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四川省南山中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题

2012 年 4 月

绵阳南山中学 2012 年春季高 2013 级半期考试 数 学 试 题(理科)
命题人:龙小平 审题人:王怀修

第 I 卷(选择题 共 48 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知向量 a =(1,1,0) b =(-1, 0,2) , ,且 k a + b 与 2 a - b 互相垂直,则 k 的 值是( A.1 ) B.
x

1 5

C.

7 5

D. )

3 5

2、函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞)

3、若正四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的底面边长为 1, A B1 与底 面 A B C D 成 60°角, A1 C 1 到底面 A B C D 的距离为 则 (
3 3



A.

B.1

C. 2

D. 3

4、如图,函数 y ? f ?x? 的图象在点 P 处的切线方程是
y ? ? x ? 8 ,则 f ? 5 ? ? f ? ? 5 ? ? (

) D.0
4

A.2

B. 1

1 C.2
1 ? 3i 3?i

5、i 是虚数单位,已知复数 Z ? 落在( ) A.第一象限

? (1 ? i ) ,则复数 Z 对应点

B.第二象限

C.第三象限
??? ??? ???? ? ?

D.第四象限
????

6、已知空间四边形 O A B C ,其对角线为 O B , A C , M , N 分别是边 O A , C B 的中点,点 G 在 线段 M N 上,且使 M G ? 2 G N ,用向量 O A , O B , O C 表示向量 O G 是
???? 1 ??? 1 ??? ? ? 1 ???? A. O G ? O A ? O B ? O C 6 3 3 ???? ??? ? 2 ??? ? 2 ???? C. O G ? O A ? O B ? O C 3 3 ???? 1 ??? ? B. O G ? O A ? 6 ???? 1 ??? ? D. O G ? O A ? 2 ? 1 ??? OB ? 3 ? 2 ??? OB ? 3 2 ???? OC 3 2 ???? OC 3





7、给出定义:若函数 f 则称 f

? x ? 在 D 上可导,即
f
//

f

/

? x ? 存在,且导函数
f
/

f

/

? x ? 在 D 上也可导,

记 ? x ? 在 D 上存在二阶导函数,

? x ? =?
? ?

若 ? x ?? ,
/

f

//

? x ? <0 在 D 上恒成立,


则称 f

? x ? 在 D 上为凸函数,以下四个函数在 ? 0 , ? x ? = sin x ? cos x ? x? =? x3 ? 2x ? 1
2

? ?

? 上不是凸函数的是( 2 ?

A. f C. f

B. f D. f

? x ? = ? xe ? x ? x ? =㏑ x ? 2 x


8、给出的下列不等式中,不成立的是( A. x ? x ? 0, x ? (0,1) C. ln x ? x , x ? 0
x

B. sin x ? x , x ? (0, ? ) D. e ? 1 ? x , x ? 0

9、2008 年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五 名志愿者中选派四人分别 从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余 三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A. 48 种 B. 36 种 C. 18 种 ) D. 12 种 )

10、曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上 的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 ( A. 3 5
3

B. 2 5

C. 5

D.0

11、若函数 f ( x ) ? x ? 12 x 在区间 ( k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) A. ? 3 ? k ? ? 1或 1 ? k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 B. k ? ? 3或 ? 1 ? k ? 1或 k ? 3 D .不存在这样的实数 k

12、已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ? 1, 5 ? ,部分对应值如下表, f ( x ) 的导函数 y ? f ? ( x ) 的图 像如 图所示.下列命题中,真命题的个数为 ( ) .

第 12 题图
2 ① 函数 y ? f ( x ) 是周期函数;② 函数 f ( x ) 在 ? 0, ? 是减函数;③ 如果当 x ? ? ? 1, t ? 时,

f ( x ) 的最大值是 2 , 那么 t 的最大值为 4 ; 当 1 ? a ? 2 时, ④ 函数 y ? f ( x ) ? a 有 4 个零点,

其中真命题的个数是 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 第 II 卷(非选择题 共 52 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分,把答案填在答题

卷的相应位置。 13、函数 f ( x ) ? x ? e
2 x ?1

, x ? ?? 2 ,1? 的最大值为
?

