ|= |k-2| 3 = 1 ,得 k = 4, k2+1

3 ∴此时直线 l 的方程为 y-0=4(x+2),即 3x-4y+6=0. 综上所得,直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. 16. 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P、 Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值.

[解析] 设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). y1 y2 由 OP⊥OQ,得 kOPkOQ=-1,即x · x =-1,x1x2+y1y2=0.①
1 2

又(x1,y1)、(x2,y2)是方程组
? ?x+2y-3=0, ? 2 的实数解,即 x1,x2 是方程 5x2+10x+ 2 ? ?x +y +x-6y+m=0

4m-27=0②的两个根, ∴x1+x2=-2,x1x2= 4m-27 5 .③

∵P、Q 是在直线 x+2y-3=0 上, 1 1 ∴y1y2=2(3-x1)· 2(3-x2) 1 =4[9-3(x1+x2)+x1x2]. 将③代入,得 y1y2= m+12 5 .④

将③④代入①,解得 m=3.代入方程②,检验 Δ>0 成立, ∴m=3.


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