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【恒心】2015届福建省厦门二中高三上学期期中考试数学(文科)试题及参考答案【首发纯word版】

厦门二中 2014~2015 学年第一学期高三年段数学(文)科 期中考试卷
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命卷教师

郑晓婷

审卷教师

祝国华

姓名_____________________

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 4 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内. 1.已知集合 M ? x x ? x ? 2 ? 0 , N ? ? x 2x ?
2

?

?

?

A. (?1,1)

B. (?2,1)

1? ?, 则 M ? N ? 2? ? C. (?2, ?1) D. (1, 2)

2. “ ? ? 30 ”是“ sin ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ”的 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是 A. y ?

考号

1 x

B. y ? e x

C. y ? ? x 2 ? 2

D. y ? lg x

?x ? 0 ? 4.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 3 ?
A. 3 5.若 a ? 3
sin 60

班级

B. 0

C.

3 2

D. ? 3

, b ? log 1 cos 60 , c ? log 2 tan 30 ,则
3

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c

6.已知 l , m, n 是三条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题为真命题的是 A.若 l ? m , l ? n , m ? ? , n ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , ? ∥ ? , m ? ? ,则 l ? m C.若 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? D.若 l ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 l ∥ m 7.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 A. ( ?

学校

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则它的一个对称中心是 6
C. (

?
2

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

?
6

, 0)

D. (

?
3

, 0)

?2 x , x ? 1, 8.已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f ? a ? ? 1 ,则实数 a 的取值范围为 ? x ? 4 x ? 5, x ? 1,

A. ?0,1?

B. ?1, ?? ?

C. ?0,3?

D. ?0, ?? ?

9.如图所示,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60 ,对角线相交于 点 O, P 是线段 BD 的一个三等分点,则 AP ? AC 等于 A.

uu u v uuu v

1

B. 2

C. 3

D. 4

10.已知函数 f ( x) ? x sin x 的图象是下列两个图象中的一个,请你选择后 再根据图象做出下面的判断:若 x1 , x2 ? (?

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 2 2

A. x1 ? x2

B. x1 ? x2 ? 0

C. x1 ? x2 共 100 分)

2 2 D. x1 ? x2

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
2 11.命题:“ ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 .”的否定是

.
a

12.等差数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 6 ,则 log 2 (2a1 ? 2a2 ??? 2 10 ) ? ___________. 13.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 P (sin 14.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? 2b ? 1 ,则

5? 5? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为___________. 6 6

1 1 ? 的最小值为_____ ______. a b
________.

15.某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为___ 16.记 Sk ? 1k ? 2k ? 3k ? 观察下列等式:

? nk ? n ? N * ? ,当 k ? 1, 2,3, L 时,

1 1 S1 ? n2 ? n, 2 2 1 1 1 S2 ? n3 ? n 2 ? n, 3 2 6 1 1 1 S3 ? n4 ? n 3 ? n2 , 4 2 4 1 1 1 S4 ? n5 ? n4 ? An3 ? n , 5 2 30 1 1 5 S5 ? n6 ? n5 ? n4 ? Bn2 , L , 6 2 12
可以推测, A ? B ? ___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 是各项均为正数的等差数列, a1 ? 1 ,且 a 2 , a3 ? 1 , a 6 成等比数列.

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3 (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n . (n ? 1)(an ? 2)

18. (本小题满分 12 分)换题,变第 18 题 已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2cos x), b ? (cos x ? sin x,sin x), 函数 f ( x) ? a ? b (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,三棱锥 A BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A ? MBC 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 如图所示,某海滨城市位于海岸 A 处,在城市 A 的南偏西 20° 方向有一个海面观测站 B,现测得与 B 处 相距 31 海里的 C 处,有一艘豪华游轮正沿北偏西 40° 方向,以 40 海里/小时的速度向城市 A 直线航行, 30 分钟后到达 D 处,此时测得 B、D 间的距离为 21 海里. (Ⅰ )求 sin ?BDC 的值; 北 (Ⅱ )试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市 A? 东 A 21 B 21. (本小题满分 14 分) 31 C 如图所示,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥ AB ,将矩 形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF ,且平面 MNEF ? 平面 ECDF . (Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值. D

A

F

D

B

E

C

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22. (本小题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 2 ax ? ln x . 2

姓名__________________________

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性;

(Ⅲ)是否存在 a 的值,使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在, 说明理由.

学校 班级

考号

厦门二中 14-15 学年(上)高三年数学(文科)期中考答题卷

考号

一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

班级

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 12. 13. 15. 14. 16.

姓名

学校

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

20. ( 本小题满分 12 分)

北 A 21 B 31 C D 东

21.(本小题满分 14 分)

A

F

D

B

E

C

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学校

22. (本小题满分 14 分)

班级 考号 姓名

厦门二中 2014-2015 学年高三(上)数学(文科)期中考试

参考答案及评分标准
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CACDA BCDBD 二、填空题:每小题 4 分,共 24 分.

2 11. ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

(写成 ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 也给分) 15. 6 16.

12. 30

13.

