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2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1) 【2015 年福建,理 1,5 分】若集合 A ? ?i,i2 ,i3 ,i4 ? ( i 是虚数单位) , B ? ?1, ?1? ,则 A ? B 等于( ) (A) ??1? (B) ?1? (C) ?1, ?1? (D) ? 【答案】C 【解析】由已知得 A ? ?i, ?1, ?i,1? ,故 A ? B ? ?1, ?1? ,故选 C. (2) 【2015 年福建,理 2,5 分】下列函数为奇函数的是( (A) y ? x 【答案】D 【解析】函数 y ? x 是非奇非偶函数; y ? sin x 和 y ? cos x 是偶函数; y ? e x ? e? x 是奇函数,故选 D. (3) 【2015 年福建, 理 3, 5 分】 若双曲线 E : 则 PF2 等于( ) (B) y ? sin x ) (D) y ? e x ? e? x (C) y ? cos x

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线 E 上, 且 PF1 ? 3 , ? ? 1 的左、 9 16

(A)11 (B)9 (C)5 (D)3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ,即 3 ? PF2 ? 2a ? 6 ,解得 PF2 ? 9 ,故选 B. (4) 【2015 年福建, 理 4, 5 分】 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系, 随机调查了该社区 5 户家庭, 得到如下统计数据表: 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 收入 x (万元) 支出 y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一户收入为 15 万元家 ? ?a ? ? y ? bx ? ? bx ? ,其中 b 根据上表可得回归直线方程 y 庭年支出为( (A)11.4 万元 【答案】B ) (B)11.8 万元 (C)12.0 万元 (D)12.2 万元

【 解 析】 由已 知得 x ?

8.2 ? 8.6 ? 10.0 ? 11.3 ? 11.9 6.2 ? 7.5 ? 8.0 ? 8.5 ? 9.8 , y? ,故 ? 10 ( 万元 ) ? 8 ( 万元 ) 5 5 ? ? 8 ? 0.76 ? 10 ? 0.4 ,所以回归直线方程为 ? a y ? 0.76x ? 0.4 ,当社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 ? ,故选 B. y ? 0.76 ?15 ? 0.4 ? 11.8 (万元)

?x ? 2 y ? 0 ? (5) 【2015 年福建,理 5,5 分】若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 小值等于( ) 5 3 (A) ? (B) ?2 (C) ? (D)2 2 2 【答案】A 【解析】 画出可行域, 如图所示, 目标函数变形为 y ? 2 x ? z , 当 z 最小时, 直线 y ? 2 x ? z 的纵截距最大,
1? ? 直线 y ? 2 x 经过可行域,尽可能向上移到过点 B ? ?1, ? 时, z 取到最小值,最小值为 2? ? 1 5 z ? 2 ? ? ?1? ? ? ? ,故选 A. 2 2 (6) 【2015 年福建,理 6,5 分】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( )

故将

1

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 【答案】C 【解析】程序在执行过程中 S , i 的值依次为: S ? 0, i ? 1 ; S ? 0, i ? 2 ; S ? ?1, i ? 3 ; S ? ?1, i ? 4 ; S ? 0, i ? 5 ; S ? 0, i ? 6 ,程序结束,输出 S ? 0 ,故选 C. (7) 【2015 年福建,理 7,5 分】若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 若l ? m , 因为 m 垂直于平面 ? , 则 l / /? 或 l ? ? , 若 l / /? , 又 m 垂直于平面 ? , 则l ? m , 所以“ l ? m ” 是“ l / /? ”的必要不充分条件,故选 B. (8) 【2015 年福建,理 8,5 分】若 a , b 是函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三 个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【答案】D 【解析】由韦达定理得 a ? b ? p , a ? b ? q ,则 a ? 0, b ? 0 ,当 a, b, ?2 适当排序后成等比数列时, ?2 必为等比中 4 项,故 a ? b ? q ? 4 , b ? .当适当排序后成等差数列时, ?2 必不是等差中项,当 a 是等差中项时, a 4 4 8 解得 a ? 1, b ? 4 ; 当 是等差中项时, ? a ? 2 , 解得 a ? 4, b ? 1 , 综上所述,a ? b ? p ? 5 , 2a ? ? 2 , a a a 所以 p ? q ? 9 ,故选 D. ??? ? ???? ??? ? 1 ???? y (9) 【2015 年福建,理 9,5 分】已知 AB ? AC, AB ? , AC ? t ,若点 p 是 ?ABC 所在 t ??? ? ???? C ??? ? ??? ? ??? ? AB 4 AC 平面内一点,且 AP ? ??? ? ? ???? ,则 PB ? PC 的最大值等于( ) P AB AC (A)13 【答案】A (B)15 (C)19 (D)21
A

