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全国181套中考数学试题分类解析汇编 专题36多边形及其内角和


2011 年全国 181 套中考数学试题分类解析汇编 专题 36:多边形及其内角和
一、选择题 1.(浙江杭州 3 分)正多边形的一个内角为 135°,则该多边形的边数为 A. 9 【答案】B。 【考点】正多边形的性质,多边形内角和定理,解一元一次方程。 【分析】由正多边形内角相等的性质,根据多边形内角和定理列出等式求解即可: n-2) ( ×180°=n×135°,解之得 n=8。故选 B。 2.(浙江宁波 3 分)一个多边形的内角和是 720°,这个多边形的边数是 (A)4 【答案】C。 【考点】多边形的内角和定理。 . 【分析】根据内角和定理 180°?(n-2)=720°,解之,即得 n=6,∴这个多边形的边数是 6。故选 C。 3. (浙江省 3 分) 如图, 在五边形 ABCDE 中, ∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°, AB=BC, AE=DE,在 BC,DE 上分别找一点 M,N,使得△AMN 的周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为 A. 100° 【答案】C。 【考点】等腰直角三角形的性质,三角形内角和定理。 【分析】可证,△AMN 的周长最小时,∠NAM=60°,即∠AMN+∠ANM=120°。故选 C。 4.(辽宁抚顺 3 分)七边形内角和的度数是. A. 1 080° 【答案】D。 【考点】多边形内角和定理。 【分析】根据多边形内角和定理直接计算得出结果:(7-2)×180°=900°。故选 D。 5.(广西百色 3 分)五边形的外角和等于 A.180° B. 360 ° C.540°
用心 爱心

B. 8

C. 7

D. 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

B.110°

C. 120°

D. 130°

B. 1 260°

C. 1 620°

D. 900°

D.720°
专心 1

【答案】B。 【考点】多边形内角和定理,平角定义。 【分析】根据多边形内角和定理,五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°,则由平角定义有五边 形的外角和等于 5×180°-540°=360 °。故选 B。 6.(广西来宾 3 分)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是 A、六边形 【答案】D。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】任何多边形的外角和是 360 度,内角和等于外角和的一半则内角和是 180 度,可知此多边形为 三角形:根据题意,得(n﹣2)?180°=180°,解得:n=3。故选 D。 7. (湖南长沙 3 分) .一个多边形的内角和是 900°,则这个多边形的边数为 A.6 【答案】B。 【考点】多边形内角和定理,解一元一次方程。 【分析】由多边形的内角和等于 900°,根据多边形的内角和定理列出方程,解出即可:设这个多边形 的边数为 n,则有(n-2)180°=900°,解得:n=7,∴这个多边形的边数为 7。故选 B。 8. (广东省 3 分)正八边形的每个内角为 A.120? 【答案】B。 【考点】多边形内角和定理。 【分析】 根据多边形内角和定理, 求出正八边形的内角和为 (8-2) ×180 =1080 , 再平均 1080 ÷8=135 。 故选 C。 9.(广东湛江 3 分)四边形的内角和为 A、180° 【答案】B。 【考点】多边形的内角和定理。 【分析】根据多边形的内角和公式:n 边形的内角和为(n﹣2)?180°,即可得出结果: (4﹣2) ?180°=360° 。故选 B。 B、360° C、540° D、720°
0 0 0 0

B、五边形

C、四边形

D、三角形

B.7

C.8

D.9

B.135?

C.140?

D.144?

用心

爱心

专心

2

10. (山西省 2 分)一个正多边形,它的每一个外角都等于 45°,则该正多边形是 A.正六边形 【答案】C。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】多边形的外角和是 360 度,因为是正多边形,所以每一个外角都是 45°,即可得到外角的个 数,从而确定多边形的边数:∵360÷45=8,∴这个正多边形是正八边形。故选 C。 11.(内蒙古乌兰察布 3 分)如图,已知矩形 ABCD ,一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形,若 这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ,则 M + N 不可能是 A . 360 0 【答案】D。 【考点】图形的分割,三角形和多边形内角和定理。 【分析】条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形,可能有三种情况:①分割线经过两个顶点,多边形 被分成两个三角形,根据三角形内角和定理,得 M + N=360 0 ;②分割线只经过一个顶点,多边形被分 成一个三角形和一个四边形,根据三角形和多边形内角和定理,得 M + N=540 0 ;③分割线不经过顶点, 多边形被分成两个四边形,根据多边形内角和定理,得 M + N=720 0 。因此,M + N 不可能是 630 0 。故 选 D。 12.(四川眉山 3 分)若一个正多边形的每个内角为 150°,则这个正多边形的边数是 A.12 【答案】A。 【考点】多边形内角和定理。 【分析】根据多边形内角和定理,得 150 n =( n -2)180 ,解得 n =12。故选 A。 二、填空题 1. (天津 3 分)如图,六边形 ABCDEF 的六个内角都相等.若 AB=1,BC=CD=3, DE=2,则这个六边形的周长等于 【答案】15。 【考点】多边形内角和定理,补角定义,正三角形的判定和性质。 【分析】如图,把 AF,BC,DE 分别向两边延长,分别交于点 G,H,I。
用心 爱心 专心 3
0 0

