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高中数学第一章解三角形1_3正弦定理余弦定理的应用一学案苏教版必修5

1.3 正弦定理、余弦定理的应用(一) 学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养 提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 知识点一 常用角 思考 试画出“北偏东 60°”和“南偏西 45°”的示意图. 梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语,请查阅资料后填空: (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角. (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平线________时 叫仰角,目标视线在水平线________时叫俯角.(如下图所示) (3)方位角 从指________方向________时针转到目标方向线的角. 知识点二 测量方案 思考 如何不登月测量地月距离? 梳理 测量某个量的方法有很多,但是在实际背景下,有些方法可能没法实施,比如不可到 达的两点间的距离.这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的.设计测量方案的基 本任务是把目标量转化为可测量的量,并尽可能提高精确度.一般来说,基线越长,精确度 越高. 类型一 测量可到达点与不可到达点间的距离 例 1 如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在 的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55 m,∠BAC=51°,∠ACB=75°.求 A、B 两点间的 距离(精确到 0.1 m). 反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意,正确作出图形,把实际问题里 的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解. 跟踪训练 1 在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、C 两点之间的距离为______千米. 类型二 测量两个不可到达点间的距离 例 2 如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A、B 两点间距离的方法. 引申探究 对于例 2,给出另外一种测量方法. 反思与感悟 本方案的实质是把求不可到达的两点 A、B 之间的距离转化为类型一. 跟踪训练 2 如图,为测量河对岸 A,B 两点间的距离,沿河岸选取相距 40 米的 C,D 两点, 测得∠ACB=60°, ∠BCD=45°, ∠ADB=60°, ∠ADC=30°, 则 A, B 两点的距离为________ 米. 1.如图所示,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者与 A 在河的同侧,在所在的河岸边先确定一 点 C,测出 A,C 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A,B 两点的 距离为________ m. 2.如图所示,某人向正东方向走了 x 千米,然后向右转 120°,再朝新方向走了 3 千米,结 果他离出发点恰好 13千米,那么 x 的值是________. 3.如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上 B,D 两点,测出四边形 ABCD 各边 的长度(单位: km): AB=5, BC=8, CD=3, DA=5, A, B, C, D 四点共圆, 则 AC 的长为________ km. 4.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m 高的旗杆,甲观测的仰角为 50°,乙观 测的仰角为 40°,用 d1,d2 分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么 d1,d2 的大小关系是 ________. 1. 运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”, 而测量“两个不可 到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点 间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础,这两类测量距离的题型间既有联系 又有区别. 2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一 个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 梳理 (1)90 (2)上方 下方 (3)北 顺 知识点二 思考 可以在地球上选两点,与月亮构成三角形,测量地球上两点的距离和这两点看月亮的 视角,通过解三角形求得地月距离. 题型探究 例 1 解 根据正弦定理,得 = , sin C sin B 55sin 75° -51°- AB AC ACsin C AB= = sin B = ACsin C = -A-C 55sin 75° ≈65.7(m). sin 54° 所以 A、B 两点间的距离为 65.7 m. 跟踪训练 1 6 例 2 解 测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得∠BCA =α ,∠ACD=β ,∠CDB=γ ,∠BDA=δ . 在△ADC 和△BDC 中,应用正弦定理得 AC= = γ +δ sin[180°- β +γ +δ γ +δ β +γ +δ , a a BC= = asin γ asin γ α +β +γ sin[180°- α +β +γ . 计算出 AC 和 BC 后,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 A 、 B 两点间的距离 AB = AC2+BC2-2AC·BCcos α . 引申探究 解 测量者可以在河岸边选定点 E、C、D,使 A、E、C 三点共线,测得 EC=a,ED=b,并且 分别测得∠BEC=∠AED=α ,∠BCA=β ,∠ADB=γ . 在△AED 和△BEC 中,应用正弦定理得 AE= BE= bsin γ sin[π - α +γ asin β sin[π - α +β = = bsin

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