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一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)


一元二次不等式及其解法
1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为 ax>b(a≠0)的形式. 当 a>0 时,解集为;当 a<0 时,解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为__________ 不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等 式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解: 函数与不等式 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 3.分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为 0,左边化为的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: ?f(x)g(x)>0;<0 ?f(x)g(x)<0; ≥0 ?≤0 ? Δ>0 Δ =0 Δ<0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2) ① {x|x1<x<x2}

有两相等实根 x1=x2=- ② ?

无实根

R ③

()已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B=( A.[-2,-1] C.[-1,1] -1].故选 A. 设 f(x)=x2+bx+1 且 f(-1)=f(3),则 f(x)>0 的解集为( A.{x|x∈R} B.{x|x≠1,x∈R} ) B.[-1,2) D.[1,2)

)

解:∵A={x|x≥3 或 x≤-1},B={x|-2≤x<2},∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,

1

C.{x|x≥1}

D.{x|x≤1}

解:f(-1)=1-b+1=2-b,f(3)=9+3b+1=10+3b, 由 f(-1)=f(3),得 2-b=10+3b, 解出 b=-2,代入原函数,f(x)>0 即 x2-2x+1>0,x 的取值范围是 x≠1.故选 B. 1 1 已知- < <2,则 x 的取值范围是( ) 2 x 1 A.-2<x<0 或 0<x< 2 1 C.x<- 或 x>2 2 1 B.- <x<2 2 1 D.x<-2 或 x> 2

1 解:当 x>0 时,x> ;当 x<0 时,x<-2. 2 1 所以 x 的取值范围是 x<-2 或 x> ,故选 D. 2 1-2x 不等式 >0 的解集是. x+1 1-2x 解:不等式 >0 等价于(1-2x)(x+1)>0, x+1 1 1 x- ?(x+1)<0,所以-1<x< . 也就是? 2 ? ? 2 故填. () 若一元二次不等式 2kx2 + kx -< 0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为 ________. 解: 显然 k≠0.若 k>0, 则只须(2x2+x)max<, 解得 k∈?; 若 k<0, 则只须<(2x2+x)min, 解得 k∈(-3,0).故 k 的取值范围是(-3,0).故填(-3,0).

类型一 一元一次不等式的解法 1? 已知关于 x 的不等式(a+b)x+2a-3b<0 的解集为? 求关于 x 的不 ?-∞,-3?, 等式(a-3b)x+b-2a>0 的解集. 1 -∞,- ?, 解:由(a+b)x<3b-2a 的解集为? 3? ? 3b-2a 1 得 a+b>0,且 =- , 3 a+b 从而 a=2b,则 a+b=3b>0,即 b>0, 将 a=2b 代入(a-3b)x+b-2a>0, 得-bx-3b>0,x<-3,故所求解集为(-∞,-3). 点拨: 一般地,一元一次不等式都可以化为 ax > b(a≠0)的形式 .挖掘隐含条件 a+b > 0 且 3b-2a 1 =- 是解本题的关键. 3 a+b

2

解关于 x 的不等式:(m2-4)x<m+2. 解:(1)当 m2-4=0 即 m=-2 或 m=2 时, ①当 m=-2 时,原不等式的解集为?,不符合 ②当 m=2 时,原不等式的解集为 R,符合 1 (2)当 m2-4>0 即 m<-2 或 m>2 时,x< . m-2 1 (3)当 m2-4<0 即-2<m<2 时,x> . m-2 类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式: (1)x -7x+12>0; (2)-x2-2x+3≥0; (3)x2-2x+1<0; (4)x2-2x+2>0. 解:(1){x|x<3 或 x>4}. (2){x|-3≤x≤1}. (3)?. (4)因为 Δ<0,可得原不等式的解集为 R.
? ?-x+1,x<0, (2013·金华十校联考)已知函数 f(x)=? 则不等式 x+(x+1)f(x ?x-1,x≥0, ?
2

+1)≤1 的解集是(

)

A.{x|-1≤x≤ 2-1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤ 2-1} D.{x|- 2-1≤x≤ 2-1} 解:由题意得不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 等价于①
?x+1<0, ? ? 或 ?x+(x+1)[-(x+1)+1]≤1 ? ? ?x+1≥0, ②? ?x+(x+1)[(x+1)-1]≤1, ?

解不等式组①得 x<-1;解不等式组②得-1≤x≤ 2-1. 故原不等式的解集是{x|x≤ 2-1}.故选 C. 类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于 x 的不等式 x2-bx+c≤0 的解集是{x|-5≤x≤1},求实数 b,c 的值. 解:∵不等式 x2-bx+c≤0 的解集是{x|-5≤x≤1}, ∴x1=-5,x2=1 是 x2-bx+c=0 的两个实数根, ∴由韦达定理知?
? ?-5+1=b, ? ?b=-4, ∴? ?-5×1=c, ? ?c=-5. ?

