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山东省德州市某中学2015届高三数学上学期周考试题 文 新人教A版


高三周考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设 x∈Z,集合 A 为偶数集,若命题 p:? x∈Z,2x∈A,则¬p( A.? x∈Z,2x?A B.? x?Z,2x∈A C.? x∈Z,2x∈A )

D.? x∈Z,2x?A )

2. 设集合 A={1, 2, 3}, B={4, 5}, C={x|x=b﹣a, a∈A, b∈B}, 则 C 中元素的个数是 ( A.3 B.4 C.5 D.6

3. (2013?烟台一模)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 ( A. ) B.﹣ C.2

,则 log2f(2)的值为

D.﹣2 ,则△ABC 为( )

4.在△ABC 中,内角 A、B 的对边分别是 a、b,若 A.等腰三角形 C.等腰三角形或直角三角形
|x|

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

5.若当 x∈R 时,函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)满足 f(x)≤1,则函数 y=loga(x+1) 的图象大致为( A. ) B. C. D.

6.已知 ①a<b

,给出下列四个结论: ②a+b<ab ③|a|>|b| ) C.②③ D.③④ ) D.120 ④ab<b
2

其中正确结论的序号是( A.①②

B.②④

7.等差数列{an}的前 20 项和为 300,则 a4+a6+a8+a13+a15+a17 等于( A.60 8. (5 分)已知函数 则 a 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣1) 9.已知函数 ) B.(﹣∞,1] C.[﹣1,0) B.80 C.90

(a∈R) ,若函数 f(x)在 R 上有两个零点,

D.(0,1]

(ω >0)的最小正周期为 π ,将函数 y=f(x)的

图象向右平移 m (m>0) 个单位长度后, 所得到的图象关于原点对称, 则 m 的最小值为 ( A. B. C. D.



10.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x∈R,都有 f(x)=f(2-x)成立,且当 x ∈(-∞,1)时, (x-1)f′(x)<0(其中 f'(x)为 f(x)的导 数 ) .设 a = f (0) , b = f ( ) , c = f (3) ,则 a、b、c 三者的大小关系是( A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a

1 2



D.b<c<a

二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11 .

已知向量a的模为2,向量e为单位向量,e ? (a ? e),则向量a与e的夹角大小为
. 12. (2014?广东模拟)计算 13.若 ,则 ÷ = = _________ .

_________ . ,则 f(2 )>0 的解集为
x

14.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{ _________ . 15.给出下列命题: ①若 y=f(x)是奇函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称;

②若函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x)?f(x+4)=1,则 8 是函数 f(x)的一个周期; ③若 logm3<logn3<0,则 0<m<n<1; ④若 f(x)=e
|x﹣a|

在[1,+∞)上是增函数,则 a≤1.

其中正确命题的序号是 _________ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤. 16. (12 分) 已知全集 U=R, 集合 A={ (Ⅰ)求(?UA)∪B; (Ⅱ)若集合 C={x|x+m ≥ },命题 p:x∈A,命题 q:x∈C,且 p 命题是命题 q 的充分条 件,求实数 m 的取值范围.
2

}, B={x|

}.

17. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和单调区间; (Ⅱ)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 求△ABC 的面积. ,c=2 且 sinB=3sinA,

18. (12 分)如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相同 的矩形绿化区, 这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道. 已知三块绿化区的总面 积为 800 平方米,求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值.

19.

20 .( 13 分 ) 已 知 公 比 为 q 的 等 比 数 列 {an} 是 递 减 数 列 , 且 满 足

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{(2n﹣1)?an}的前 n 项和 Tn.

21. (14 分)已知 f(x)=aln(x﹣1) ,g(x)=x +bx,F(x)=f(x+1)﹣g(x) ,其中 a, b∈R. (I)若 y=f(x)与 y=g(x)的图象在交点(2,k)处的切线互相垂直,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 b=2﹣a,a>0 时,求 F(x)的最大值; (Ⅲ)若 x=2 是函数 F(x)的一个极值点,x0 和 1 是 F(x)的两个零点,且 x0∈(n,n+1) , n∈N,求 n.

