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2012年广东高考文科数学卷(含答案)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设 i 为虚数单位,则复数
3? 4i i

?
C. 4 ? 3i D. 4 ? 3i

A. ? 4 i ? 3i

B. ? 4 i ? 3i

2.设集合 U={1.2.3.4.5.6},M={1.3.5},则 ?U M =

A.{2.4.6}

B.{1.3.5}

C.{1.2.4}

D.U

???? ??? ? ???? 3.若向量 A B ? (1, 2 ) , B C ? (3, 4 ) ,则 A C ?

A.(4.6) B.(-4,-6) 4.下列函数为偶函数的是
A . y ? sin x

C.(-2,-2) D.(2,2)

B. y ? x
3

C . y? e D. y? l n
x

x?
2

1

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 . 则 z=x+2y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?

A.3

B.1

C.-5

D.-6

6.在 ? A B C 中,若 ? A =60°, ∠B=45°,BC=3 2 ,则 AC=
3 2

A.4 3

B 2 3

C.

3

D

7.某几何的三视图如图 1 所示,它的体积为

A.72π

B 48π

C.30π

D.24π

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x + y =4 相交 A、B 两点,则弦 AB 的长等于 A.3 3 B2 3 C 3 D1

2

2

9.执行如图 2 所示的程序图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为

A.105

B.16

C.15
? ?? ? ??

D.1

10.对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义 ? ?? =

. 若两个非零的平面向量 a,b 满

足 a 与 b 的夹角 ? ? ?
5 2

?? ? 4

,

? ?

?n ? ? ,且 a .b 和 b .a 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a .b = 2 ? ? ?2

A.

B.

3 2

C.1

D.

1 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ?
x ?1 x

的定义域为
1 2

.
, 则 a1 a 3 a 5 ?
2

12.若等比数列{an}满足 a 2 a 4 ?

.

13.由正整数组成的一组数据 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这 组数据为 .(从小到大排列)

(二) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xO y 中,曲线 C 1 和 C 2 的参数方程分

? 2 t ?x ? 1? ?n ? ? ?n ? 2 别为 ? | n ? Z ? ? | n ? Z ? ( ? 为参数, (0 ? ? ? ) ? (t 为参数) ,则曲线 2 ? ?2 ? ?2 2 y ? ? t ? ? 2
C 1 和 C 2 的交点坐标为

.

15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是玄 AC 上的点, . ? P B A ? ? D B A .若 AD=m,AC=n,则 AB=

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) x ? ? 已知函数 f ( x ) ? A co s( ? ), x ? R, 且 f ( ) ? 2 .
4 6 3

(1)求 A 的值; (2)设 ? ? ? ? ? 0,
? ?

? ?
2? ?

, f (4 ? ?

4 3

?) ? ?

30 17

, f (4 ? ?

2 3

?) ?

8 5.

求 co s( ? ? ? ) 的值.

17.(本小题满分 13 分) 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:
[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90,100] .

(1)求图中 ? 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分. (3)若这 100 名学生语文成绩某些份数段的人数(x)与数学成绩 相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在 [50, 90) 之外 的人数.

18(本小题满分 13 分) 如图 5 所示, 在四棱锥 P ? A B C D 中,A B ? 平 面 P A D , A B / / C D , P D ? A D , E 是 PB 的 中 点 , F 是 CD 上 的 点 , 且
D F? 1 2 A ,B H P

为 ? P A D 中 A D 边上的高。

(1)证明: P H ? 平 面 A B C D ;
, (2)若 P H ? 1, A D ? 2, F C ? 1 求三棱锥
E ? B C F 的体积;

(3)证明: E F ? 平 面 P A B . 19. (本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 前 n 项和为 S n ,数列 ? S n ? 前 n 项和为 T n ,满足 T n ? 2 S n ? n 2 , n ? N * . (1)求 a 1 的值; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式.
20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 x O y 中,已知椭圆 C 1 : 且点 P (0,1) 在 C 1 . (1) 求椭圆 C 1 的方程; (2) 设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 ( ? 1, 0 ) ,

21.(本小题满分 14 分) 设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? { x ? R | x ? 0}, B ? { x ? R | 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0}, D ? A ? B .
2

(1) 求集合 D (用区间表示) (2) 求函数 f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D 内的极值点.
3 2

【试卷总评】

一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
3 ? 4i

1 设 i 为虚数单位,则复数 A -4-3i B -4+3i

i

= D 4-3i

C 4+3i

2 设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,3,5} 则 A {2,4,6} B {1,3,5} C {1,2,4} D .U

CU M ?

???? ???? ??? ? B C =(3,4) 3 若向量 A B =(1,2) , ,则 A C =

A (4,6) B (-4,-6) 【答案】A

C (-2,-2)

D (2,2)

【解析】因为 A C = A B + B C = ( 4, 6 ) ,所以选 A. 【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算(加法),属基础题.

