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xpj77712.com:2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:4-3-1、2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式

一、选择题 1.在空间直角坐标系中,在 z 轴上的点的坐标可记为( A.(0,b,0) C.(0,0,c) [答案] C 2. 已知点 A(1, -3,4), 则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为( A.(-1,-3,-4) C.(3,-1,-4) [答案] A 3.点 P(-1,2,3)关于 xOz 平面对称的点的坐标是( A.(1,2,3) C.(-1,2,-3) [答案] B 4.已知点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),则 AB 的中点坐标是( 7 A.(2,1,-2) C.(-12,3,5) [答案] B 5.点 P(0,1,4)位于( A.y 轴上 C.xOz 平面内 [答案] D [解析] 由于点 P 的横坐标是 0,则点 P 在 yOz 平面内. 6.点 A 在 z 轴上,它到点(3,2,1)的距离是 13,则点 A 的坐标是 ) B.x 轴上 D.yOz 平面内 1 B.(2,2,3) 1 4 D.(3,3,2) ) B.(-1,-2,3) D.(1,-2,-3) ) B.(-4,1,-3) D.(4,-1,3) ) B.(a,0,0) D.(0,b,c) )

(

) A.(0,0,-1) C.(0,0,1) [答案] C [解析] 设 A(0,0,c),则 32+22+?1-c?2= 13,解得 c=1.所 B.(0,1,1) D.(0,0,13)

以点 A 的坐标为(0,0,1). 8 7.△ABC 的顶点坐标是 A(3,1,1),B(-5,2,1),C(-3,2,3),则 它在 yOz 平面上射影图形的面积是( A.4 C.2 [答案] D [ 解析 ] △ ABC 的顶点在 yOz 平面上的射影点的坐标分别为 ) B.3 D.1

A′(0,1,1),B′(0,2,1),C′(0,2,3),△ABC 在 yOz 平面上的射影是一 个直角三角形 A′B′C′,容易求出它的面积为 1. 8. 空间直角坐标系中, 点 A(3,2, -5)到 x 轴的距离 d 等于( A. 32+22 C. 32+?-5?2 [答案] B [解析] 过 A 作 AB⊥x 轴于 B,则 B(3,0,0),则点 A 到 x 轴的距 离 d=|AB|= 22+?-5?2. 二、填空题 9.点 M(1,-4,3)关于点 P(4,0 ,-3)的对称点 M′的坐标是 ________. [答案] (7,4,-9) [解析] 线段 MM′的中点是点 P,则 M′(7,4,-9). B. 22+?-5?2 D. 32+22+?-5?2 )

10.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,5,6),则点 M 关于 y 轴的对称点在坐标平面 xOz 上的射影的坐标为________. [答案] (-4,0,-6) [解析] 点 M 关于 y 轴的对称点是 M′(-4,5,-6),则点 M′ 在坐标平面 xOz 上的射影是(-4,0,-6). 1 5 11.在△ABC 中,已知 A(-1,2,3),B(2,-2,3),C(2,2,3), 则 AB 边上的中线 CD 的长是________. 5 [答案] 2 1 [解析] 由题可知 AB 的中点 D 的坐标是 D(2,0,3), 由距离公式可得 |CD|= 1 1 5 5 ?2-2?2+?2-0?2+?3-3?2=2.

12. 在空间直角坐标系中, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A(3, -1,2),其中心 M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________. [答案] 2 39 3

[解析] |AM|= ?3-0?2+?-1-1?2+?2-2?2 = 13,∴对角线|AC1|=2 13, 2 39 设棱长 x,则 3x2=(2 13)2,∴x= 3 . 三、解答题 13.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC 的形状. [分析] 求出三角形边长,利用三边的关系来判断其形状. [解析] 由题意得:

|AB|= ?4-1?2+?2+2?2+?3-11?2= 89, |BC|= ?6-4?2+?-1-2?2+?4-3?2= 14, |AC|= ?6-1?2+?-1+2?2+?4-11?2= 75. ∵|BC|2+|AC|2=|AB|2, ∴△ABC 为直角三角形. 14.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,所有棱长都为 2,侧棱 AA1 ⊥底面 ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标.

[分析] 题中给出了三棱柱的棱长,要求各顶点的坐标,可以作 出两两垂直的三条线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,然后确 定各点坐标.

[解析] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1, 可得 BO⊥AC, 分别 以 OB、OC、OO1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为 2,所以 OA=OC=1,OB= 3, 可得 A(0,-1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1( 3,

0,2),C1(0,1,2). 15.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,D1D=3,点 M 是 B1C1 的中点,点 N 是 AB 的中点.建立如图所示的空间直角坐标 系.

(1)写出点 D,N,M 的坐标; (2)求线段 MD,MN 的长度. [分析] (1)D 是原点,先写出 A,B,B1,C1 的坐标,再由中点 坐标公式得 M,N 的坐标;(2)代入空间中两点间距离公式即可. [解析] (1)因为 D 是原点,则 D(0,0,0). 由 AB=BC=2,D1D=3, 得 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3). ∵N 是 AB 的中点,∴N(2,1,0). 同理可得 M(1,2,3). (2)由两点间距离公式,得 |MD|= ?1-0?2+?2-0?2+?3-0?2= 14, |MN|= ?1-2?2+?2-1?2+?3-0?2= 11. 16.如下图所示,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,并且平 面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若 |CM|=|BN|=a(0<a< 2).

(1)求 MN 的长度; (2)当 a 为何值时,MN 的长度最短?

[解析] 因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,且交线为 AB,BE⊥AB, 所以 BE⊥平面 ABCD,所以 BA,BC,BE 两两垂直.取 B 为坐标原 点,过 BA,BE,BC 的直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系. 因为|BC|=1, |CM|=a, 点 M 在坐标平面 xBz 内且在正方形 ABCD 2 2 的对角线上,所以点 M( 2 a,0,1- 2 a). 因为点 N 在坐标平面 xBy 内且在正方形 ABEF 的对角线上,|BN| 2 2 =a,所以点 N( 2 a, 2 a,0). (1)由空间两点间的距离公式,得 |MN|=
? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? a- a?2+?0- a?2+?1- a-0?2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ?

= a2- 2a+1, 即 MN 的长度为 a2- 2a+1. (2)由(1),得|MN|= a2- 2a+1= 2 当 a= 2 (满足 0<a< 2)时, 2 的长度最短,最短为 2 .
? 2? 1 ?a- ?2+ . 2? 2 ?

? 2? 1 ?a- ?2+ 取得最小值,即 MN 2? 2 ?


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