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湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷

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衡阳市一中 2018 年下学期高一期末考试 数学
考试时量:120 分钟 考试总分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的.
1.已知集合 A. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 A 与 B 的交集运算即可. 【详解】由集合 故选:D. 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题. 2.下面是属于正六棱锥的侧视图的是 ( ) ∴ , B. C. ,则 D. =( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 由正六棱锥的直观图观察可得侧视图.

【详解】正六棱锥如图所示

....

....

所以正六棱锥的侧视图为

.

故选:B. 【点睛】本题考查的是识别正六棱锥的侧视图,关键是掌握正六棱锥的直观图,属于基础题. 3.给出以下命题: ①经过三点有且只有一个平面;②垂直于同一直线的两条直线平行;③一个平面内有两条 直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;④垂直于同一平面的两条直线平行.其中正确命题的个数有 ( ) B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

A. 1 个 【答案】A 【解析】 【分析】

利用线线、线面、面面间平行和垂直的关系逐一对命题判断即可. 【详解】对于① 过空间不共线三点有且只有一个平面,过空间共线的三点有无数个平面,故①错误; 对于② 垂直于同一直线的两条直线,这两条直线有可能平行、相交或异面,故②错误; 对于③ 一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面有可能平行或相交,故③错误; 对于④ 由线面垂直的性质定理得,垂直于同一平面的两条直线平行,故④正确. 故选:A. 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,属于基础题. 4.下列命题正确的是( A. 幂函数的图象都经过 B. 当 时,函数 ) 、 两点

的图象是一条直线

C. 如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个函数一定相同 D. 如果幂函数为偶函数,则图象一定经过点 【答案】D 【解析】 【分析】 利用幂函数的概念、图象与性质,对 4 个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于 A: 幂函数的图象都经过点(1,1) ,当 n≤0 时,不过(0,0)点,故 A 不正确; 对于 B:当 n=0 时,幂函数 y=xn 的图象是一条直线 y=1,除去(0,1)点,故 B 不正确; 对于 C:当两个幂函数的图象有三个交点,如 y=x 与 y=x3 有三个交点,这两个函数不相同,故 C 不正确; 对于 D:因为幂函数的图象都经过点(1,1)且为偶函数时,所以图象一定经过点 故选:D. ,故 D 正确.

....

....

【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了幂函数的概念,图象和性质,属于基础题. 5.直线 A. B. 被圆 C. 或 截得的弦长为 D. 或 ,则直线的倾斜角为( )

【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得圆心(0,0)到直线 的距离为 d= ,求出 k,即可求出直线的倾斜角.

【详解】因为圆 x2+y2=4 的圆心为(0,0) ,半径为 2,∵直线 l:y=k(x+2)被圆 O:x2+y2=4 截得弦长 为 ,∴圆心到直线的距离 d= =1,∴圆心到直线的距离 d= ,∴k=± ,所以直线的倾

斜角为 或 . 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角,以及点到直线的距离公式,属于中档题. 6.若函数 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得 x2﹣ax+1>0 恒成立,故有 ,由此解得 a 的范围. B. 定义域为 且 ,则 的取值范围是( C. D. )

【详解】 由题意可得:要使 f(x )的定义域为 R,则对任意的实数 x 都有 x2﹣ax+1>0 恒成立,故有 解得 0<a<1,或 1<a<2,即 a 的范围为(0,1)∪(1,2). 故选:B. 【点睛】本题考查了对数函数的定义域和性质的综合应用,也考查了二次函数的性质,属于中档题. 7.如图,在直角梯形 面 .在四面体 中, 中,下列说法正确的是( ) ,将 沿 折起,使得平面 平

....

....

A. 平面 C. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】

平面 平面

B. 平面 D. 平面

平面 平面

由平面 ABD⊥平面 BCD 的性质定理得 CD⊥AB,又由 AD⊥AB,从而得到 AB⊥平面 ADC,又 AB?平面 ABC,可得平面 ABC⊥平面 ADC. 【 详 解 】 ∵ 在 直 角 梯 形 中,BD= ,BC=2, ABCD 中 , AD∥BC,AD=AB= BC=1,∠A=90° , 在

,由余弦定理得

,∴BD⊥CD,又平面 ABD⊥平面 BCD, ∴AB⊥平

且平面 ABD∩平面 BCD=BD,故 CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB,又由 AD⊥AB, 面 ADC,又 AB?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ADC. 故选:B. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质和判定定理,考查逻辑思维能力,属于中档题.

8.中国古代数学名著《九章算术》中,将顶部为一线段,下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍(méng),如图几 何体为刍甍,已知面 体积为( ) 是边长为 3 的正方形, , 与面 的距离为 2,则该多面体的

A. C.

B. D.

【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,把该几何体分成一个四棱锥和一个三棱锥,各自求出它的体积再求和即可. 【详解】如图所示,



连接 BE,CE,则多面体 ABCDEF 的体积为:V=V 四棱锥 E﹣ABCD+V 三棱锥 E﹣BCF

....

