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广东省汕尾市海丰县2013-2014学年度高中二年级第一学期期末教学质量监测理科数学试卷及答案(WORD版)


2013~2014 学年度高中二年级第一学期期末教学质量监测

数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1、已知全集 U ? Z ,A= ??3,1,2? ,B= ?1,2,3? ,则 A ? U B 为( A、 ??3,1? B、 ?1,2? C、 ??3? D、 ??3,2? ) C、 ?x | ?2 ? x ? 3? D、 ? x | x ? 3? ) )

2、不等式 ? x ? 2?? 3 ? x ? ? 0 的解集是( A、 ?x | x ? ?2或x ? 3? B、 ?x | x ? ?2?

3、已知 a , b ? R ,命题“若 a ? b ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? A、若 a ? b ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? C、若 a 2 ? b2 ?

1 2

1 ,则 a ? b ? 1 2
B、 y ? ? x 2

1 ”的否命题是( 2 1 B、若 a ? b ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 2 1 D、若 a 2 ? b2 ? ,则 a ? b ? 1 2
) D、 y ? ?3x

4、下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( A、 y ? 2 x C、 y ? x3

5、设 m、n 是空间两条直线, ? 是空间平面,且 m ? ? ,则“ n ? ? ”是“ m ? n ”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 6、△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,若 b2 ? ac, 且c ? 2a ,则 cos B 等于( A、 )

2 3

B、

2 4

C、

1 4

D、

3 4


?x ? y ? 0 ? 7、若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 3 x ? 9 y 的最大值是( ? y ?1 ?
A、3 B、9 C、18 D、27

8、设抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果 PF ? 8 ,那么直 线 AF 的斜率 k 等于( A、 ? 3 B、 ? 2 ) C、 3 D、 ? 5

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ) 9、设 a ? ? x,2 y,3? , b ? ?1,1,6? ,且 a ∥ b ,则 x ? y ?

? ? ?? ?sin ? x ? 6 ? ? x ? 0 ? , ? ? ? 10、已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? ?? ? ? ? f ? ? x ? ? x ? 0? , ? ? ? ? ? 2?



11、在等比数列 ?an ? 中,若 a1a2 a3 ? 2, a2 a3a4 ? 16 ,则公比 q ? 12、阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是



开 始

a =1 a<10
否 输出 a =1 结束

x y ? 13、双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 一条渐近线的倾斜角为 ,离心率 a b 3 a2 ? e 为 e ,则 的最小值为 。 b m 14、设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m、n ,则直线 y ? x 与圆 n
2 2

a =a2+2


? x ? 3?

2

? y2 ? 1 相交的概率为



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, cos2 A ? cos2 A ? cos A 。 (1)求解 A 的大小; (2)若 a ? 3,sin B ? 2sin C ,求 S ?ABC .

1 2

16、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? ?5, S5 ? ?20 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求使不等式 Sn ? an 成立的 n 的最小值。

17、 (本小题满分 14 分) 若不等式 ax 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 M。

? 1 ? (1)若 2 ? M ,求实数 a 的取值范围; (2)若 M ? ? x | ? x ? b ? ,求实数 a、 b 的值。 ? 2 ?

18、 (本小题满分 14 分) 为了更好地开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从“模拟联合国” , “街舞” , “动漫” , “话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数据见下表: (单位:人) (1)求 a , b, c 的值; (2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选 2 人担任指导小组组长,求这 2 人分别来自这两 个社团的概率。 社团 模拟联合国 街舞 动漫 话剧 相关人数 24 18 b 12 抽取人数

a
3 4

c

19、 (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,E 为 PB 上的点,且 2BE=EP。 (1)证明:AC⊥DE; (2)若 PC ? 2BC ,求二面角 E ? AC ? P 的余弦值。 P

E D A B C

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 积为

x2 y 2 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面 2 a b 3

5 2 。 3

? 7 ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ? x ? 1? 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若 M ? ? ,0 ? ,求证: ? 3 ?
MA ? MB 为定值。

参考答案 1、C 因为 B ? ?1,2,3? ,所以 A

?? B? ? ??3? ,故选 C
U

2、C ∵ ? x ? 2?? 3 ? x ? ? 0 ,∴ ? x ? 2?? x ? 3? ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 3 3、A 4、D 5、A 由 m ? ? , n ? ? ? m ? n ,但由 m ? ? , m ? n ? n ? ? ; 6、D

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ? ? 2ac 4a 2 4
y x?2 y

7、D ∵ 3 ? 9 ? 3
x

?x ? y ? 0 ? ,3 ? 1 ,∴问题转化为求 x+2y 的最大值。实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,数形结合可 ? y ?1 ?

知当且仅当 x=y=1 时, ? x ? 2 y ?max ? 3 ,∴ 3x ? 9 y ? 3x ? 2 y ? 33 ? 27 . 8、A ∵抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为 F(2,0) ,准线 l 的方程为 x ? ?2 ,由抛物线的定义可知:|PA|=|PF|=8,
2 设 p ? xP , yP ? , A? ?2, yA ? ,∴ xP ? 8 ? 2 ? 6, yP ? 48, ? yP ? ?4 3,? yA ? yP ? ?4 3, ∴直线 AF 的斜率为

k?

?4 3 ?? 3 2 ? ? ?2 ?

