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几类简单递推数列通项公式的求法


几类简单递推数列通项公式的求法
递推数列就是给出首项或几项及相邻几项的关系来确定其它各项的数 列关系式叫递推公式。由递推公式求通项公式无通法,主要是掌握几种基 本类型和常用方法。由此体会变换递推公式化为等差数列或等比数列的思 想。 一、 an

说明:只要数列 { f (n)} 的前几项和可求则通项公式 an 就可求。 又如:1.已知: a1

? 1, an?1 ? an ? 2n,求an .
1 求an . n(n+1)

2.已知: a1 ? 1, an ? an ?1 + 二、 an?1

? f (n) ? an型。

? an?1 ? f (n)型。
n?1

例题 2:设 a1

? 1, an?1 ? 2n an,求an .

例题 1:已知 a1 ? 1, an ? an?1 ? 2 求an 。 解:法一: (累加法)

解:法一(迭乘法) 由 an?1 ? 2 an 可得:
n

? an ? an?1 ? 2 ,? an ? an?1 ? 2 ? an ? 2 ? 2 a2 ? a1 ? 2 a3 ? a2 ? 22 ? an ? an?1 ? 2
n ?1 n ?1 n?2 n ?3

n ?1

n ?1

a2 ? 2a1 a3 ? 2 2 a2 a4 ? 23 a3 ? an ? 2 n-1 an ?1
将以上 n-1 个式子相乘可得:

又 ? an ? (an ? an?1)+(an?1 ? an?2)+(an?2 ? an?3)+?(a2 ? a1 )+a1 ? 2 ? ? ? 2 ?1 ? 2 ?1
n

也可以写作:

an ? a1 ? 2 ? 2 ? 2 ?2
2 3

n ?1

?2

n ( n ?1) 2

以上n-1个式子相加得: an ? a1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1
法二: (迭代法)

法二:迭代法:

? an ?1 ? 2n an ? an ? 2n ?1 an ?1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ?3 ? an ?3 ? ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ?3 ? 22 ? a2 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ?3 ? 22 ? 2a1 ?2
1

? an ? an ?1 ? 2n ?1 , ? an ? an ?1 ? 2n ?1 ? an ? 2 +2n ?2 ? 2n ?1 ? an ?3 ? 2n ?3 ? 2n ?2 ? 2n ?1 ? ? ? a2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 n ?1

? a1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

n ?1

? 2 ?1
n

n ( n ?1) 2

说明:以上方法适用于乘积 f (1) ? f (2) ? f (3)? f (n) 可求的数列。 又如:已知: a1 ? 1, 且an ?1 ? ※ 三、 an
n an,求an . n ?1

? pan?1 ? q型(p,q为常数且p ? 0,q ? 0,p ? 1 )

例题 3: a1

? 1, an?1 ? 2an +3,求an .

an 3 则b n ? b n-1 ? n 利用迭加法可得: n 2 2 5 1 bn ? ? 3 ? n 2 2 an 5 1 ? n ? ? 3? n 2 2 2 ? an ? 5 ? 2n ?1 ? 3 设b n ?

解:法一:辅助数列法(等比数列)

法三:迭加法:

? an?1 ? 2an +3, ? an ? 2an?1 ? 3???? (?)
设它可以写成 an ? ? ? 2(an?1 ? ? )即an ? 2an?1 ? ?

? a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 3 ? an ? 2an ?1 ? 3 2an ?1 ? 22 an ? 2 ? 3 ? 2 22 an ? 2 ? 23 an ?3 ? 3 ? 22 ?? 2n ? 2 a2 ? 2n ?1 a1 ? 3 ? 2n ? 2 将以上n-1个式子相加可得: an ? 3(1 ? 2 ? ? ? 2
法四:迭乘法
? a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 3???? (1) ? an ? 2an ?1 ? 3???? (2) (1)-(2)得:an ?1 ? an ? 2(an ? an ?1 ) 由此可得:an ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ? 2 ) an ?1 ? an ? 2 ? ( 2 an ? 2 ? an ?3) ??? 将以上各式左右两边分别相乘可得: an ?1 ? an ? 2n-1 ( a2 ? a1 ) ? 2n ?1 ? 5 又 ? an ?1 ? 2an ? 3两式联立解得:an ? 5 ? 2n ?1 ? 3
2
n?2

与(?)式比较得:? ? ?3.
而 (?) 可写成:

an ? 3 ? 2( an ?1 ? 3)( n ? 2) 设bn ? an ? 3则bn ? 2bn ?1 且b1 ? a1 ? 3 ? 5 ? bn ? b1q n ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? an ? 3 ? 5 ? 2n ?1 ? an ? 5 ? 2n ?1 ? 3
法二:可化为 an ? an?1 ? f (n) 型。