....

= × 32× 2+ × × 3× 2× 2=6+2=8. 故选:C. 【点睛】本题考查了空间几何体体积的计算问题,把几何体分成一个四棱锥和一个三棱锥是解题的关键, 属于基础题. 9.我们从这个商标 中抽象出一个图像如图,其对应的函数可能是( )

A. 【答案】D 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

由图像分析得函数为偶函数,排除法即可. 【详解】由图像得函数的定义域为 故选:D. 【点睛】本题考查的是利用函数的图像分析判断出函数是偶函数的问题,属于基础题. 10.已知三棱锥 积为( A. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三线垂直且长度相等联想正方体,利用外接球的直径为正方体的对角线长,即可得解. 【详解】由 PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=1,可知该三棱锥为正方体的一角,其外接球直 径为正方体的对角线长,即 2R= ,∴ 故选:D. 【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法,关键是补形的方法,属于基础题. 11.若实数 A. 满足 B. ,则 的取值范围是( ) ,∴ . ) B. C. D. 的三条侧棱 两两垂直,且 ,则三棱锥 的外接球的表面 ,排除 B,C.图像关于 y 轴对称,所以函数为偶函数,排除 C.

....

....

C. 【答案】C 【解析】 【分析】 由

D.

2 2 的几何意义,即圆 x +y =3 上的动点与定点 P(2,0)连线的斜率求解即可.

【详解】如图,设过 P(2,0)的直线的斜率为 k,则直线方程为 y=k(x﹣2) ,即 kx﹣y﹣2k=0,由坐标 原点 O(0,0)到直线 kx﹣y﹣2k=0 的距离等于 是 . ,得 ,解得:k= .∴ 的取值范围

故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查数形结合的解题思想方法,属于基础题. 12.设函数 有 5 个零点 ( A. B. C. ) D. ,且对一切实数 均满足 ,则

【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 f(x)满足 ,可得函数的图象关于(2,0)对称,从而得到函数 5 个零点的和. ∴函数的图象关于(2,0)对称,∴函数 f(x)

【详解】对于任意 x∈R,函数 f(x)满足

的零点关于 x=2 对称,∴函数 f(x)的 5 个零点中有 2 对关于 x=2 对称,中间的零点是 2,即 = 故选:B. 【点睛】本题考查函数的零点和对称的问题,解题的关键是看出函数的图象关于(2,0)对称,属于基础题. =2,∴, ,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号的横线 上.
13.给出下列平面图形:①三角形;②四边形;③五边形;④六边形.则过正方体中心的截面图形可以是 _______________ (填序号)

....

....

【答案】②④ 【解析】 【分析】 根据正方体的性质和经过几个面得到的截面是几边形判断即可. 【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面,至少与正方体的四个面相交,所以不可能是三角形,又 因为截面为五边形时不过正方体的中心,过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为 正六边形. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查了过正方体中心的截面问题,解决本题的关键是利用正方体的性质,属于基础题. 14.已知 【答案】 【解析】 【分析】 由平行线间的距离公式得 【详解】因为直线 所以由平行线间的距离公式得 故答案为: . 【点睛】本题考查的是平行线间的距离公式和二次函数求最值的问题,属于基础题. 15.已知函数 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数 g(x)=f(x)+x 一 a 只有一个零点,令 h(x)=a﹣x,则 结合可得出答案. 【详解】∵函数 g(x)=f(x)+x 一 a 只有一个零点,令 h(x)=a﹣x,∴函数 f(x)与 h(x)只有一个 交点,函数 f(x)的图像如图所示: 与 h(x)有且只有 1 个交点,由数形 ,则函数 恰好存在一个零点时,实数 的取值范围为 化简求最值即可. 与直线 = = 平行, d , 所以当 m=1 时, = . ,则直线 与直线 的距离的最大值为__________

....

....

当 h(x)与 f(x)的在 x<0 上相切时,有 1 个交点,即 a= .这时 h(x)与 f(x)在 R 上有 2 个交点,不 符合题意,舍; 当a 当 a 时,h(x)与 f(x)在 x>0 上有 1 个交点,符合题意; 时,h(x)=a﹣x 与 f(x)在 R 上有 3 个交点不符合题意,舍;

当 a<0 时,h(x)=a﹣x 与 f(x)在 R 上有 2 个交点不符合题意,舍; ∴实数 a 的范围是( ,+∞). 故答案为:( ,+∞). 【点睛】本题考查了函数零点的问题,也考查了数形结合思想,属于基础题. 16.圆锥 AO 底面圆半径为 ,母线 短时长度为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 由圆锥侧面展开图是一个扇形,计算线段 MA 的值即可. 【详解】圆锥的底面圆半径 r=1,母线长 l=6,则侧面展开扇形的圆心角为 α= = ,将圆锥侧面展开 长为 ,从 中点 拉一条绳子,绕圆锥一周转到 点,则这条绳子最

成一个扇形,从点 M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点 A,最短距离为 AM,在△ASM 中,由余弦定理得 cos = ,所以 AM= .