B

x

??? ? ?1 ? 【解析】以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则 B ? , 0 ? , C ? 0, t ? , AP ? ?1,0? ? 4 ? 0,1? ? ?1,4? , ?t ? ??? ? ?1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? ?1 ? 即 P ?1, 4? ,所以 PB ? ? ? 1, ? 4? , PC ? ? ?1, t ? 4? ,因此 PB ? PC ? 1 ? ? 4t ? 16 ? 17 ? ? ? 4t ? ,因为 t t t ? ? ? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 ? 4t ? 2 ? 4t ? 4 ,所以当 ? 4t ,即 t ? 时取等号, PB ? PC 的最大值等于 13,故选 A. t t t 2 (10) 【2015 年福建, 理 10, 5 分】 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0 ? ? ?1, 其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,
则下列结论中一定错误的是( ) 1 1 k ?1? 1 ?1? ? 1 ? ? 1 ? (A) f ? ? ? (B) f ? ? ? (C) f ? (D) f ? ?? ?? ?k? k ? k ? k ?1 ? k ?1? k ?1 ? k ?1? k ?1 【答案】C 【解析】由已知条件,构造函数 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ,则 g ? ? x? ? f ? ? x? ? k ? 0 ,故函数 g ? x ? 在 R 上单调递增,且
k 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 , f ? ,所以结论中一定错误的是 ? 0 ,故 g ? ? ? g ? 0 ? ,所以 f ? ?? ?? k ?1 ? k ?1? ? k ?1? k ?1 ? k ?1? k ?1 C, 选项 D 不确定; 构造函数 h ? x ? ? f ? x ? ? x , 则 h? ? x ? ? f ? ? x ? ? 1 ? 0 , 所以函数 h ? x ? 在 R 上单调递增,



1 ?1? ? 0 ,所以 h ? ? ? h ? 0 ? ,即 k ?k?

?1? 1 f ? ? ? ? ?1 , ?k? k

?1? 1 f ? ? ? ? 1 ,选项 A,B 无法判断,故选 C. ?k? k

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. (11) 【2015 年福建,理 11,5 分】 ? x ? 2? 的展开式中, x2 的系数等于
5

(用数字填写答案) .

【答案】80 2

2 3 2 【解析】 ? x ? 2? 的展开式中 x2 项为 C5 2 x ? 80 ,所以 x2 的系数等于 80.

5

(12) 【2015 年福建,理 12,5 分】若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5 , AC ? 8 ,则 BC 等于 . 【答案】7 3 1 ? ? ?? 【解析】 由已知得 ?ABC 的面积为 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 , 所以 sin A ? ,A ? ? 0, ? , 所以 A ? . 由 2 2 3 ? 2? 余弦定理得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 , BC ? 7 . (13) 【2015 年福建,理 13,5 分】如图,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? ,函数 f ? x ? ? x 2 , 若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等 5 【答案】 12
2



5 5 7 5 【解析】由已知得阴影部分面积为 4 ? ? x2 dx ? 4 ? ? .所以此点取自阴影部分的概率等于 3 ? . 1 4 12 3 3 ? x ? 6, x ? 2 ? (14) 【2015 年福建,理 14,5 分】若函数 f ? x ? ? ? ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ?? ? ,则实数 a 的 ?3 ? log a x, x ? 2

取值范围是 【答案】 ?1,2?



【解析】当 x ? 2 ,故 ? x ? 6 ? 4 ,要使得函数 f ? x ? 的值域为 ? 4, ?? ? ,只需 f1 ? x ? ? 3 ? loga x ? x ? 2? 的值域包含于

故 a ?1, 所以 f1 ? x ? ? 3 ? loga 2 , 所以 3 ? log a 2 ? 4 , 解得 1 ? a ? 2 , 所以实数 a 取值范围是 ?1,2? . ? 4, ?? ? , (15) 【2015 年福建,理 15,5 分】一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1 x2 ? xn ? n ? N * ? ,其中 xk ? k ? 1,2,?, n ? 称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1, ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0 ? 或者由 1 变为 0) ,已知某种二元码 x1 x2 ? x7 的码元满足如下校验方程组:? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0 ,其中运算 ?x ? x ? x ? x ? 0 3 5 7 ? 1 ? 定义为:0 ? 0 ? 0,0 ? 1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ? 1 ? 0 , 其中运算 ? 定义为:0 ? 0 ? 0,0 ? 1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ? 1 ? 0 . 现 已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组 可判定 k 等于 __. 【答案】5 【解析】由题意得相同数字经过运算后为 0,不同数字运算后为 1.由 x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0 可判断后 4 个数字

