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2013贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习--平面向量


高考数学一轮复习单元练习--平面向量 I 卷 一、选择题 1 1.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a?b=- ,则|a+2b|=( 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 )

2.已知 A、B、C 是不在同一直线上的三点,O 是平面 ABC 内的一定点,P 是平面 ABC 内的一动点,
1 若 OP ? OA ? ? ( AB ? BC) (λ ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定过△ABC 的( 2



A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心 )

? ? ? ? ? ? a =(3,2),b =(-1,0),向量λ a + b 与 a -2 b 垂直,则实数λ 的值为( 3. 已知
1 A. 2
4.若向量 a A.0

1 B.- 2

1 C. 7

1 D.- 7
)

?? ?

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? (1, 2), b ? (?1,1) ,且 ka ? b 与 a ? b 共线,则实数 k 的值为(
B.1 C.2 D. ?1

? ? ? ? ? ? ? ? ? 5. 若非零向量 a, b 满足 | a |?| b |, ? 2a ? b ? ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( )
A. 30°
°

B. 60°

C. 120°

D. 150° ( D.4 ( )

6.已知平面向量 a A.1 7.已知向量 a ? A.

? (1, 2), b ? (?2, m), 且a / /b ,则实数 m 的值为
B.-4 C.-1

? 4,3? , b ? ? ?1,2? ,若向量 a ? kb 与 a ? b 垂直,则 k 的值为
B.7 ) C. ?

23 3

11 5

D. ?

23 3

8.下列关于零向量的说法不正确的是( A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的方向是任意的 C.零向量与任一向量共线 D.零向量只能与零向量相等

9. 已知 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 的对边分别为

a, b, c 三角形的重心为 G .


??? ? ??? ? ??? ? ? aGA ? bGB ? cGC ? 0 ,则 ? A ?
A. 30? B. 60? C. 90?

(

D. 120?

10.如图,非零向量 OA ? a, OB ? b且BC ? OA, C为垂足 若OC ? ? a, 则? ,

?

(



1

A.

a ?b |a|
2

B.

a ?b | a || b |

C.

a ?b | b |2

D.

| a || b | a ?b
)

11.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π π A.- B. 4 6 π 3π C. D. 4 4

12.已知在△ ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的 值为( A 0 ) B 4 3 C 2 3 D -3

2

II 卷 二、填空题 13.在△ABC 中,已知 | A.-2

AB |? 4, | AC |? 1, S ?ABC ? 3, 则AB ? AC 的值为
B.2 C.±4 D.±2

(



14. 在平面直角坐标系中, 双曲线 C 的中心在原点, 它的一个焦点坐标为 (

? 5,0) ,e1 ? (2,1) 、

??? ? ? ? ?? ? ? 任取双曲线 C 上的点 P , OP ? ae1 ? be2( a 、 若 e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。
b ? R ),则 a 、 b 满足的一个等式是 。 15. 设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=________. 16.已知向量 a = (3, -2) , b ? (3m ? 1, 4 ? m) ,若 a ? b ,则 m 的值为 .
三、解答题 17.已知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )) , 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间.

π 6 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ,0),P(cosα ,sinα ),其中 0≤α ≤ . 5 2 ? ??? ??? ? 5 (1)若 cosα = ,求证: PA ⊥ PO ; 6 ? ??? ??? ? π (2)若 PA ∥ PO ,求 sin(2α + )的值. 4

19.已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) .(1)若点 A, B, C 不能构成 三角形,求 x, y 应满足的条件;(2)若 AC ? 2BC ,求 x, y 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

3

20. 已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角, 向量 m ? (?1, (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若

?? ? 且 3) , ? (cos A, sin A) , m ? n ? 1 . n

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B . cos 2 B ? sin 2 B

21.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (3)若=a,=b,求△ABC 的面积. (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

22.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角; (2)求|a+b|; (I)求 ?ABC 的面积;