5? 3

14. 3 ? 2 2

1 4

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 76 分. 17.解: (1)由题意 (a3 ? 1) 2 ? a 2 a 6 , ………………………………………2 分 ……………………4 分 即 (2d ? 2) 2 ? (1 ? d )(1 ? 5d ) ,解得 d ? 3 或 d ? ?1
由 已 知 数列

?a n ?各项均为正数, 所 以 d ? 3 , 故 a

n

? 3n ? 2 …………………6 分

3 1 1 1 ………………………………10 分 ? ? ? (n ? 1)(a n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ………………………………11 分 ? S n ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? 1 2 2 3 n ?1 n n n ?1 n 1 ? ? Sn ? 1 n ?1 n ?1 ……………………………………12 分
(2)? bn ? 18. (I)

f ( x) ? a ? b ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 2cos x sin x ------------------------------2 分 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,------------5 分 4 2? ? ? .--------------------------------------------------6 分 ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? ? ? ? 3? ] ,--------------------------------------8 分 (II)令 t ? 2 x ? ,∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? ? [ , 4 4 4 4 4 ? 3? ? ? ? 3? ] ,∴ sin t 在 t ? [ , ] 上是增函数,在 t ? [ , ] 上是减函数,-----10 分 即 t ?[ , 3 4 4 2 2 4 ? ? ? ? ? ∴当 t ? ,即 2 x ? ? , x ? 时, f ( x ) max ? f ( ) ? 2 .----------------------11 分 2 4 2 8 8 ? 3? ? ? 当t ? 或 ,即 x ? 0 或 时, f ( x) min ? f (0) ? f ( ) ? 1 .---------------------12 分 4 4 4 4

19.解: (解:方法一:(1)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD? 平面 BCD, ∴AB⊥CD 又∵CD⊥BD,AB∩BD=B, AB? 平面 ABD,BD? 平面 ABD, ∴CD⊥平面 ABD. …(每个条件 1 分)…………6 分 (2)由 AB⊥平面 BCD,得 AB⊥BD. 1 ∵AB=BD=1,∴S△ABD= .∵M 是 AD 的中点, 2 1 1 ∴S△ABM= S△ABD= .-----------8 分 2 4 由(1)知,CD⊥平面 ABD, ∴三棱锥 C ABM 的高 h=CD=1,--------------10 分 1 因此三棱锥 A -MBC 的体积 VA -MBC=VC -ABM= S△ABM· h= 3 1 .--------------12 分 12 方法二:(1)同方法一. (2)由 AB⊥平面 BCD,得平面 ABD⊥平面 BCD. 且平面 ABD∩平面 BCD=BD. 如图所示,过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N, 1 1 则 MN⊥平面 BCD,且 MN= AB= . 2 2 1 又 CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD= . 2

∴三棱锥 A MBC 的体积 VA -MBC=VA -BCD-VM -BCD 1 1 1 = AB·S△BCD- MN·S△BCD= . --------------12 分 3 3 12 20.解: (Ⅰ)由已知, CD ? 40 ?

1 ? 20 . 2

-------------------------------------------------------------2 分

212 ? 202 ? 312 1 ? ? .---------------4 分 在△BCD 中,据余弦定理,有 cos ?BDC ? 2 ? 21? 20 7 1 2 4 3 所以 sin ?BDC ? 1 ? ( ? ) ? . ---------------------------------------------6 分 7 7 (Ⅱ)由已知可得, ?BAD ? 20 ? 40 ? 60 ,

4 3 1 1 3 5 3 .----------------8 分 ? ? (? ) ? ? 7 2 7 2 14 AD BD ? 在△ABD 中,根据正弦定理,有 , sin ?ABD sin ?BAD 5 3 21? BD ? sin ?ABD 14 ? 15 .-----------------------------10 分 ? 又 BD=21,则 AD ? sin ?BAD 3 2 15 ? 60 ? 22.5 (分钟) 所以 t ? . ------------------------------------------------------12 分 40
所以 sin ?ABD ? sin( ?BDC ? 60 ) ? 答:这艘游轮再向前航行 22.5 分钟即可到达城市 A. 21.解: (Ⅰ)证明:因为四边形 MNEF , EFDC 都是矩形, 所以 MN ∥ EF ∥ CD , MN ? EF ? CD . 所以 四边形 MNCD 是平行四边形,……………2 分 所以 NC ∥ MD , ………………3 分 因为 NC ? 平面 MFD ,所以 NC ∥平面 MFD .4 分 (Ⅱ)证明:连接 ED ,设 ED FC ? O . 因为平面 MNEF ? 平面 ECDF ,且 NE ? EF , 所以 NE ? 平 面 ECDF …5 分 所以 FC ? NE . 又 EC ? CD , 所以四边形 ECDF 为正方形,所以 FC ? ED . 所以 FC ? 平面 NED , 所以 ND ? FC . …………8 分 (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 .由(Ⅰ)得 NE ? 平面 FEC , 所以四面体 NFEC 的体积为 VNFEC ? 所以 VNFEC ?

1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2 当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大. …………12 分
22.解: (1)当 a ? 1 时, f ?( x) ? x ?

1 1 S ?EFC ? NE ? x(4 ? x ) . 3 2

1 ,x ? 0 x

? k ? f ?(1) ? 0
…………………………3 分

所以曲线 y= f (x)在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率为 0. (2) f ?( x) ? ax ?
2

1 ax ? 1 ? ,x ? 0 …………………………………………4 分 x x ? ?) 上单调递减; ………………………6 分 ① 当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,
② 当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

a . a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 . a a a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 ………………8 分 a a 3 (3)存在 a ? (0,e ) ,使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等的实数根. ………………9 分
理由如下: 由(1)可知当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, ? ?) 上单调递减, 方程 f ( x) ? 2 不可能有两个不等的实数根; ………………………11 分

a a 使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等 )内单调递减,在( , ? ?)内单调递增, a a a a 1 1 的实数根,等价于函数 f ( x) 的极小值 f ( ) ? 2 ,即 f ( ) ? ? ln a ? 2 ,解得 0 ? a ? e 3 a a 2 2 3 所以 a 的取值范围是 (0,e ) ………………………………14 分
由(2)得, 函数f ( x)在(0,