2007年第7届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

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2007 年第 7 届中国西部数学奥林匹克竞赛

第一天
com （2007 年 11 月 10 日上午 8:00－12:00） xi. m 1.已知T = {1，2，3，4，5，6，7 ，8}，对于 A ? T ， A ≠ ? ，定义 S ( A) 为 A 中所有元素之和，问： 圣才学习网www.100xue 学习网www.100xuexi.co T 有多少个非空子集 A ，使得 S (A) 为3的倍数，但不是5的倍数？
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2 .如图， :O1 与 :O2 相交于点 C ， D ，过点 D 的一条直线分别与 :O1 ， :O2 相交于点 A ， B ，

点 P 在 :O1 的弧 AD 上， PD 与线段 AC 的延长线交于点 M ，点 Q 在 :O2 的弧 BD 上，QD 与线段 BC
com 的延长线交于点 N . O 是 ΔABC 的外心.求证： OD ⊥ MN 的充要条件为 P ， Q ， M ， N 四点共圆.

xi. m O

ue o A

P

x .c D Q

.100 exi O1

O2

B

ww 0xu C

网w w.10 N 圣才学习 学习网ww M

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3 .设实数 a ， b ， c 满足 a + b + c = 3 .求证：

1

+

1

+

1

≤1.

5a2 ? 4a +11 5b2 ? 4b +11 5c2 ? 4c +11 4

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才

圣 JJJG JJJG JJJG
4 .设 O 是 ΔABC 内部一点.证明：存在正整数 p ， q ， r ，使得 p ? OA + q ? OB + r ? OC <

1

.

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第二天

（2007 年 11 月 11 日上午 8:00－12:00）
com 1.是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为 2007 ，且最大的角等于最小角的 圣才学习网www.100xuexi. 学习网www.100xuexi.com 两倍？
才 圣

圣才学习网www.100xuexi.com 学习网www.100xuexi.com 2

.求所有的正整数

n

，使得存在非零整数

x1

，

x2

，"

，

xn

，

y

，满足

?? ? ??

x1 x12

+" + xn +" + xn2

= 0， = ny2

．

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3 .设 P 是锐角三角形 ABC 内一点， AP ， BP ， CP 分别交边 BC ， CA ， AB 于点 D ， E ， F ，

已知 ΔDEF ∽ ΔABC ，求证： P 是 ΔABC 的重心.

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才 4 .将 n 个白子与 n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1，2 ， 圣 " ， n .再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1， 2 ，" ， n .证明：存在连续 n 个棋子（不计

www.100xuexi.com 黑白），它们的标号所成的集合为 {1，2 ，"，n} . 网
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