已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3},求不等式 cx2-bx+a>0 的 解集. 解:∵不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3}, ∴a<0,且 2 和 3 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,由根与系数的关系得

3

- =2+3, ? ? a c ?a =2×3, ? ?a<0.

b

b=-5a, ? ? 即?c=6a, ? ?a<0.

代入不等式 cx2-bx+a>0,得 6ax2+5ax+a>0(a<0). 即 6x2+5x+1<0, 1 1? ? ∴所求不等式的解集为?x|-2<x<-3?.
? ?

类型四

含有参数的一元二次不等式

解关于 x 的不等式:mx2-(m+1)x+1<0. 解:(1)m=0 时,不等式为-(x-1)<0,得 x-1>0,不等式的解集为{x|x>1}; 1 x- ?(x-1)<0. (2)当 m≠0 时,不等式为 m? ? m? 1? ①当 m<0,不等式为? ?x-m?(x-1)>0, 1 1 ? ? ∵ <1,∴不等式的解集为?x|x<m或x>1?. m ? ? 1? ②当 m>0,不等式为? ?x-m?(x-1)<0. 1 ? 1 ? (Ⅰ)若 <1 即 m>1 时,不等式的解集为?x|m<x<1?; m ? ? 1? 1 ? (Ⅱ)若 >1 即 0<m<1 时,不等式的解集为?x|1<x<m?; m ? ? 1 (Ⅲ)若 =1 即 m=1 时,不等式的解集为?. m

点拨: 当 x2 的系数是参数时,首先对它是否为零进行讨论,确定其是一次不等式还是二次不 等式,即对 m≠0 与 m=0 进行讨论,这是第一层次;第二层次:x2 的系数正负(不等号方向) 1 的不确定性,对 m<0 与 m>0 进行讨论;第三层次: 与 1 大小的不确定性,对 m<1、m m >1 与 m=1 进行讨论. 解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解:不等式整理为 ax2+(a-2)x-2≥0, 当 a=0 时,解集为(-∞,-1]. 2 当 a≠0 时,ax2+(a-2)x-2=0 的两根为-1, ,所以当 a>0 时, a 2 ? 解集为(-∞,-1]∪? ?a,+∞?; 2 ? 当-2<a<0 时,解集为? ?a,-1?; 当 a=-2 时,解集为{x|x=-1}; 4

2? 当 a<-2 时,解集为? ?-1,a?. 类型五 x-1 (1)解不等式 ≤1. 2x+1 x-1 x-1 -x-2 x+2 解: ≤1 ? -1≤0 ? ≤0 ? ≥0. 2x+1 2x+1 2x+1 2x+1
?(x+2)(2x+1)≥0, ? x+2 ≥0 ?? 2x+1 ? ?2x+1≠0. 1 得{xx>- 或 x≤-2}. 2

分式不等式的解法

x-2 ※(2)不等式 2 >0 的解集是. x +3x+2 x-2 x-2 解: 2 >0? >0? x +3x+2 (x+2)(x+1) (x-2)(x+2)(x+1)>0, 数轴标根得{x|-2<x<-1 或 x>2}, 故填{x|-2<x<-1 或 x>2}. 点拨: 分式不等式可以先转化为简单的高次不等式, 再利用数轴标根法写出不等式的解集, 如 果该不等式有等号,则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤: (1)移项:使得右端为 0(注意:一定要保证 x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根:就是求 出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根:在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不 需标出准确位置,只需标出相对位置即可).(4)画穿根线:从数轴“最右根”的右上方向左下 方画线,穿过此根,再往左上方穿过“次右根”,一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿” 来记忆.(5)写出不等式的解集:若不等号为“>”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不 等号为“<” ,则取数轴下方穿根线以内的范围;若不等式中含有“=”号,写解集时要考 虑分母不能为零.
? x-2 ? (1)若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x| ≤0?,则 A∩B=( x ? ?

)

A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2}

B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}

? ?x(x-2)≤0, 解:易知 A={x|-1≤x≤1},B 集合就是不等式组? 的解集,求出 B= ?x≠0 ?