3 3 10、 11、2 12、11 2 4 b2 2 6 b ? 13、 由题意可得: k ? ? tan ? 3,?b ? 3a ,则 a 2 ? 3 3 a 3 2 b ?2 b2 a2 ? e 3 b 2 b 2 2 6 ∴ e ? 1 ? 2 ? 2,? ? ? ? ?2 ? ? a b b 3 b 3 b 3
9、 14、

5 36

由题意知, m ??1,2,3,4,5,6?, n ??1,2,3,4,5,6? ,故 ? m, n? 所有可能的取法共 36 种。由直线与圆

的位置关系得, d ?

3m m ?n
2 2

? 1 ,即

m 2 1 1 1 1 2 m ? ,共有 , , , , 等 5 种,所以直线 y ? x 与圆 n 4 3 4 5 6 6 n

? x ? 3?

2

? y2 ? 1 相交的概率为

5 。 36

15、解: (1)由已知得

1 1 ? 2cos2 A ? 1? ? cos2 A ? cos A ,则 cos A ? ,∵0<A< ? ,所以 A ? (6 分) ? 2 2 3 2 2 2 2 2 b ?c ?a 4c ? c ? 9 1 b c sin B b ? ? ,解得 (2)由 可得 ? ? ? 2,即b ? 2c .所以 cos A ? 2bc 4c 2 2 sin B sin C sin C c 1 1 3 3 3 ? c ? 3, b ? 2 3 ,所以 S?ABC ? bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? 。 (12 分) 2 2 2 2

? a1 ? d ? ?5 16、解: (1)设 ?an ? 的公差为 d,依题意,有 a2 ? a1 ? d , S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 ,联立得 ? 解 ?5a1 ? 10d ? ?20, ?a ? ?6 得? 1 ,所以 an ? ?6 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? 7 (6 分) ? d ?1

(2)因为 an ? n ? 7 ,所以 Sn ?

n ? a1 ? an ? 2

?

n ? n ? 13? 2

,令

n ? n ? 13? 2

? n ? 7 ,即 n2 ? 15n ? 14 ? 0 ,解得

n ? 1或n ? 1 4 。又 n ? N ? ,所以 n 的最小值为 15(12 分)
17、解: (1)∵ 2 ? M ,∴ a ? 22 ? 5 ? 2 ? 2 ? 0,? a ? ?2 。 (6 分)

1 ? 1 ? (2)∵ M ? ? x | ? x ? b ? ,∴ , b 是方程 a ? x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根,且 a ? 0 , 2 ? 2 ?
5 ?1 ?b ?? ? ?a ? ?2 ?2 a ∴由韦达定理得 ? (14 分) , 解得? ? b?2 ? 1b ??2 ? a ? 2
18、解: (1)由表可知抽取比例为

1 ,故 a ? 4, b ? 24, c ? 2 (6 分) 6

(2)设“动漫”4 人分别为 A1 , A2 , A3 , A4 ; “话剧”2 人分别为 B1 , B2 。则从中任选 2 人的所有基本事件为

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1, A4 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A3 , A4 ? , ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ?, ? A2 , B1 ?, ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A4 , B1 ? , ? A4 , B2 ? , ? B1, B2 ? , 共
15 个 。 ( 10 分 ) 其 中 2 分 分 别 来 自 这 两 个 社 团 的 基 本 事 件 为

? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A4 , B1 ? , ? A4 , B2 ? ,共 8 个。所以这 2 个分别来自这两个
社团的概率 P ?

8 .(14 分) 15

19、解: (1)∵ PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AC,∵底面 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC,∴AC⊥平面 PBD, ∵ DE ? 平面 PBD,∴AC⊥DE. (6 分)

P ?32 ,D P 3? , (2) 以 D 为原点, DP, DA, DC 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系。 设 BC=3, 则C
因为 2BE=EP,易知 D ? 0,0,0? , A? 0,3,0? , C ? 0,0,3? , P ?3,0,0? , E ?1,2,2 ? ,所以 CA ? ? 0,3, ?3? , CP ? ?3,0, ?3? ,

? 3 y ? 3z ? 0 令 x=1, CE ? ?1,2, ?1? ,设平面 ACP 的法向量为 u ? ? x, y, z ? ,则 u ? CA ? 0 , u ? CP ? 0 ,即 ? ?3x ? 3z ? 0,
得 u ? ? ?1,1,1? ,所以 cos u, v ?

u?v 1 1 ? ,所以二面角 E-AC-P 的余弦值为 。 (14 分) u?v 3 3

20、解: (1)因为

x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 , ? , (2 分) 2 a b a 3

1 5 2 x2 y 2 5 ? b ? 2c ? ? ? 1。 ,解得 a 2 ? 5, b2 ? ,所以椭圆的方程为 (6 分) 5 2 3 5 3 3
(2)将 y ? k ? x ? 1? 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 1 ? 3k 2 x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 , 5 5 3

?

?

? ? 36k 4 ? 4 ? 3k 2 ? 1?? 3k 2 ? 5? ? 48k 2 ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 2 , 2 3k ? 1 3k ? 1

7 ?? 7 7 ?? 7? 7 ?? 7? ? ? ? ? 所以 MA ? MB ? ? x1 ? , y1 ?? x2 ? , y2 ? ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? y1 y2 = ? x1 ? ?? x2 ? ? ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? 3 ?? 3 3 ?? 3? 3 ?? 3? ? ? ? ? 49 3k 2 ? 5 ? 7 6k 2 ? 49 ?7 ? 2 ?? ? k 2 = 1? k2 = 1 ? k 2 x1 x2 ? ? ? k 2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? k ? ? k2 ? ?? ? ? 2 2 9 3k ? 1 ? 3 ?3 ? ? ? 3k ? 1 ? 9

?

?

?

?

=

?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 4 ? ? k 2 ? .(14 分) 2 3k ? 1 9 9


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