B.正七边形

C.正八边形

D.正九边形

B . 540 0

C

720 0

D . 630 0

B.11

C.10

D.9





∵六边形 ABCDEF 的六个内角都相等,

? 6 ? 2 ?1800 =1200 。 ∴根据多边形内角和定理,得六边形的每个内角都是
6
∴△ABG,△CDH,△EFI 的每个内角都是 60 。 ∴△ABG,△CDH,△EFI 和△GHI 都是正三角形。 ∵AB=1,BC=CD=3,DE=2, ∴GH=GB+BC+CH=AB+BC+CD=1+3+3=7。 EF=EI=HI-HD-DE=GH-CD-DE=7-3-2=2。 AF=GI-GA-FI=GH-AB-EF=7-1-2=4。 ∴六边形的周长=AB+BC+CD+DE+EF+AF=1+3+3+2+2+4=15。 2.重庆潼南 4 分) ( 如图, 在△ABC 中, ∠A=80°, D 是 BC 延长线上一点, 点 ∠ACD=150°, 则∠B= 【答案】70°。 【考点】三角形的外角性质。 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质, 即可得出∠B 的度数: ∠B=∠ACD-∠A==150°-80°=70°。 3.(辽宁阜新 3 分) 已知一个多边形的内角和是外角和的 3 倍,则这个多边形为_ 【答案】八。 【考点】多边形的内角和外角和公式。 【分析】根据多边形的内角公式(n-2)×180°和外角和 360°的性质,由条件内角和是外角和的 3 倍, 得 (n-2)×180°=3×360°,解之得 n=8。 4.(广西北海 3 分)若一个多边形的内角和是 900?,则这个多边形是 【答案】七。 【考点】多边形内角和定理。 【分析】根据多边形内角和定理,得(n-2)×180 ?=900?,解之得 n=7。 5.(广西贺州 3 分)已知一个正多边形的一个内角是 120?,则这个多边形的边数是_ 【答案】六。 【考点】多边形内角和定理,一元一次方程的应用。 ▲ . ▲ 边形. ▲ 边形. ▲ .
0

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4

【分析】根据多边形内角和定理,得(n-2)×180 ?=120? n,解之得 n=6。 6.(湖南常德 3 分)四边形的外角和为 【答案】360°。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】∵四边形的内角和为(4﹣2)?180°=360°,而每一个内角和相邻的外角是一组邻补角,∴四 边形的外角和等于 4×180°﹣360°=360°。 7. (江苏无锡 2 分 )正五边形的每一个内角都等于 ▲ °. 【答案】108。 【考点】n 边形的内角和。 【分析】根据 n 边形的内角和定理,直接得出正五边形的内角和是(5-1)×180 =540 ,再除以 5 即得每一个内角。 8.(江苏南京 2 分)如图,过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 l∥CD,则 ∠1= ▲ . 【答案】36 。 【考点】n 边形的内角和。 【分析】利用 n 边形的内角和定理,直接得出正五边形的内角和是(5-2)×180°=540 ,再除 以 5 即得每一个内角等于 108°,则∠1=(180°-108°)÷2=36°。 9. (江西省 A 卷 3 分)如图,在△ABC 中,点 P 是的△ABC 的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 【答案】90°。 【考点】三角形的内切圆与内心,三角形内角和定理。 【分析】∵点 P 是的△ABC 的内心,∴∠PBC= ▲
0 0 0 0





1 1 1 ∠ABC,∠PCA = ∠ACB,∠PAB = ∠BAC, 2 2 2

又∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°。 10.(内蒙古呼伦贝尔 3 分)正 n 边形的一个外角是 30°,则 n= 【答案】12。 【考点】多边形内角和定理,平角定义。 【分析】由正 n 边形的一个外角是 30°,根据平角定义,它的每个内角是 150 。根据多边形内角和定 理,得, (n-2)×180 =n×150 ,解得,n=12。
用心 爱心 专心 5
0 0 0