0 可判断后 2 个数字没错,即出错的是第 4 个或第 5 个;由 出 错 ; 由 x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? x1 ? x3 ? x5 ? x7 ? 0 可判断出错的是第 5 个,综上,第 5 位发生码元错误.
三、解答题:本大题共 6 题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (16) 【2015 年福建,理 16,13 分】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将 被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝 试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 5 4 3 1 解: (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A ,则 P( A) ? ? ? ? . 6 5 4 2 1 5 1 1 5 4 2 (2)依题意得, X 所有可能的取值是 1,2,3,又 P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? ? ? , P( X ? 3) ? ? ? 1 ? 6 6 5 6 6 5 3 所以 X 的分布列为 1 2 3 X 1 1 2 p 6 6 3 3

1 1 2 5 所以 E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 6 6 3 2 (17) 【2015 年福建, 理 17, 13 分】 如图, 在几何体 ABCDE 中, 四边形 ABCD 是矩形,AB ? 平面 BEG , BE ? EC , AB ? BE ? EC ? 2 , G , F 分别是线段 BE , DC 的中点. (1)求证: GF / / 平面 ADE ; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 解:解法一: 1 (1)如图,取 AE 的中点 H ,连接 HG , HD ,又 G 是 BE 中点,所以 GH / / AB ,且 GH ? AB , 2 1 又 F 是 CD 中点,所以 DF ? CD ,由四边形 ABCD 是矩形得, AB / / CD , AB ? CD 2 所以 GH / / DF .且 GH ? DF ,从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF / / DH , 又 DH ? 平面 ADE , GF ? 平面 ADE ,所以 GF / / 平面 ADE .
(2)如图,在平面 BEG 内,过点 B 作 BQ / / EC ,因为 BE ? CE ,所以 BQ ? BE ,因为 AB ? ??? ? ??? ? ??? ? 平面 BEC , 所以 AB ? BE ,AB ? BQ , 以 B 为原点, 分别以 BE, BQ, BA 的方向为 x 轴,

? ??? ? 因为 AB ? 平面 BEC ,所以 BA ? ? 0,0,2? 为平面 BEC 的法向量,设 n = ( x, y, z) 为平面 ??? ? ??? ? ??? ? ? ?n ? AE ? 0 ?2 x ? 2 z ? 0 得? , AEF 的法向量,又 AE ? ? 2,0, ?2? , AF ? ? 2,2, ?1? ,由 ? ???? ? ?n ? AF ? 0 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ??? ? ??? ? ? n ? BA 4 2 ??? ? ? ? , 取 z = 2 得 n ? ? 2, ?1,2? .从而 cos n, BA ? | n | ? | BA | 3 ? 2 3

y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 A? 0,0,2? , B ? 0,0,0? , E ? 2,0,0? , F ? 2,2,1? ,

2 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 . 3 解法二: (1)如图,取 AB 中点 M ,连接 MG, MF ,又 G 是 BE 的中点,可知 GM / / AE ,又 AE ? 平 面 ADE , GM ? 平面 ADE ,所以 GM / / 平面 ADE .在矩形 ABCD 中,由 M , F 分别 是 AB , CD 的中点得 MF / / AD ,又 AD ? 平面 ADE , MF ? 平面 ADE ,所以 MF / / 平 面 ADE ,又因为 GM ? MF ? M , GM ? 平面 GMF , MF ? 平面 GMF ,所以平面 GMF / / 平面 ADF ,因为 GF ? 平面 GMF ,所以 GF / / 平面 ADE . (2)同解法一. 2 x2 y 2 (18) 【2015 年福建,理 18,13 分】已知椭圆 E : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 e = . 2 a b (1)求椭圆 E 的方程; ? 9 ? (2)设直线 l : x ? my ? 1? m ? R ? 交椭圆 E 于 A , B 两点,判断点 G ? ? ,0 ? 与以线段 AB ? 4 ? 为直径的圆的位置关系,并说明理由. 解:解法一: ?b ? 2 ?a ? 2 ? ? 2 x2 y 2 ?c (1)由已知得 ? ? 解得 ?b ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为 + = 1 . 2 4 2 ? ?a c ? 2 2 2 2 ? ?a ? b ? c ?