{x|0<x≤2},所以 A∩B={x|0<x≤1}.故选 B.
(2)不等式≤0 的解集为( A.B. C.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞) 解:≤0? )

5

得-<x≤1.故选 A. 和一元二次不等式有关的恒成立问题 1? (1)若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈? ?0,2?成立,则 a 的最小值为( 5 A.0 B.-2 C.- 2 D.-3 类型六

)

1? 解:不等式可化为 ax≥-x2-1,由于 x∈? ?0,2?, 1 x+ ?.∵f(x)=错误!在错误!上是减函数, ∴a≥-? ? x? 1? ∴? ?-x-x? max 5 5 =- .∴a≥- . 2 2

(2)已知对于任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值总大于 0,则 x 的 取值范围是( A.1<x<3 C.1<x<2 ) B.x<1 或 x>3 D.x<1 或 x>2

解:记 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,a∈[-1,1], 依题意,只须??x<1 或 x>3,故选 B. 点拨: 对于参数变化的情形,大多利用参变量转换法,即参数转换为变量;变量转换为参数, 把关于 x 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式,化繁为简, 然后再利用一次函数的单调 性,求出 x 的取值范围. 对于满足|a|≤2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>2x+a 成立的 x 的取值 范围. 解:原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0,设 f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在[-
2 ? ? ?f(-2)>0, ? ?x -4x+3>0, ?x>3或x<1, ? ? 2,2]上恒大于 0,故有: 即 2 解得? ?f(2)>0 ?x -1>0 ?x>1或x<-1. ? ? ?

∴x<-1 或 x>3. 类型七 A.a<-1 C.-1<a<1 B.a>1 D.0≤a<1 二次方程根的讨论 ) 若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内有且仅有一解,则 a 的取值范围是(

解法一:令 f(x)=2ax2-x-1,则 f(0)· f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得 a>1. 解法二:当 a=0 时,x=-1,不合题意,故排除 C,D;当 a=-2 时,方程可化为 4x2 +x+1=0,而 Δ=1-16<0,无实根,故 a=-2 不适合,排除 A.故选 B.

1.不等式≤0 的解集是( A.(-∞,-1)∪(-1,2]

) B.[-1,2] 6

C.(-∞,-1)∪[2,+∞)

D.(-1,2] )

解:≤0?≤0,且 x≠-1,即 x∈(-1,2],故选 D. 2.关于 x 的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为,则 m 的取值范围是( A.m>0 C.m> B.0<m<2 D.m<0 )

解:由不等式的解集形式知 m<0.故选 D. 3.()已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为,则 f(10x)>0 的解集为( A.{x|x<-1 或 x>lg2} C.{x|x>-lg2} 选 D. 4.()在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴 影部分), B.{x|-1<x<lg2} D.{x|x<-lg2}

解:可设 f(x)=a(x+1)(a<0),由 f(10x)>0 可得(10x+1)<0,从而 10x<,解得 x<-lg2,故

则其边长 x(单位:m)的取值范围是( A.[15,20] C.[10,30] B.[12,25] D.[20,30]

)

解:设矩形的另一边为 ym,依题意得=,即 y=40-x, 所以 x(40-x)≥300,解得 10≤x≤30.故选 C. 5.若关于 x 的不等式 2x2-8x-4-a>0 在(1,4)内有解,则实数 a 的取值范围是( A.a<-12 C.a>-12 B.a>-4 D.a<-4 )

解:关于 x 的不等式 2x2-8x-4-a>0 在(1,4)内有解,即 a<2x2-8x-4 在(1,4)内 有解, 令 f(x)=2x2-8x-4=2(x-2)2-12, 当 x=2 时, f(x)取最小值 f(2)=-12; 当 x=4 时, f(4)=2(4-2)2-12=-4,所以在(1,4)上,-12≤f(x)<-4.要使 a<f(x)有解,则 a<-4. 故选 D. 6.若不等式 x2-kx+k-1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是____________. 解:∵x∈(1,2),∴x-1>0.则 x2-kx+k-1=(x-1)(x+1-k)>0,等价于 x+1-k>0, 即 k<x+1 恒成立,由于 2<x+1<3,所以只要 k≤2 即可.故填(-∞,2].

7.()已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数
m 的取值范围是________. 解:由题可得 f(x)<0 对于 x∈[m,m+1]恒成立,即解得-<m<0.故填 -

? ?

2 ? ,0 . 2 ?

8.若关于 x 的不等式 x2-ax-a≤-3 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围. 解:x2-ax-a≤-3 的解集不是空集?x2-ax-a+3=0 的判别式 Δ≥0,解得 a≤-6 或 a≥2. 9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; 7

(2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3), ∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0. 因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x =ax2-(2+4a)x+3a.① 由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0.② 因为方程②有两个相等的实根,所以 Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 即 5a2-4a-1=0,解得 a=1 或 a=-. 由于 a<0,舍去 a=1,将 a=-代入①得 f(x)的解析式 f(x)=-x2-x-. (2)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a-, 及 a<0,可得 f(x)的最大值为-. 由解得 a<-2-或-2+<a<0. 故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (-∞,-2-)∪(-2+,0). 10.解关于 x 的不等式:>1(a>0). 解:(x-2)[(a-1)x+2-a]>0, 当 a<1 时有(x-2)<0, 若>2,即 0<a<1 时,解集为{x|2<x<}; 若=2,即 a=0 时,解集为?; 若<2,即 a<0 时,解集为{x|<x<2}.

8


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