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2000年第17届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案

第 17 届全国中学生物理竞赛 复赛试题 全卷共六题,总分 140 分。 一、 (20 分)在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管,管上端封闭,下端开口。已知槽中水银液面以 上的那部分玻璃管的长度 l ? 76cm , 管内封闭有 n ? 1.0 ? 10?3 mol 的空气, 保持水银槽与玻璃管都不动而 设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低 10?C ,问在此过程中管内空气放出的热量为多少?已知管外大 气的压强为 76cm 汞柱高, 每摩尔空气的内能 U ? CV T , 其中 T 为绝对温度, 常量 CV ? 20.5J ? (mol ? K )?1 , 普适气体常量 R ? 8.31J ? (mol ? K )?1 。 二、 (20 分)如图所示,在真空中有一个折射率为 n ( n ? n0 , n0 为真空的折射率) 、半径为 r 的质 地均匀的小球。 频率为? 的细激光束在真空中沿直线 BC 传播, 直线 BC 与小球球心 O 的距离为 l( l ? r ) , 光束于小球体表面的点 C 点经折射进入小球(小球成为光传播的介质) ,并于小球表面的点 D 点又经折 射进入真空。 设激光束的频率在上述两次折射后保持不变。 求在两次折射过程中激光束中一个光子对小 球作用的平均力的大小。 三、 (25 分) 1995 年, 美国费米国家实验室 CDF 实验组和 DO 实验组在质子反质子对撞机 TEVATRON 的实验中, 观察到了顶夸克, 测得它的静止质量 mt ? 1.75 ?1011 eV / c2 ? 3.1?10?25 kg , 寿命 ? ? 0.4 ? 10?24 s , 这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一。 4aS ,式中 r 是正、反顶夸克之间的距 3r k 是与单位制有关的常数, aS ? 0.12 是强相互作用耦合常数, 离, 在国际单位制中 k ? 0.319 ? 10?25 J ? m 。 (1)正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 U (r ) ? ?k 为估算正、 反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统, 可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸 引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动。 如能构成束缚态, 试用玻尔理论确定系统处于基态中正、 反顶夸克之间的距离 r0 。已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件,即 h ?r ? 2mv ? 0 ? ? n n ? 1 ,2 ,3 , ? 2 2 ? ? ? 1 ?r 式中 mv ? 0 ?2 常量。 r0 ? ?34 ? 为一个粒子的动量 mv 与其轨道半径 的乘积, n 为量子数。 h ? 6.63 ? 10 J ? s 为普朗克 2 ? (2)试求证、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期 T 。你认为正、反顶夸克的这 种束缚态能存在吗? 四、 (25 分)宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星的质 量小得很多,飞行器的速率为 v0 行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍。有人企图借助飞行器与小 行星的碰撞使飞行器飞出太阳系, 于是他便设计了如下方案: Ⅰ.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时, 突然点燃飞行器上的喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,以使飞行器获得所需的速度,沿圆 周轨道的切线方向离开圆轨道;Ⅱ.飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的方向和 小行星在该处速度的方向相同,正好可被小行星碰撞;Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰,不计燃 烧的燃料质量。 (1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系; (2)设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1 果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道 上突然点燃喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动机, 以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方 向离开圆轨道后能直接飞出太阳系。 采用这种办法时, 飞行器从发动机取得的能量的最小值用 E2 表示, E 问 1 为多少? E2 五、 (25 分)在真空中建立一坐标系,以水平向右为 x 轴正方向,竖直向下为 y 轴正方向, z 轴垂 直纸面向里,如图所示。在 0 ? y ? L 的区域内有匀强磁场, L ? 0.80m ,磁场的磁感强度的方向沿 z 轴 的正方向, 其大小 B ? 0.10T 。 今把一荷质比 q / m ? 50C ? kg ?1 的带正电质点在 x ? 0 、 y ? ?0.20m 、z ? 0 处静止释放,将带电质点过原点的时刻定为 t ? 0 时刻,求带电质点在磁场中任一时刻 t 的位置坐标。并 求它刚离开磁场时的位置和速度。取重力加速度 g ? 10m ? s ?2 。 2 六、 (25 分)普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝,由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成, B 的折射率小于 A 的折射率,光纤的端面和圆柱体的轴垂直,由一端面射入的光在很长的光纤中传播时, 在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体 F 的折射率。实验方法如 下:让光纤的一端(出射端)浸在流体 F 中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光 纤入射端面的中心 O ,经端面折射进入光纤,在光纤中传播。由点 O 出发的光束为圆锥形,已知其边 缘光线和轴的夹角为 ?0 ,如左图所示。最后光从另一端面出射进入流体 F 。在距出射端面 h1 处放置一 垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D ,在 D 上出现一圆形光斑,测出其直径为 d 1 ,然后移动光屏 D 至距光纤出 射端面 h 2 处,再测出圆形光斑的直径 d2 ,如右图所示。 (1)若已知 A 和 B 的折射率分别为 nA 与 nB ,求被测流体 F 的折射率 nF 的表达式。 (2)若 nA 、 nB 和 ?0 均为未知量,如何通过进一步的实验以测出 nF 的值? 3 参考答案 一、设玻璃管内空气柱的长度为 h ,大气压强为 p0 ,管内空气的