14、如图, A1 B1C 1 ? A B C 是直三棱柱,? B C A ? 9 0 ,点 D 1 、 F1 分别是 A1 B1 , A1 C 1 的中点, 若 B C ? C A ? C C 1 ,则 B D1 与 A F1 所成角的余弦值为 15、设 f ( x ) 是偶函数,若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1,则该曲线在点
( ? 1, f ( ? 1)) 处的切线的斜率为

16、给出下列命题: ①某校开设 A 类选修课 3 门 ,B 类选修 课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中 各至少选一门,则不同的选法共有 60 种; ②对于任意实数 x,有 f ( ? x ) ? ? f ( x ), g ( ? x ) ? g ( x ), 且 x ? 0时 , f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0 , 则
x ? 0时 , f ' ( x ) ? g ' ( x );

③已知点 M 在平面 ABC 内, 并且对空间任一点 O ,OM ? x OA ? 值为 1;

1 2

OB ?

1 3

OC

, x的 则

④在正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,若 AB ? 2 , A A1 ? 1 ,则点 A 到平面 A1 B C 的距离为

3 2 ,



中正确命题的序号是 三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答 写在答题卷上的指定区域内。 17、 (本题满分 10 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, O 是底面 ABCD 对角线的交点. (1)求证:A1C⊥平面 AB1D1; (2)求 直线 AC 与平面 AB 1 D 1所成角的正切值
3

D1 B1

C1

A1


2

D O

C B

18、 (本题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c ,曲线
y ? f ( x ) 在点 x ? 1 处的切线为 l : 3 x ? y ? 1 ? 0 ,若 x ?
2 3

A

时, y ? f ( x ) 有极值.

(1)求 a , b , c 的值; (2)求 y ? f ( x ) 在 ? ? 3,1 ? 上的最大值和最小值.
P

19、 (本题满分 10 分)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形,PD⊥底面 ABCD, E,F 分别为棱 BC、AD 的中点.
D F A B E
C

(1)求证:DE∥平面 PFB; (2)已知二面角 P-BF-C 的余弦值为 求四棱锥 P-ABCD 的体积. 20、 (本题满分10分)已知函数 f ? x ? ? x ?
a
2

6 6



x

, g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 .

(1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1 , x 2 ? ?1, e ? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x 2 ? 成立,求实数 a 的取值范围. 绵阳南山中学 2012 年春季高 2013 级半期考试数学试题参考答案及评分标准 一、选择题: CDDAB ABDBC A D 二、填空题: (13) e
2

D1

C1 B1

(14)

30 10

(15) -1

(16)②④

A1

三、解答题 17 证明: (1) ? C C 1 ? 面 A1 B1C 1 D 1
?C C ? 1 B D 1 !

D

C O B

1分
A

又? A1C 1 ? B1 D 1 , ? B1 D1 ? 面 A1 C 1 C
即 A1C ? B1 D1

2分 3分 4分

同理可证 A1C ? A B1 , 又 D 1 B1 ? A B 1 ? B 1
? A1 C ? 面 A B1 D 1

5分

(2)法 1:建系求解,求出平面的法向量得 7 分,直线 AC 的向量得 8 分,求出正确结果的得 10 分; 法 2: 直线 AC 与平面 A B1 D 1 所成的角实际上就是正四面体 ACB1D1 的一条棱与一个面所成的角, 余弦值为
3 3

,从而正切值为

2



法 3:直线 AC 与平面 A B1 D 1 所成 的角实际上就是直线 AC 与平面 A B1 D 1 所成的角 法 2、法 3 指出线面角得 8 分,计算出正确结果得 10 分
3 2 2 18、解: (1)由 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? c 得, f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? b

1分 2分 3分

当 x ? 1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2 a ? b ? 0 当x ?
2 3



时, y ? f ( x ) 有极值,得 f ? ( ) ? 0
3

2

可得 4 a ? 3 b ? 4 ? 0



由①②解得 a ? 2, b ? ? 4 由于切点的横坐标为 x ? 1 ∴ f (1) ? 4 ∴1 ? a ? b ? c ? 4 ∴c ? 5 (2)由(1)可得 f ( x ) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5
3 2 2 ∴ f ?( x ) ? 3 x ? 4 x ? 4

4分

5分

6分
2 3

令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ? 2 , x ?