? x ? my ? 1 ? (2)设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , AB 中点为 H ( x0 , y0 ) .由 ? x 2 y 2 ,得 (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 , ?1 ? ? ?4 2 2m 3 2 所以 y1 +y2 = 2 , y1 y2 = 2 ,从而 y0 ? 2 . m +2 m +2 m ?2
4

9 5 5 25 所以 | GH |2 ? ( x0 ? )2 ? y02 ? (my0 ? )2 ? y02 ? (m2 ? 1) y02 ? my0 ? . 4 4 2 16 | AB |2 ( x1 - x2 ) 2 ? ( y1 - y2 ) 2 (1 ? m 2 )( y1 - y2 ) 2 (1 ? m 2 )[( y1 ? y2 ) 2 - 4 y1 y2 ] ? ? ? ? (1 ? m2 )( y02 - y1 y2 ) 4 4 4 4 5m 2 3( m 2 ? 1) 25 17 m 2 ? 2 | AB |2 5 25 ?0 ? ? ? 故 | GH |2 ? ? my0 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 2 2 2 4 2 16 2(m ? 2) m ? 2 16 16(m ? 2) | AB | 9 所以 | GH |? ,故 G(? ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 解法二: (1)同解法一. ??? ? ??? ? 9 9 (2)设点 A( x1 y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 GA ? ( x1 ? , y1 ) , GB ? ( x2 ? , y2 ) . 4 4 x ? my ? 1 ? 2m 3 ? 由 ? x2 y 2 ,得 (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 . m ?2 m ?2 ?1 ? ? ?4 2 ??? ? ??? ? 9 9 5 5 5 25 从而 GA ? GB ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? (my1 ? )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 4 4 4 4 16 5 2 m ?3(m 2 ? 1) 25 17 m 2 + 2 2 = >0 ? ? ? 2 2 m ?2 m ? 2 16 16(m 2 + 2) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 9 所以 cos GA, GB ? 0 ,又 GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角.故点 G(? ,0)在以 AB 为直径的圆外. 4 (19) 【2015 年福建, 理 19, 13 分】 已知函数 f ? x ? 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到: 先将 g ( x)
图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f ? x ? 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f ? x ? ? g ? x ? ? m 在 ?0, 2? ? 内有两个不同的解 ? , ? ; (i)求实数 m 的取值范围; 2m2 (ii)证明: cos(? ? ? ) ? ?1. 5 解:解法一: (1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y = 2cos x 的图像,再 将 y ? 2cos x 的图像向右平移

? 个单位长度. 2

? ? 个单位长度后得到 y ? 2cos( x - ) 的图像,故 f ( x) ? 2sin x ,从而函数 2 2 ? f ( x) ? 2sin x 图像的对称轴方程为 x ? k? ? (k ? Z ) . 2
2 5 sin x ? 1 5 cos x) ? 5 sin( x ? ? ) (其中 sin ? ?

(2) (i) f ( x) ? g ( x) ? 2sin x ? cos x ? 5( 依题意, sin( x ? ? ) ? 是 (? 5, 5) .
m 5

1 5

, cos ? ?

2 5



在区间 [0, 2? ] 内有两个不同的解 ? , ? 当且仅当 |

m 5

|? 1 ,故 m 的取值范围

(ii)因为 ? , ? 是方程 5 sin( x ? ? ) ? m 在 [0, 2? ] 内的两个不同的解,所以 sin(? ? ? ) ? ,当 1 ? m ? 5 时, ? ? ? ? 2( ? ? ) ,即 ? ? ? ? ? ? 2(? ? ? ) ; 2 5 3? 当 ? 51 ? m ? 1 时, ? ? ? ? 2( ? ? ) ,即 ? ? ? ? 3? ? 2( ? ? ? ) , 2 5
sin( ? ? ? ) ? m

m 5

?

所以 cos(? ? ? ) ? ? cos 2(? ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 1 ? 2( 解法二: (1)同解法一. (2) (i)同解法一.

m 5

)2 ? 1 ?

