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2004年第4届中国西部数学奥林匹克竞赛试题


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2004 年第 4 届中国西部数学奥林匹克竞赛

1.求所有的整数 n ,使得 n 4 + 6n3 + 1ln 2 + 3n + 31 是完全平方数.

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第一天

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2 .四边形 ABCD 为一凸四边形, I1 、 I 2 分别为 ΔABC 、 ΔDBC 的内心,过点 I1 、 I 2 的直线分别交
AB 、 DC 于点 E 、 F ,分别延长 AB 、 DC ,它们相交于点 P ,且 PE = PF .求证: A 、 B 、 C 、 D

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四点共圆.

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3 . 求 所 有 的 实 数 k , 使 得 不 等 式 a 3 + b3 + c 3 + d 3 + 1 ≥ k ( a + b + c + d ) 对 任 意 a 、 b 、 c 、

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d ∈ [ ?1, ∞] 都成立. +

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4 .设 n ∈ N + ,用 d ( n ) 表示 n 的所有正约数的个数, φ ( n ) 表示 1, 2 ,




, n 中与 n 互质的数的个

数.求所有的非负整数 c ,使得存在正整数 n ,满足 d ( n) + φ ( n ) = n + c ,且对这样的每一个 c ,求出所有 满足上式的正整数 n .

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第二天

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1.设数列 {a n } 满足 a1 = a2 = 1 ,且 an + 2 =

1 + an , n = 1 , 2 , an +1

.求 a2004 .

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个相邻(有公共边)的小方格异色,则称这 2 个小方格为 1 个“标准对”.设棋盘中“标准对"的个数为 S . 试问: S 是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定?什么情况下 S 为奇数?什么情况下 S 为偶数?说明理

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由.

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2 .将 m × n 棋盘(由 m 行 n 列方格构成, m ≥ 3 , n ≥ 3 )的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果 2







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3 .已知锐角 ΔABC 的三边长不全相等,周长为 l , P 是其内部一动点,点 P 在边 BC 、 CA 、 AB 上
的射影分别为 D 、 E 、 F .求证: 2 ( AF + BD + CE ) = l 的充分必要条件是:点 P 在 ΔABC 的内心与外 心的连线上.

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4 .求证:对任意正实数 a 、 b 、 c ,都有 1 <

a





a +b
2

2

+

b b +c
2 2


+ c c +b
2 2

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≤ 3 2 . 2

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