7分

当 x 变化时 , y ?, y 的取值及变化如下表: 真确列出表得 9分

x
y?
y

?3

( ? 3, ? 2 )

?2

(?2,

2 3

)

2 3

(

2 3

,1)

1

+
8

0 13
95 27

-

0
95 27

+ 4 10 分

∴ y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为

19、解: (Ⅰ)因为 E,F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC,AD 的中点, 所以 B E ∥ F D , 所以, B E D F 为平行四边形, 得 ED // FB , 又因为 F B ? 平面 PFB,且 E D 2分 3分 4分
?

z

P

平面 PFB, 5分
F D E B
C

所以 DE∥平面 PFB. (Ⅱ)如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 设 PD=a, 可得如下点的坐标: P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有 :
??? ? ??? ? P F ? (1, 0, ? a ), F B ? (1, 2, 0 ),

y

6分 A
x

因为 PD⊥底面 ABCD,所以平面 ABCD 的 一个法向量为 m ? (0, 0,1) , 设平面 PFB 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则可得

7分

???? ? PF ? n ? 0 ? ? ? ??? ? FB ? n = 0 ?
? ?x? a z 0 ? ? x + 2y = 0
? 1 a ,y ? ? 1 2



令 x=1,得 z

,所以 n

? (1, ?

1 1 , ). 2 a

8分

由已知,二面角 P-BF-C 的余弦值为
1 co s < m , n > ? m ?n | m || n | ? 5 4 a ? 1 a
2

6 6

,所以得:

?

6 6

,

解得 a =2. 因为 PD 是四棱锥 P -ABCD 的高, 所以,其体积为 V P ? A B C D 20、解:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?
a x
2 2

9分
8 3

?
2

1 3

?2?4 ?

.

10 分

a

x

? ln x ,其定义域为 ? 0 ,? ? ? ,

?

1 x



1分 2分 3分

∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h ? ? 1 ? ? 0 , 即3 ? a ? 0 .
2

∵ a ? 0 ,∴ a ?

3.

4分

(2) 对任意的 x1 , x 2 ? ?1, e ? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x 2 ? 成立等价于对任意的 x1 , x 2 ? ?1, e ? 都有 ? f ? x ? ? ≥ ? g ? x ? ? ? ? m in ? ? m ax . 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?
1 x ?0.

5分

∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1, e ? 上是增函数. ∴ ? g ? x ?? ? ?
m ax

? g ?e? ? e ? 1 .

6分 ,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 .

∵ f ?? x? ? 1 ?

a x

2 2

?

?x ? a??x ? a?
x
2

①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?
a
2

?x ? a??x ? a?
x
2

?0,

在[1, e ]上是增函数,
2

x

∴ ? f ? x ?? ? ? m in ? f ? 1 ? ? 1 ? a . 由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时,
2

7分

若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ? 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?
a
2

?x ? a??x ? a?
x
2

?0, ?0.

?x ? a??x ? a?
x
2

x

在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a, e ? 上是增函数.

∴ ? f ? x ?? ? ? m in ? f ? a ? ? 2 a . 由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1 ≤ a ≤ e ,∴
e ?1 2

e ?1 2

, 8分

≤a ≤e .

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ? 由e ?
a
2

?x ? a??x ? a?
x
2

?0, a
2

a

2

x

在 ?1, e ? 上是减函数.∴ ? f ? x ? ? ? ? m in ? f ? e ? ? e ?

.

e

≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e .
, ?? ? . 综上所述, a 的取值范围为 ? ? 2 ? ?e ?1 ?

9分 10 分


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