)?2

n ?1

(1 ? 2n ?1 ) a1 ? 3 ? ? 2n ? 5 ? 2 n ?1 ? 3 1? 2

? an ? 2an ?1 ? 3 ? 两边同除以“2n ? an a ?1 3 ? n ? n ???? (?) n n-1 2 2 2

法五:构造新数列:

? 2an ?1 ? an ? 2n ?1 又已知:an ? 2an ?1 ? ? an ?1 ? 2an ? 1 2n ?1

令bn ? an ?1 ? an则bn ? 2bn ?1 ? 数列{bn }是以2为公比的等比数列。 又a2 ? 2a1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7 ? b1 ? a2 ? a1 ? 7 ? 2 ? 5 ? bn ? 5 ? 2n-1 即:an ?1 ? an ? 5 ? 2n ?1 ???? (1) 又已知an ?1 ? 2an ? 3代入(1)得:an ? 5 ? 2n ?1 ? 3
四: an ? kan?1 ? f (n) 型。 例题 4:在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an ?1 ?

1 2n ?2an ?1 ? an ? 2n ?1 1 n ?1 1 ? ? 联立 ? 1 解得:an ? (2 - n-1 ) 3 2 ?an ?1 ? 2an ? n ? 2

(2n-1) ? 2 求an . 例题 5:在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, an?1 ? 3an ?
n

解:依题意:an ?1 ? 3an ? (2n-1) ? 2n an ?1 3 an ? ? n ?1 ? (2n ? 1 ) 2n 2 2 a 令b n ? nn 2 ?1 3 ? bn ?1 ? bn ? (2n ? 1)??? (1) 2 a 其中b1 ? 1 ? a1 ? 1引入待定系数x1 , x2 20 ? 3 设(1)可变形为bn ?1 ? [ x1 (n ? 1) ? x2 ] ? [b n ? ( x1n ? x2 )] 2 3 1 1 整理得:bn ?1 ? b n ? x1n ? x1 ? x2 ??? (2) 2 2 2
? 1 - x ?2 ? ? 2 1 比较(1)、(2)得: ? ? x ? 1 x ? ?1 1 2 ? ? 2 ?x ? 4 ?? 1 ? x2 ? ?6
3

1 , 求an . 2n ?1

an an ?1 1 1 得: ? ? 2n ?1 2n 2n ?1 22 n ?1 a 1 令b n ? n 则有 b ? b ? n n ?1 2n 2n-1 解:由an ? 2an ?1 ? 1 1 以下可以用迭加法求出bn,进而可求an ? (2n ?1 - n-1 ) 3 2
本题也可用下面方法求解:

1 可得: 2n ?1 an ? 2n an ?1 ? 1 n ?1 2 ? 2n an ?1 ? 2n ?1 an ? 1 由an ? 2an ?1 ? 两式相减: 2n an ?1 ? 2n ?1 an ? 2n ?1 an ? 2n an ?1 ? 2an ?1 ? an ? 4an ? 2an ?1 ? ( 2 2an ? an ?1) 令b n ? 2an ?1 ? an则b n ? 2b n ?1又b1 ? 2a2 ? a1 ? 4 ? b n ? b1 ? 2n ?1 ? 2n ?1

3 ? bn ?1 ? [4( n ? 1) ? 6] ? [bn ? (4n ? 6)] 2 令cn ? bn ? (4n ? 6) ??? (3) 3 ? cn ?1 ? cn 其中c1 ? b1 ? (4 ? 1 ? 6) ? 11 2 3 ? cn ? 11 ? ( ) n ?1 2 3 ? bn ? 11 ? ( ) n ?1 ? 4n ? 6 2 ? an ? 11 ? 3n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? 3 ? 2 n
五、an ? f (n) ? an ?1 ? g (n)型。 例6:在数列{an }中,a1 ? 1,an ?1 ? 解:由an ?1 ? n ?1 2 an ? 得: n n nan ?1 ? (n ? 1)an ? 2??? (1) n ?1 2 an ? , 求an n n

lg a lg an ? 2 lg an ?1即: n ? 2 lg an ?1 即数列{ lg an }是以lg2为首项以2为公比的等比数列 ? lg an ? lg2 ? 2n ?1 ? lg 22 ? an ? 22
n?1 n?1

? s1 (n ? 1) 七:通过先求sn , 利用an ? ? 可求得an s ? s ( n ? 2) ? n n ?1 2 2 sn 例8:在数列{an }中a1 ? 1,an ? (n ? 2)求an。 2 sn ? 1
2 2 sn 解: ? an ? sn ? sn ?1 (n ? 2)又an ? 2 sn ? 1 2 2 sn ? sn ? sn ?1 ? 去分母整理得:sn ?1 ? sn ? 2sn ? sn ?1 2 sn ? 1

