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2017-2018年高一数学新人教A版必修1备课资料素材:第1章 集合与函数概念 1.3.2 单调性与最大(小)值1

备课资料 1.复习函数单调性的概念 (1)复述函数单调性的概念.(学生完成) (2)画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间[a,b] (b>a)上单调的函 数其图象变化的趋势.(分别画出在某一区间[a、b]上递增(减)的函数图象,指出图象 的变化趋势) (3) 结合图象, 请指出函数值变化的趋势, 你能从中得到一些你认为有价值的结论吗? 2.求函数单调区间的方法及几个常用结论 (1)求函数的单调区间,必须先求函数的定义域.然后用定义法、图象法、复合函数法. (2)讨论复合函数 y=f[φ (x) ]的单调性时要注意两点: ①若 u=φ (x) , y=f (u) 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数, 则 y=f [φ (x) ] 为增函数; ②若 u = φ ( x ) , y = f( u )在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数, 则 y= f[ φ ( x) ]为减函数 . (3)若函数 f(x) 、g(x)在给定的区间上具有单调性,利用增(减)函数的定义容易 证得,在这个区间上: ①函数 f(x)与 f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性. ②C > 0 时,函数 f( x )与 C ·f( x )具有相同的单调性; C < 0 时,函数 f( x )与 C · f( x )具有相反的单调性 . ③若 f(x)≠0,则函数 f(x)与 1 具有相反的单调性. f ( x) ④若函数 f(x) 、g(x)都是增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍是增(减)函数. ⑤若 f(x)>0,g(x)>0,且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f(x) ·g(x) 也是增(减)函数;若 f(x)<0,g(x)<0,且 f(x)与 g(x)都是增(减)函数,则 f( x ) ·g(x)是减(增)函数. 3.信息技术的使用 创设如下的教学情境让学生体会单调函数的数量变化规律: (1)用计算器或计算机作出函数 y=x2 的图象; (2)观察函数 y=x2 的图象,并描述该图象的变化规律(可引导学生观察图象的升降 情况) ; (3)在函数 y=x2 的图象上任找一点 P,并测出其坐标; (4)当点 P 在函数的图象上“按横坐标(即自变量)x 增大”的方向移动时,观察点 P 的纵坐标(即函数值)y 的变化规律; (5)由学生总结规律后,给出增(减)函数的自然语言描述:在区间 I 上,若随着自 变量 x 增大函数值 y 也增大,则称函数在区间 I 上是增函数;在区间 I 上,若随着自变量 x 增大函数值 y 减小,则称函数在区间 I 上是减函数. 以上过程, 一定要在教师的引导下由学生在计算器或计算机上实践, 只有由学生自己获 得“自变量 x 增大时函数值 y 也增大(减小) ”这一变化规律后,再给出增(减)函数的自 然语言描述,才会让学生觉得自然,并且印象深刻.这样,也完成了单调函数从用图形语言 表述到用自然语言表述的过渡. (6)要使学生从单调函数的自然语言描述上升到符号语言的定义,可安排如下活动: ①让学生在区间[0,+∞)上,从 0 开始,每隔一个单位取一个自变量的值,然后用 计算器或计算机算出其对应的函数值,得到下表: ②让学生在区间[0,+∞)上,从 9 开始,每隔 0.1 个单位取一个自变量的值,然后用 计算器或计算机算出其对应的函数值,得到下表: ③让学生在区间[0,+∞)上,从 10 开始,每隔 10 个单位取一个自变量的值,然后 用计算器或计算机算出其对应的函数值,得到下表: ④让学生在区间[0,+∞)上,任选一个自变量的值作起点,等间隔地取一批自变量 的值,然后用计算器或计算机算出其对应的函数值,得到一个表,如: ⑤让学生结合函数单调性的上述描述,观察以上表格,表述自己发现的规律; ⑥期望学生或引导学生得出结论:四个表格都说明,任选两个自变量的值,自变量大的 函数值也大; ⑦让学生思考后概括出增函数的定义,并类似地得出减函数的定义.

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