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2007年第7届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

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2007 年第 7 届中国西部数学奥林匹克竞赛

第一天
com (2007 年 11 月 10 日上午 8:00-12:00) xi. m 1.已知T = {1,2,3,4,5,6,7 ,8},对于 A ? T , A ≠ ? ,定义 S ( A) 为 A 中所有元素之和,问: 圣才学习网www.100xue 学习网www.100xuexi.co T 有多少个非空子集 A ,使得 S (A) 为3的倍数,但不是5的倍数?
才 圣

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2 .如图, :O1 与 :O2 相交于点 C , D ,过点 D 的一条直线分别与 :O1 , :O2 相交于点 A , B ,

点 P 在 :O1 的弧 AD 上, PD 与线段 AC 的延长线交于点 M ,点 Q 在 :O2 的弧 BD 上,QD 与线段 BC
com 的延长线交于点 N . O 是 ΔABC 的外心.求证: OD ⊥ MN 的充要条件为 P , Q , M , N 四点共圆.

xi. m O

ue o A

P

x .c D Q

.100 exi O1

O2

B

ww 0xu C

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3 .设实数 a , b , c 满足 a + b + c = 3 .求证:

1

+

1

+

1

≤1.

5a2 ? 4a +11 5b2 ? 4b +11 5c2 ? 4c +11 4

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圣 JJJG JJJG JJJG
4 .设 O 是 ΔABC 内部一点.证明:存在正整数 p , q , r ,使得 p ? OA + q ? OB + r ? OC <

1

.

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第二天

(2007 年 11 月 11 日上午 8:00-12:00)
com 1.是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为 2007 ,且最大的角等于最小角的 圣才学习网www.100xuexi. 学习网www.100xuexi.com 两倍?
才 圣

圣才学习网www.100xuexi.com 学习网www.100xuexi.com 2

.求所有的正整数

n

,使得存在非零整数

x1



x2

,"



xn



y

,满足

?? ? ??

x1 x12

+" + xn +" + xn2

= 0, = ny2







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3 .设 P 是锐角三角形 ABC 内一点, AP , BP , CP 分别交边 BC , CA , AB 于点 D , E , F ,

已知 ΔDEF ∽ ΔABC ,求证: P 是 ΔABC 的重心.

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才 4 .将 n 个白子与 n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,2 , 圣 " , n .再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1, 2 ," , n .证明:存在连续 n 个棋子(不计

www.100xuexi.com 黑白),它们的标号所成的集合为 {1,2 ,",n} . 网
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