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2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件:2.3.1-2.3.2空间直角坐标系的建立_图文

§3 空间直角坐标系 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 1.了解空间直角坐标系,会利用空间直角坐标系表示点的位置. 2.利用空间直角坐标系求关于点、线、面的对称点的坐标. 1.空间直角坐标系 (1)定义:在平面直角坐标系的基础上,通过原点O,再增加一条与 xOy平面垂直的z轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标系,其 中点O叫作原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐 标平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使∠xOy=135°(或 45°),∠yOz=90°. 名师点拨本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即伸出右手,让 四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,然后让四指沿握拳 方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正向.也称 这个坐标系为右手系. 【做一做1】 下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的 是( ) A.①③ 答案:C B.③ C.①② D.①②③ 2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x,y,z),第一个是x坐标,第二个是y坐标, 第三个是z坐标. 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有 序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确 定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组 之间就建立了一一对应的关系. 空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0), 1 +2 0 = , 2 1 +2 0 = , 2 + 0 = 1 2 . 2 P0(x0,y 0,z0),则 这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,是平面直角坐 标系中中点坐标公式的拓展. 【做一做2-1】 点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A.y轴上 B.xOy平面上 C.xOz平面上 D.yOz平面上 答案:C 【做一做2-2】 在空间直角坐标系中,x轴上的点的坐标可记为 ( ) A.(0,b,0) B.(a,0,0) C.(0,0,c) D.(0,b,c) 答案:B 【做一做2-3】 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0) 答案:C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 由点的坐标确定点的位置 【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). 解:方法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步 骤进行: (1)在x轴上取横坐标为4的点M1; (2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向 向左平移2个单位长度,得到点M2; (3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移 5个单位长度,即可得到点M,如图所示. 题型一 题型二 题型三 题型四 方法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为4,2,5的长方体,使 此长方体在点O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的负半轴、z 轴的正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M,图 示略. 方法三:在x轴上找到横坐标为4的点,过此点作与x轴垂直的平面α; 在y轴上找到纵坐标为-2的点,过此点作与y轴垂直的平面β;在z轴上 找到竖坐标为5的点,过此点作与z轴垂直的平面γ;则平面α,β,γ交于 一点,此交点即为所求的点M,图示略. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有两个为0,则此点是坐标轴 上的点,可直接在坐标轴上作出此点. 2.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐 标轴上,但在某一坐标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中 作点的方法作出此点. 3.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤 作出该点,一般有三种方法: (1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1;再将M1在xOy平面内沿与y轴 平行的方向向左(y0<0)或向右(y0>0)平移|y0|个单位长度,得到点M2; 再将点M2沿与z轴平行的方向向上(z0>0)或向下(z0<0)平移|z0|个单 位长度,即可得到点M(x0,y0,z0). 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三 条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与顶点O相对的顶 点即为所求的点M. (3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0),过点M1作与x轴垂直的平面α,再在 y轴上找到点M2(0,y0,0),过点M2作与y轴垂直的平面β,在z轴上找到 点M3(0,0,z0),过点M3作与z轴垂直的平面γ,三个平面α,β,γ交于一点, 此交点即为所求的点M. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 在空间直角坐标系中,作出下列各点: A(-2,4,4),B(3,-4,2),C(4,0,-3). 解:A(-2,4,4),B(3,-4,2),C(4,0,-3)的位置如图所示. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 确定点的坐标 【例2】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所 在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. (1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标; (2)求点N的坐标. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)显然A(0,0,0),因为点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以 B(4,0,0).同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5). 由于点C在坐标平面

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