1 1 两边同除以sn ? sn ?1得: ? ?2 sn sn ?1 ? 数列{ ? 1 1 }构成以 ? 1为首项以2为公差的等差数列。 sn s1

(n ? 1)an ? nan ?1 ? 2??? (2) (1) ? (2)得:an ?1 ? an ? an ? an ?1 即: 2an ? an ?1 ? an ?1 因此数列{an }为等差数列,首项为a1 ? 1, 由已知得a2 ? 0,因此公差d ? ?1 ? an ? 2 ? n.
六、两边取对数法求 an 。
2 例7:在数列{an }中,a1 ? 2,an ? an-1 (n ? 2)求an。 2 解: ? a1 ? 2,an ? an-1 ? 0且{an }为递增数列 2 ? 对an ? an-1 两边取以10为底的对数得:

1 1 ? ? (n-1) ? 2=2n-1 sn s1 1 2n ? 1 2 (2n-1)(2n-3)

?sn ?

当n ? 2时,an ? sn ? sn ?1 ? ? 又当n ? 1时, ?

2 ? 2 ? a1 ? 1, (2n-1)(2n-3) ?1(n ? 1) ? ? an ? ? 2 ??(2n-1)(2n-3)(n ? 2) ?
4

八、求解方程法:若数列满足方程 f(an )=0 可通过解方程的思想方法求得 通项公式。
x ?x 例 9:已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 , 数列{an }满足f (log2 an ) ? ?2n, 求an。

b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1 an+1-an=(-1/3)n-1 故我们可以利用上一类型的解法求得 an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN*) 十、通过归纳猜想再利用数学归纳法证明的方法求 an

解:由条件f (log 2 an ) ? 2log2 an ? 2? log2 an ? ?2n, 1 即:an ? ? ?2n, an ? a ? 2nan ? 1 ? 0, 又an ? 0
2 n

例11:已知数列{a n }中a1 ? 2且an ?1 ? 2 ? an 求an . 解: ? a1 ? 2,an ?1 ? 2 ? an ? a1 ? 2 ? 2 ? a2 ? 2 ? 2 cos a3 ? 2 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 ? cos ? 2 cos 2 2 4 2

? an ? n ? 1 ? n
2

九、递推式为:an+2=pan+1+qan(p,q 为常数) 思路:设 an+2=pan+1+qan 变形为 an+2-xan+1=y(an+1-xan) 也就是 an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到 x+y=p,xy= -q 解得 x,y,于是{bn}就是公比为 y 的等比数列(其中 bn=an+1-xan) 这样就转化为前面讲过的类型了. 例 10、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求 an 解:设 an+2=(2/3)an+1+(1/3)an 可以变形为 an+2-xan+1=y(an+1-xan) 也就是 an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到 x+y=2/3,xy= -1/3 可取 x=1,y= -1/3 构造数列{bn} ,bn=an+1-an 故数列{bn}是公比为-1/3 的等比数列 即 bn=b1(-1/3)n-1
5

?
4

? 2 cos ? 2 cos

?
8

? 2 cos ? 2 cos

?
23

?
8

?
16

?
24

由此可推测an ? 2 cos

?

2n ?1 下面用数学归纳法证明:略。

巩固练习:

1、数列{an }中a1 ? 4,

an ? 2n (n ? 2)求an。 an?1

2、数列{an }满足

an?1 n ? (n ? 1), a1 ? 1, 求an。 an n?2

1 6、数列{an }中a1 ? 2,an ?1 ? an +ln(1+ ),求an。 n

3、数列{an }中a1 ? 1 ,an?1 ? 100a , 求an。
2 n

1 7、数列{an }中a1 ? 1且an ?1 ? an + an + ,求an。 4

1 4、数列{an }中a1 ? 1,an ?1 ? (1+ )an ,求an。 n

8、数列{an }中a1 ? 1且an?1 ? 2an +1,求an。

5、数列{an }中a1 ? 1 ,an?1 ? an +2n,求an。

9、数列{an }中a1 ? 1且an ?1 ?

2an ,求an。 1+3an

6

10、数列{an }中a1 ? 2,sn =2an ,(n ? 2)求an。

13. 已知数列{an }中,a1 ? 5, a2 ? 2, an ? 2an?1 ? 3an?2 (n ? 3), 求an .

11、数列{an }中2 sn =an +1,求an。

14.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an

12、设f ( x) ? log 2 x ? log x 4,(0 ? x ? 1)又已知数列{an }的通项an 满足f (2an ) ? 2n(n ? N ? ), 求an。

15.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an

7


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