2m2 ?1 . 5

(ii)因为 ? , ? 是方程 5 sin( x ? ? ) ? m 在区间 [0, 2? ) 内的两个不同的解,所以 sin(? ? ? ) ?
s i n?( ? ? ?) m

m 5



,当 1 ? m ? 5 时, ? ? ? ? 2( ? ? ) ,即 ? ? ? ? ? ? 2(? ? ? ) ; 2 5 3? 当 ? 5 ? m ? 1时, ? ? ? ? 2( ? ? ) ,即 ? ? ? ? 3? ? 2(? ? ? ) ,所以 cos(? ? ? ) ? ? cos( ? ? ?) 2 于是 cos(? ? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? ? )] ? cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )
5 5 (20) 【2015 年福建,理 20,14 分】已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? , g ? x ? ? kx ? k ? R ? .

?

? cos2 (? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? ?[1 ? (

m

)2 ] ? (

m

)2 ?

2m2 ?1 . 5

(1)证明:当 x > 0 时, f ? x ? ? x ; (2)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对任意的 x ? ? 0, t ? 恒有 f ? x ? ? g ? x ? ; (3)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? ? 0, t ? ,恒有 | f ( x) - g ( x) |< x2 . 解:解法一:

1 ?x ,当 x ? (0, ??) 时, F ?( x) ? 0 , ?1 ? 1? x x ?1 所以 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故当 x ? 0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ? x . 1 ?kx ? (1 ? k ) (2)令 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? kx, x ? [0, ??) ,则有 G?( x) ? , ?k ? x ?1 x ?1 当 k ? 0 时, G?( x) ? 0 ,故 G ( x) 在 [0, ??) 单调递增, G ( x) ? G (0) ? 0 ,故对任意正实数 x0 均满足题意 1? k 1 1 当 0 ? k ? 1 时,令 G?( x) ? 0 ,得 x ? ? ? 1 ? 0 ,取 x0 ? ? 1 ,对任意 x ? (0, x0 ) ,有 G?( x) ? 0 , k k k [0, ?? ) f ( x ) ? g ( x) . 从而 G ( x) 在 单调递增,所以 G ( x) ? G (0) ? 0 ,即
(1)令 F ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x, x ? [0, ??) ,则有 F ?( x) ? 综上,当 k ? 1 时,总存在 x0 ? 0 ,使得对任意 x ? (0, x0 ) ,恒有 f ( x) ? g ( x) . (3)当 k ? 1 时,由(1)知,对于 ?x ? (0, ??), g ( x) ? x ? f ( x) ,故 g ( x) ? f ( x) .
| f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? kx ? ln(1 ? x) 令 M ( x) ? kx ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0, ??) ,

k ? 2 ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) 1 ?2x2 ? (k ? 2)x ? k ? 1 )时, M ?( x ) ? 0, 故当 x ? (0, ? 2x ? 4 1? x x ?1 k ? 2 ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) M ( x ) 在 [0, ) 上单调递增,故 M ( x) ? M (0) ? 0 ,即 | f ( x) ? g ( x) |? x2 .所以满 4 足题意的 t 不存在,当 k ? 1 时,由(2)知,存在 x0 ? 0 ,使得当 x ? (0, x0 ) 时, f ( x) ? g ( x) ,

则有 M ?( x ) ? k ?

此时 | f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? ln(1 ? x) ? kx ,令 N ( x) ? ln(1 ? x) ? kx ? x2 , x ?[0, ??) , 则有 N ?( x) ?
?( k ?2 )? ( ? k 2 ) ( 8 ?) 12 ? k 1 ?2x2 ? (k ? 2) x ? 1 ? k N ?( x) ? 0 , 0 ( ) , 当 x ?, 时, ? k ? 2x ? 4 x ?1 x ?1 ?(k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) N ( x) 在 [0, ) 上单调递增,故 N ( x) ? N (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? x2 . 4

?(k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 8(k ? 1) 中的较小者为 x1 ,则当 x ? (0, x1 ) 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,故满 4 足题意的 t 不存在.当 k ? 1 时,由(1)知,当 x ? 0 时, | f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,

记 x0 与

令 H ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0, ??) ,则有 H ?( x) ? 1 ? 6

