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2002年瓯海中学理科实验班选拔考试数学试卷

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2002 年瓯海中学理科实验班选拔考试数学试卷
考生须知:本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟。 一.填空题:(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。) 1. 2.
2 2 化简: ( a ? 2) ? ( 2 ? a ) ?



规定两数 a、b 通过 "? " 运算得到 4ab ,即 a ? b ? 4ab 。例如, 2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 6 ? 48 。若不 论 x 是什么数时,总有 a ? x ? x ,则 a ? 。 B O A y

3.

m 一 次 函 数 y ? x ? m 的 图 象 如 图 所 示 , 则 ?AOB 的 面 积 等 a
于 。 已知:如图, A、B、C、D 四点对应的实数都是整数,若点 A 对应 于实数 a ,点 B 对应于实数 b ,且 b ? 2a ? 7 ,那么数轴上的原 点应是 点。

4.

A

BC


D

5. 6.

已知一个梯形的四条边长分别为 1,2,3,4,则此梯形面积等于 如图,直角 ?ABC 中, ?ABC ? 90 , ?A ? 31 , ?ABC 绕点 B 旋转 A
? ?

至 ?A BC 的位置,此时 C 点恰落在 A C 上,且 A B 与 AC 交于 D
' '

'

'

'

D B C′ C

A′

点,那么 ?BDC ? 7.

度。

如图, l1与l2 是同一平面内的两条相交直线,它们有一个交点。如果 在这个平面内,再画第三条直线 l3 ,那么这三条直线最多可有 交点; 如果在这个平面内再画第 4 条直线 l 4 ,那么这 4 条直线最多 个

?1 ?2


8.

有 个交点。由此,我们可以猜想:在同一平面内,6 条直线 最 多可有 个交点, n ( n 为大于 1 的整数)条直线最多可有 个交点(用含 n 的代数式表示) 。 有左、中、右三个抽屉,左边的抽屉里放 5 个白球,中间的抽屉里放 1 个红球与 1 个白球, 右边的抽屉里放 2 个红球与 1 个白球, 则从三个抽屉里任取一个是红球的概率是________ 。 已知 A P E B C D

1 b?c 。 (b ? c)2 ? (a ? b)(c ? a)且a ? 0, 则 ? 4 a 10. 如图,正方形 ABCD 的边长是 1, E 为 CB 延长线上一点,连
9.

ED交AB于P,且PE= 3 , 则 BE ? PB 的值为
11. 如果 ? 是锐角,那么 sin ? ? cos? 的值是
1



二.选择题:(本题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。每小题只有一个符合题意的答案) ( )

( A )小于 1
2

( B )等于 1 ( C )大于 1

( D )任意实数。 ( ( D )以上答案都不对。 ( ) )

12. 使不等式 x ? x 成立的 x 的取值范围是 ( A ) x ?1 ( B ) x ? ?1 ( C ) ?1 ? x ? 1

13. 以半径为 1 的圆内接正三角形, 正方形, 正六边形的边心距为三边作三角形, 则 ( A )不能构成三角形 ( C )这个三角形不是直角三角形 ( B )这个三角形是等腰三角形 ( D )这个三角形是直角三角形。
?

14. 如图,直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?B ? 90 , AD ? BC ? CD, 若腰 CD 上有一点

P, 使AP ? BP ,这样的点有(
( A )0 15. ( B )1 ( C )2

)个 ( D )无数。

A

D P C

A、B、C 三种物质的质量与体积关系如图所示, ? 表
示物质的密度,由图可知 ( ) 1000 ( A ) ? A ? ? B ? ?C 且?C ? ?水 ; ( B ) ? A ? ? B ? ?C 且? A ? ?水 ; ( C ) ? A ? ? B ? ?C 且?C ? ?水 ; ( D ) ? A ? ? B ? ?C 且? A ? ?水 。 O

B m(千克) A

B

C

0.5

1

1.5

V(米 3)

三.解答题:(本题有 5 小题,,共 60 分。) 16. (本题 12 分)设 a, b 是关于 x 的方程 kx ? 2(k ? 3) x ? (k ? 3) ? 0 ( k 是非负整数)的两个
2

不相等的实数根,一次函数 y ? (k ? 2) x ? m 与反比例函数 y ? (1) 求 k 的值; (2) 求一次函数和反比例函数的解析式。

n 的图象都经过 (a, b) , x

2

17. (本题 12 分)如图,梯形 ABCD 中, AD // BC, AB ? DC, E、F 分别是 AB、AD 的中点, 直线 EF 分别交 CB、CD 的延长线于

G、H,且BC:AD=7:4,AC=28,试求 GH 的长。
E G B

A

F

H D

C

18. (本题 12 分)如图,设 ?ABC 是直角三角形,点 D 在斜边 BC 上, BD ? 4DC ,已知圆过 点 C且与AC 相交于 F ,与 AB 相切于 AB 的中点 G , 求证: AD ? BF 。 G C D B A F

3

19. (本题 12 分)在 ?ABC 中, (1) 若角 C ? 90? , cos A ?
?

12 , 求 sin B 的值; 13
?

(2) 若角 A ? 35 , 角B ? 65 ,试比较 cos A与sin B 大小,说明理由; (3) 若此三角形为任意锐角三角形,能否判断出

cos A ? cos B ? cos C与sin A ? sin B ? sin C 的大小?若能,请证明你的结论;若不
能,请说明理由。

20. (本题 12 分)学校暑期组织教工到 A 地旅游,人数估计在 10 至 25 人之间,甲,乙两旅行 社的服务质量相同,且组织到 A 地旅游的价格都是每人 2000 元,甲旅行社表示可给予每位 游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,其余游客八折优惠,问该学 校应如何合理组织安排此次活动,使其支付的旅游费用较少?

4

2002 年理科实验班选拔考试数学试卷参考答案
一、 填空题: 1、4-2a 2 、 8、 二、

1 4

3、10、1

1 10 am 4、C 5、 2 6、93 7、3,6,15,1+2+ ---+(n-1) 2 3

7 18

9、2

选择题: 11、C 12、D 13、D 三、 解答题: 16、1)K = 1

14、C

15、B

2)y = -x + 4 ;y =

?2 x

17、解:连接 BD ?AD∥BC , AE = EB

? ?
?

1 BC 7 AD ? = 2 AD 4 BC 7 CB 7 BC = = ? GB 1 2 CG 9 AD 2
GB = AF =

?

FD ∥ GB 且 FD = GB

? BD ? BC ? 7
GH CG 9

? FDBG 为平行四边形? BD ∥ GH 又?ABCD 为等腰梯形 ?BD = AC =28 GH = 36 ? DE ? CD ? 1
AB CB 5 1 1 AG = AB AB2 = AF.AC 2 4 AE BD 4 ? ? AC CB 5

18、证:过 D 作 DE ? AC 于 E

? ?

? BAC = 90 0
AB 切圆于 G

? DE∥AB

? AG2 = AF.AC 又? ?
?

?

? ? ?

AB 4 AC 5 AE AE ? ? ? AF AB 5DE DE

Rt△AED ∽Rt△ABF

? EAD = ? ABF

? EAD + ? DAB = 90 0
即 AD ? BF

? ABF + ? DAB = 90 0

19、1)sinB =

12 2) cosA < sinB 3)cosA+cosB+cosC< sinA+sinB+sinC 13

20、1)当人数为 10---15 时,选甲 2)当人数为 16 时,甲、乙都可 3)当人数为 17---25 时,若答“选甲” ,不给满分。若答“17----19 人选乙;20---25 人时,将人员分为两组同游,可两次享受乙的优惠”可给满分。

5


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