....

....

故答案为:



【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图和余弦定理的应用,属于基础题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知函数 (1)求函数 (2)判断函数 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)由对数函数的真数大于 0,得 【详解】解: (1)由 (2)因为 时 函数 为奇函数 得 的定义域; (2)由奇偶函数的定义判断即可. , 函数 的定义域为 的定义域; 的奇偶性 ; (2)奇函数.

【点睛】本题考查了求函数的定义域和奇偶性的判断,属于基础题. 18.已知三棱锥 中, 平面 ,

(1)求直线 (2)求二面角

与平面

所成的角的大小; 的正弦值.

....

....

【答案】(1) 【解析】 【分析】

;(2)

.

(1)由线面垂直的判定定理得 求出; (2)取 二面角 中点 ,连接 的平面角,在 平面 在平面 得 .所以直线 (2)取 面 , 则 中点 ,连接 , 过 作 与平面 ,

平面 ,由

,则 平面 ,

为直线

与平面 ,过 作

所成的角,在 于 ,连接

中,即可 ,则 为

中,即可求出. , 内的射影为 ,又 ,则 , 为直线 ,在 所成的角为 . , 于 , 连接 , 在 , 则 中, 平面 平面 , , , , , , 则 , 为二面角 所以二面角 的 平 与平面 中, . 所成的角

【详解】解: (1) 平面 由 平面

的平面角 正弦值为

【点睛】本题考查了求线面角和二面角的问题,利用线面垂直的判定定理找到所求的角是关键,属于中档 题. 19.已知点 是圆 (1)求点 的轨迹方程; (2)若点 的轨迹与直线 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)设 为所求轨迹上任意的一点,其对应的 点为 设 由 得 . 是线段 的中点,由相关点法化简即 ;(2) 交于 . 两点,且 ,求 的值. 上的动点,点 , 是线段 的中点

可; (2)联立方程 【详解】解: (1)设

化简即可. ,则 ①

为所求轨迹上任意的一点,其对应的 点为

又 是

的中点,

,则

,代入①式得

(或用定义法亦可)

....

....

(2)联立方程 由 得 ②

消去 得

又设

,则





可得

,而 ,展开得

由③式可得 根据②④得 .

,化简得



【点睛】本题考查了由相关点代入法求轨迹方程,也考查了直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 20.定义在 上的奇函数 (1)求证:函数 (2)若 时 对任意实数 ,都有 ; 在 上的最值 . .

对任意实数 ,且

,都有 ,求

【答案】(1)详见解析;(2) 【解析】 【分析】 ( 1 )由 在 R 上为奇函数,所以 ,则 【详解】 (1)证明: 所以 (2)解:设 则 , ,又因为 为 上的减函数,即可得最值.

,化简即可成立; ( 2 )设

,得

= 在 R 上为奇函数,所以 , 成立.



为 上的减函数 .



【点睛】本题考查了抽象函数恒成立问题,也考查了利用单调性求最值的问题,属于中档题. 21.如图,在四棱锥 中,四边形 为平行四边形, , 为 中点,

....

....

(1)求证: (2)若

平面

; . 平面 ? 平面 ? 时.

是正三角形,且

(Ⅰ)当点 在线段

上什么位置时,有

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,点 在线段

上什么位置时,有平面

【答案】(1)详见解析;(2)(Ⅰ) 点 在线段 【解析】 【分析】 (1)连接 , ,AC BD= ,连接 ,由 为

中点时;(Ⅱ) 当

中点, 为

中点,得 ; (Ⅱ)当

,推出

平面 时由(Ⅰ)得

; (2) 平

(Ⅰ) 当点 在线段 面 ,推出平面

中点时, 由线面垂直的判定定理得 平面 , , 面 , .

平面

【详解】 (1)证明:连接 又 为 中点,

= ,因为 ABCD 是平行四边形,则 为 面 平面 平面 .

中点,连接



(2)解(Ⅰ)当点 在线段 取 中点 ,连接 ,又 ,又 ,

中点时,有 ,又 ,

平面

是正三角形, 平面

(Ⅱ)当 过 作 平面 易得

时,有平面 于 ,由(Ⅰ)知 ,所以平面

平面 , 平面

【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直,面面垂直的判定定理,数量掌握判定定理的内容是关键,属于 中档题. 22.已知函数 (1)试判断 的单调性; 的定义域为

....

....

(2)若

,求



的值域; 有解,若存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由.

(3)是否存在实数 ,使得 【答案】(1) 【解析】 【分析】 在

单调递增(2)

(3)存在,且取值范围为

(1) 由函数单调性的定义判断即可; (2) 令 (3)变量分离 【 详 解 】 解 :( 1 ) 设 即可. ,

,

求值域即可;

, (2) 令 (3)由 得 = , 而当 在 时,令



单调递增.



的值域为

,所以 的取值范围为

【点睛】本题考查了由定义法判断函数的单调性和变量分离求最值的问题,属于中档题.

....


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