11.(四川资阳 3 分) 若正 n 边形的一个外角等于 40°,则 n= 【答案】9。 【考点】n 边形的外角和。





【分析】根据 n 边形的外角和为 360°,得 40°n=360°,解得 n=9。 12.(四川广安 3 分)若凸 n 边形的内角和为 1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是 【答案】6。 【考点】多边形的对角线,多边形内角和定理。 【分析】∵凸 n 边形的内角和为 1260°,∴(n-2)×180°=1260°,得,n=9。 ∵从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线,∴9-3=6。 13.(辽宁辽阳 3 分)如图,在正六边形 ABCDEF 的内部,以 AB 为边作正方形 ABMN,连接 MC,则∠BCM 的度数为
0







【答案】75 。 【考点】多边形内角和定理,正方形和正六边形的性质,等腰三角形的性质。 【分析】由多边形内角和定理,得正六边形的每个内角=(6-2)×180 ÷6=120 ; 正方形的每个内角=90 。从而∠BMC=30°。根据等腰三角形等边对等角的性质和 三角形内角和定理,得∠BCM=(180 -30 )÷2=75 。 14.(福建厦门 4 分)若一个 n 边形的内角和为 720°,则边数 n= 【答案】6。 【考点】多边形内角和定理。 【分析】根据多边形内角和定理,得(n﹣2)?180°=720°,解得:n=6。 15.(福建莆田 4 分) 若一个正多边形的一个外角等于 40°,则这个多边形是 【答案】9。 【考点】多边形外角定理。 【分析】 根据任何多边形的外角和都是 360 度, 利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个 数,即多边形的边数:360÷40=9,即这个多边形的边数是 9。 16.(福建南平 3 分)一个机器人从点 O 出发,每前进 1 米,就向右转体 a°(1<a<180),照这样走下 去,如果他恰好能回到 O 点,且所走过的路程最短,则 a 的值等于_ 【答案】120。 ▲ . ▲ _边形。 ▲ .
0 0 0 0 0 0

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6

【考点】多边形外角定理。 【分析】根据多边形的外角和等于 360°,用 360°÷a°,所得最小整数就是多边形的边数,然后再求 出 a 即可:根据题意,机器人所走过的路线是正多边形,∴边数 n=360°÷a°,走过的路程最短,则 n 最小,是 3,此时 a°是 120°。 17.(福建宁德 3 分)如图,人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 ▲ °.

【答案】140。 【考点】多边形内角和定理。 【分析】人民币旧版壹角硬币内部是正 9 边形,根据多边形内角和公式,得

?9 ? 2? ?1800 ? 9x ,解得 x ?1400 。
三、解答题 1.(四川资阳 8 分)如图,A、B、C、D、E、F 是⊙O 的六等分点. (1) 连结 AB、AD、AF,求证:AB+AF = AD;(5 分) (2) 若 P 是圆周上异于已知六等分点的动点,连结 PB、PD、PF,写出这三 条线段长度的数量关系(不必说明理由).(3 分) 【答案】解:(1) 证明:连结 OB、OF。 ∵A、B、C、D、E、F 是⊙O 的六等分点, ∴ AD 是⊙O 的直径,且∠AOB=∠AOF=60°。 ∴ △AOB、△AOF 是等边三角形。 ∴AB=AF=AO。∴AB+AF = AD。

? (2) 当 P 在 BF 上时,PB+PF = PD; ? 当 P 在 BD 上时,PB+PD= PF; ? 当 P 在 DF 上时,PD+PF=PB。
【考点】圆周角定理,正六边形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】 (1)要证 AB+AF = AD,只要证出 AB 和 AF 等于半径即可,故连结 OB、OF,构成三角形,由正 六边形的性质,可证得△AOB、△AOF 是等边三角形,从而根据等边三角形的 性质证得。

? (2)当 P 在 BF 上时,连接 BF,DF,在 PD 上取 PG=PF。则由正六边形
的性质,知 BF=DF,∠BFD=∠DPF=60°。

用心

爱心

专心

7

∴ △PGF 是等边三角形。∴PG=PF=GF,∠PFG=60°。 ∴∠PFB=∠PFG-∠BFG=60°-∠BFG=∠BFD-∠BFG=∠GFD。 ∴△PBF≌△GDF。∴PB=GD。∴PB+PF = PD。

? ? 同理可得,当 P 在 BD 上时,PB+PD= PF;当 P 在 DF 上时,PD+PF=PB。

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