1 ?2x2 ? x ,当 x ? 0 时, H ?( x) ? 0 , ? 2x ? 1? x x ?1

所以 H ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 H ( x) ? H (0) ? 0 ,故当 x ? 0 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 , 此时,任意正实数 t 均满足题意,综上, k ? 1 . 解法二: (1)解法一. (2)解法二. (3)当 k ? 1 时,由(1)知,对于 ?x ? (0, ??), g ( x) ? x ? f ( x) , 故 | f ( x) ? g ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? kx ? ln(1 ? x) ? kx ? x ? (k ? 1) x ,令 (k ? 1) x ? x2 ,解得 0 ? x ? k ? 1 . 从而得到,当 k ? 1 时,对于 x ? (0, k ? 1) ,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,故满足题意的 t 不存在. k ?1 当 k ? 1 时, 取 k1 ? , 从而 k ? k1 ? 1 , 由 (2) 知, 存在 x0 ? 0 , 使得 x ? (0, x0 ), f ( x) ? k1 x ? kx ? g ( x) , 2 1? k 1? k 1? k 此时 | f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? (k1 ? k ) x ? , f ( x) ? g ( x) ? x2 , x ,令 x ? x2 ,解得 0 ? x ? 2 2 2 1? k 记 x0 与 的较小者为 x1 ,当 x ? (0, x1 ) 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,故满足题意的 t 不存在. 2 当 k ? 1 时,由(1)知, x ? 0,| f ( x) ? g ( x) |? f ( x) ? g ( x) ? x ? ln(1 ? x) ,

1 ?2x2 ? x , ? 2x ? 1? x x ?1 当 x ? 0 时, M ?( x) ? 0 ,所以 M ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,故 M ( x) ? M (0) ? 0 .
令 M ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x2 , x ?[0, ??) ,则有 M ?( x) ? 1 ? 故当 x ? 0 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? x2 ,此时,任意正实数 t 均满足题意,综上, k ? 1 . 本题设有三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答.满分 14 分,如果多做,则按所做的前两题计分,作答 时,先用 2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. ? 2 1? ?1 1 ? (21) 【2015 年福建,理 21(1) ,7 分】 (选修 4-2:矩阵与变换)已知矩阵 A ? ? ?,Β ? ? ?. ? 4 3? ? 0 ?1? (1)求 A 的逆矩阵 A ?1 ; (2)求矩阵 C ,使得 AC ? B .
? 3 ? 2 解: (1)因为 | A |? 2 ? 3 ? 1 ? 4 ? 2 ,所以 A ?1 ? ? ? ?4 ? ? 2 ?1 ? 1? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? 2 2 . 2 ? ? ? ?2 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1? ?3 ?3 ? ? ??1 1 ? ? 2? (2)由 AC ? B 得 (A- 1A . )C = A- 1B ,故 C ? A?1B= ? 2 = 2 ? 2 ? ? ? ?2 1 ? ? ? 0 ?1? ? ? ?2 ?3 ? ? ? ? ? ?

(21) 【2015 年福建,理 21(2) ,7 分】 (选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参
? x ? 1 ? 3cos t 数方程为 ? ( t 为参数) .在极坐标系(与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 ? y ? ?2 ? 3sin t
O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2? sin(? ?

?
4

) ? m(m ? R) .

(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

解: (1)消去参数 t ,得到圆 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ,由 2? sin(? ? ) ? m ,得 4 ? sin ? ? ? cos? ? m ? 0 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? m ? 0 .
? 2 ,解得 m ? ?3 ? 2 2 . 2 b?0, c ?0, (21) 【2015 年福建, 理 21 (3) , 7 分】 (选修 4-5: 不等式选讲) 已知 a ? 0 , 函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c

?

(2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 ? ? ?2 ? ? m |

的最小值为 4. (1)求 a + b + c 的值; 7

1 1 (2)求 a2 + b2 + c2 的最小值. 4 9 解: (1)因为 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | ?c ?| ( x ? a) ? ( x ? b) | ?c ?| a ? b | ?c ,当且仅当 ?a ? x ? b 时,等号成立. 又 a > 0, b > 0 ,所以 | a ? b |? a ? b ,所以 f ( x) 的最小值为 a ? b ? c ,又已知 f ( x) 的最小值为 4, 所以 a ? b ? c ? 4 . 1 1 a b (2) 由 (1) 知a?b?c ? 4 , 由柯西不等式得 ( a2 ? b2 ? c2 )(4 ? 9 ? 1) ? ( ? 2 ? ? 3 ? c ?1)2 ? (a ? b ? c)2 ? 16 , 4 9 2 3 1 1 b a c 1 1 8 8 18 2 即 ( a2 ? b2 ? c2 ) ? ,当且仅当 2 ? 3 ? ,即 a ? , b ? , c ? 时等号成立, 2 3 1 4 9 7 7 7 7 1 2 1 2 8 故 a ? b ? c2 的最小值为 . 4 9 7

8


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