????

??? ?

????

4 下列函数为偶函数的是 A y=sinx B y= x 【答案】D 【解析】观察可得:四个选项的定义域均为 R,且只有函数 y=ln x ? 1 是偶函数,故选 D.
2
3

C y= e

x

D y=ln x ? 1
2

【考点定位】本题考查函数的性质(奇偶性),属基础题.
?x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 ?x ?1 ? 0 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ? ,则 z=x+2y 的最小值为

[来源:Ks5u.com]

A.3

B.1

C.-5

D.-6

6.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, BC= 3 2 ,则 AC=
3

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

2

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为

A.72π

B.48π

C.30π

D.24π

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x?+y?=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的 长等于 A. 3 3 【答案】B 【解析】因为弦心距为 d ? 1 ,所以弦 AB 的长等于 2 4 ? 1 ? 2 3 ,故选 B. 【考点定位】本题考查直线与圆相交的位置关系,属中档题. 9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为 B. 2 3 C. 3 D.1

ks5u.com

A.105

B.16

C.15

D.1

?

?

10.对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义
? ?
? ? ? ?

.若两个非零的平面向量 a 和 b ,
? ?

满足 a 与 b 的夹角
5 3

,且 a ? b 和 b ? a 都在集合
1

中,则 a ? b =

A. 2

B. 2

C.1

D. 2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题)

11.函数

的定义域为__________。

【答案】 [ ? 1, 0) ? (0, ? ? ) 【解析】要使函数有意义,须满足 x ? 1 ? 0 且 x ? 0 ,解得定义域为 [ ? 1, 0) ? (0, ? ? ) . 【考点定位】本题考查函数的定义域,属容易题. ,则

12.若等比数列{an}满足 a2a4=
1

【答案】 4

[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

【解析】因为是等比数列,所以

a1 a 5 ? a 2 a 4 ? a 3 ?
2

1
2

1

2 ,所以 a1 a 3 a 5 = 4 .

【考点定位】本题考查等比数列的性质, 属容易题. 13.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1, 则这组数据为__________。 (从小到大排列) 【答案】1,2,2,3 【解析】由题意知:x2+x3=4,x1+x4=4,容易得答案. 【考点定位】本题考查平均数与中位数及标准差的求解. (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14, (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

为 点坐标为_______。



,则曲线 C1 与 C2 的交

15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点, ∠PBA=∠DBA,若 AD=m,AC=n,则 AB=_________。

【答案】 m n 【解析】由弦切角定理知: ∠PBA=∠ACB,又因为∠PBA=∠DBA,所以∠DBA =∠ACB,
m ? AB n ,解得 AB=

所以 ? A B D ? ? A C B , A B

mn .

【考点定位】本题考查三角形相似与弦切角定理. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求 A 的值; (2)设 值. , , ,求 cos(α +β )的 ,x∈R,且 .

17.(本小题满分 13 分) 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之 比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的
1

中点,F 是 DC 上的点且 DF= 2 AB,PH 为△PAD 边上的高.

(1) 证明:PH⊥平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF⊥平面 PAB.
P 【解析】 (1)证明:因为 PH 为△PAD 边上的高,所以 PH⊥AD,又因为 AB⊥平面 PAD, H ?

平面 PAD,所以 AB⊥PH,又因为 PH ? AD=H,所以 PH⊥平面 ABCD; (2)因为 E 是 PB 的中点,所以点 E 到平面 BCF 的距离 d 等于点 P 到平面 ABCD 距离的一
2 2 1 AD ?CF S ?BCF ? 2 半,即 d = 2 ,又因为 = 2 ,所以三棱锥 E-BCF 的体积为 1 2 ;
1

19. (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,n∈N . (1) 求 a1 的值; (2) 求数列{an}的通项公式.


20.(本小题满分 14 分)
x
2 2

在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C1: a 点 P(0,1)在 C1 上。 (1) 求椭圆 C1 的方程;
[来源:Ks5u.com]

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左焦点为 F1(-1,0) ,且

(2) 设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2: y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

x
2

2

【解析】(1)由题意知: c ? 1 , b ? 1 ,所以 a ? 2 ,故椭圆 C1 的方程为 2

? y ?1
2

.

? ? 0 ,整理得: m ? 2 k ? 1 ? ? ? ②,解①②得: m ? 2 ,即
2 2 2

m ?

2,k ?

2 2 或

21.(本小题满分 14 分) 设 0<a<1,集合 (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 在 D 内的极值点.

1

? a ?1

当3
a ? 1

时,集合 B= ? ,所以集合 D= A ? B ? ? ;



3 时,集合 B= ? x | x ? 1? ,此时集合 D= ? x | x ? 0 且 x ? 1? .


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