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2019年高考数学复习57绝对值不等式文北师大版27

课时分层训练(五十七) 绝对值不等式 1.(2018·榆林模拟)已知函数 f(x)=|x-2|. (1)求不等式 f(x)+x2-4>0 的解集; (2)设 g(x)=-|x+7|+3m, 若关于 x 的不等式 f(x)<g(x)的解集非空, 求 实数 m 的取值范围. [解] (1)由题意,知 x-2>4-x2(x≥2)或 x-2<x2-4(x<2), 1分 由 x-2>4-x2(x≥2)得 x>2;由 x-2<x2-4(x<2), 得 x<-1, ∴原不等式的解集为{x|x>2 或 x<-1}. (2)问题等价于|x-2|+|x+7|<3m 的解集非空, ∵|x-2|+|x+7|≥|x-2-x-7|=9, 8分 ∴3m>9,∴m>3. 2.若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,求实数 a 的值. [解] 当 a=-1 时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意; 10 分 3分 4分 5分 -3x-1+2a,x≤a, ? ? 当 a<-1 时,f(x)=?x-1-2a,a<x≤-1, ? ?3x+1-2a,x>-1, 3分 f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5, 解得 a=-6; 5分 -3x-1+2a,x≤-1, ? ? 当 a>-1 时,f(x)=?-x+1+2a,-1<x≤a, ? ?3x+1-2a,x>a, 7分 f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5, 解得 a=4. 综上所述,实数 a 的值为-6 或 4. 10 分 3.(2018·秦皇岛模拟)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=-3 时, 9分 不等式 f(x)≥3 化为|x-3|+|x-2|≥3.(*) 若 x≤2 时,由(*)式,得 5-2x≥3,∴x≤1. 若 2<x<3 时,由(*)式知,解集为?. 若 x≥3 时,由(*)式,得 2x-5≥3,∴x≥4. 综上可知,f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}. (2)原不等式等价于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,(**) 当 1≤x≤2 时,(**)式化为 4-x-(2-x)≥|x+a|, 解得-2-a≤x≤2-A. 由条件,[1,2]是 f(x)≤|x-4|的解集的子集, ∴-2-a≤1 且 2≤2-a,则-3≤a≤0, 8分 4分 故满足条件的实数 a 的取值范围是[-3,0]. 4.(2018·福建六校联考)已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; 10 分 (2)若关于 x 的不等式 f(x)-log2(a2-3a)>2 恒成立,求实数 a 的取值范 围. 【00090379】 [解] 3 ? ?x> , (1)原不等式等价于? 2 ? ? 2x+1 或 + 2x-3 6 1 3 ? ?- ≤x≤ , 2 ? 2 ? ? 2x+1 - 2x-3 6 1 ? ?x<- , 2 或? ? ?- 2x+1 - 2x-3 6, 3 1 3 1 解得 <x≤2 或- ≤x≤ 或-1≤x<- , 2 2 2 2 ∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤2}. 3分 4分 (2)不等式 f(x)-log2(a2-3a)>2 恒成立?log2(a2-3a)+2<f(x)恒成立 ?log2(a2-3a)+2<f(x)min 成立, ∵|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, ∴f(x)的最小值为 4,∴log2(a2-3a)+2<4, 6分 7分 ? ?a2-3a>0, 即? 2 ? ?a -3a-4<0, 解得-1<a<0 或 3<a<4, ∴实数 a 的取值范围为(-1,0)∪(3,4). 5.(2018·肇庆模拟)已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+A. (1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (2)若存在 x∈R,使得 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值范围. [解] (1)由 f(x)≥g(x), 9分 10 分 得|x+1|≥2|x|, 两边平方,并整理得(3x+1)(x-1)≤0, 1 解得- ≤x≤1, 3 2分 ? ?? ? 1 所以原不等式的解集为?x?- ≤x≤1 ? 3 ? ? (2)由 f(x)≥g(x),得|x+1|≥2|x|+a, 即|x+1|-2|x|≥A. 令 F(x)=|x+1|-2|x|, 依题意可得 F(x)max≥A. ? ? ?. ? ? 4分 5分 1-x,x≥0, ? ? F(x)=|x+1|-2|x|=?3x+1,-1<x<0, ? ?x-1,x≤-1, 7分 易得 F(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 所以当 x=0 时,F(x)取得最大值 1. 故 a 的取值范围是(-∞,1]. 6.(2017·郑州质检)已知函数 f(x)=|3x+2|. (1)解不等式|x-1|<f(x); 9分 10 分 1 1 (2)已知 m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤ + (a>0)恒成立,求实 m n 数 a 的取值范围. [解] (1)依题设,得|x-1|<|3x+2|, 1 3 所以(x-1)2<(3x+2)2,则 x>- 或 x<- , 4 2 ? ?? 1 3 ? 故原不等式的解集为?x?x>- 或x<- 4 2 ? ? ? (2)因为 m+n=1(m>0,n>0), 1 1 ? ? ?.4 分 ? ? ? 1 1? m n ? ? 所以 + =(m+n)? + ?=2+ + ≥4, m n n m ?m n? 1 当且仅当 m=n= 时,等号成立. 2 令 g(x)=|x-a|-f(x)=|x

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