2

高三数学试卷(文科)答案 一、选择题: 二、填空题 11. 16. : A={ ≤y≤2}, }={ }={y| 1-5 DBACC, 6-10 BCDAB 14.{x|x<﹣1 或 x>1} 15.①②④

? 3

12.-20

13.7

B={x|

}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}, }, (?UA)∪B={x|x≤1 或 x>2}.

∴?UA={y|y>2 或 y<

(Ⅱ)∵命题 p 是命题 q 的充分条件, ∴A? C, ∵C={x|x≥ ﹣m },∴ ﹣m ≤ ∴m ≥
2 2 2



,∴m≥ 或 m≤﹣

∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) . 17. 解: cos x= (I)∵2sin(2x﹣ 由﹣ +2kπ ≤
2

=2 = .

sinxcosx+sin x ﹣

2

)≤2,∴函数 f(x)的最大值为 2. ≤ +2kπ ? ﹣ +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈z.

∴函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ 由 2kπ + ≤2x﹣ ≤2kπ +

+kπ ,

+kπ ], (k∈Z) ,k∈z,

? kπ +

≤x≤kπ + ,kπ +

∴函数 f(x)的单调递减区间为[kπ + (II)∵ ∴ = , ,∴ ,

],k∈z. < < ,

,又﹣

∵sinB=3sinA,∴b=3a, ∵c=2,4=a +9a ﹣2×a×3a
2 2 2

,∴a = ×

2

, = .

∴S△ABC= absinC= ×3a sinC= ×3×

18. 解:设绿化区域小矩形的一边长为 x,另一边长为 y,则 3xy=800, ∴y= .

即矩形区域 ABCD 的面积 S=(3x+4) (y+2)=(3x+4) ( +2)=800+6x+ +8≥808+2 =968.

当且仅当 6x=

,即 x=

时取“=”,

∴矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 968 平方米.

20. 解:由 a1a2a3= 由 a1+a2+a3=

,及等比数列性质得 得 a1+a3=

=

,解得 a2= ,

由以上得





=

,即 3q ﹣10q+3=0,解得 q=3,或 q= .

2

∵{an}是递减数列,故 q=3 舍去, ∴q= ,由 a2= ,得 a1=1. 故数列{an}的通项公式为 an= (n∈N ) .
*

(II)由(I)知(2n﹣1)?an=



∴Tn=1+ +

+?+

①, Tn= +

++?+

+

②.

①﹣②得: Tn=1+ +

+

+?+



=1+2( +

+

+?+

)﹣

=1+2?



=2﹣





∴Tn=3﹣



21.解: (I)f′(x)=

,g'(x)=2x+b?(1 分)

由题知

,即

?(2 分)

解得 a=﹣ ,b=﹣2. (Ⅱ)当 b=2﹣a 时,F(x)=alnx﹣[x +(2﹣a)x], ∴F′(x)= ﹣2x﹣(2﹣a)= ﹣(6 分) ∵a>0,∴ >0,又 x>0,x+1>0, 则由 F′(x)=0,解得 x= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) F(x)与 F′(x)的变化情况如下表: x (0, ) 0 ( ﹣ ,+∞) = ,﹣﹣﹣
2

F′(x)+ F(x) ↗ ∴F( x)max=F( ) =aln ﹣[

极大值↘ ﹣a.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9

]=aln +

分) (Ⅲ)F(x)=f(x+1)﹣g(x)=alnx﹣(x +bx) ,F′(x)= ﹣2x﹣b
2

由题知

,即

,即解得 a=6,b=﹣1?(11 分)

∴F(x)=6lnx﹣(x ﹣x) ,F′(x)= ﹣2x+1= ∵x>0,由 F'(x)>0,解得 0<x<2;由 F'(x)<0,解得 x>2 ∴F(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减,

2



故 F(x)至多有两个零点,其中 x1∈(0,2) ,x2∈(2,+∞)?(12 分) 又 F(2)>F(1)=0,F(3)=6(ln3﹣1)>0,F(4)=6(ln4﹣2)<0 ∴x0∈(3,4) ,故 n=3 ?(14 分)


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