2 0 0 9 0 4 2 3

4

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

【答案】B 【答案】C 【答案】D 【答案】D 【答案】C 【答案】B 【答案】A 【答案】A 【答案】B

10. 【答案】A 11. 【答案】C 12. 【答案】A 13. 【答案】D 14. 【答案】1 15. 【答案】4 16. 【答案】4ab?1 17. 【答案】 f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos

x x ? x ? x ? sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

x x tan ? 1 x 2 x 2 x x x x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? ? 2 sin cos ? 2 cos2 ? 1 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2 ? ? sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) . 4 ? ? [ 所以 f ( x)的最大值为 2 , 最小正周期为 2? , f ( x)在[0, ] 上单调增加, , ? ] 上单调减少. 4 4 ??? 6 ? 18. 【答案】(1)法一:由题设,知 PA =( -cosα ,-sinα ), 5 ??? ? PO =(-cosα ,-sinα ), ? 6 ??? ??? ? 所以 PA ? PO =( -cosα )(-cosα )+(-sinα )2 5 1 ? tan
6 =- cosα +cos2α +sin2α 5 6 =- cosα +1. 5 ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? 5 因为 cosα = ,所以 PA ? PO =0.故 PA ⊥ PO . 6 π 5 11 法二:因为 cosα = ,0≤α ≤ ,所以 sinα = , 6 2 6 5 11 所以点 P 的坐标为( , ). 6 6 ??? ? ??? 11 ? 11 5 11 所以 PA =( ,- ), PO =(- ,- ). 30 6 6 6 ? ? ??? ??? 11 ? ??? ??? ? 5 11 PA ? PO =30?(-6)+(- 6 )2=0,故 PA ⊥ PO . ??? 6 ? (2)由题设,知 PA =( -cosα ,-sinα ), 5

??? ? PO =(-cosα ,-sinα ).

5

? ??? ??? ? 6 因为 PA ∥ PO ,所以-sinα ?( -cosα )-sinα cosα =0,即 sinα =0. 5 π 因为 0≤α ≤ ,所以α =0. 2 π 2 从而 sin(2α + )= . 4 2
19. 【答案】(1) 若点 A, B, C 不能构成三角形,则这三点共线 由 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? x, ?3 ? y) 得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? (3,1), AC ? (2 ? x,1 ? y),
∴ 3(1 ? y) ? 2 ? x ∴ x, y 满足的条件为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (2) BC ? (? x ?1, ? y) , 由 AC ? 2BC 得

??? ?

??? ?

??? ?

(2 ? x,1 ? y) ? 2(? x ?1, ? y)
∴?

?2 ? x ? ?2 x ? 2 ?1 ? y ? ?2 y

解得 ?

? x ? ?4 . ? y ? ?1

20. 【答案】(Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 ,即

?? ?

?

?

3 sin A ? cos A ? 1,

? 3 1? 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 , ? 2 2? ? ?
所以 sin ? A ? ? ? ? 1 . ? ? 6? 2 ? ∵0 ? A ? ?,? ∴ A? ∴A?

?
6

? A?

?
6

?

?
?
3 6

?
.

?
6

5? , 6



(Ⅱ)由题知

1 ? 2sin B cos B ? ?3 得 cos 2 B ? sin 2 B

(cosB ? sin B) 2 cos B ? sin B 1 ? tan B ? ? ? ?3 (cosB ? sin B)(cosB ? sin B) cos B ? sin B 1 ? tan B
解得 tan B ? 2 .

6

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? . 2 5 5 4 3 2 又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所以 5 5 1 1 4 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 . 2 2 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 .
21. 【答案】(Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

所以 a ?

b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 .

22. 【答案】(1)由(2a-3b)?(2a+b)=61, 得 4|a|2-4a?b-3|b|2=61, ∵|a|=4,|b|=3, 代入上式得 a?b=-6, a?b -6 1 ∴cos θ = = =- . |a||b| 4?3 2 又 0°≤θ ≤180°,∴θ =120°. (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a?b+|b|2=42+2?(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13. (3)由(1)知∠BAC=θ =120°, AB =|a|=4, AC = |b| =3, ∴ S?ABC =

??? ?

????

? 1 ??? ???? 1 AB AC sin∠BAC=2?3?4?sin 120°=3 3. 2

7


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