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2014届高三数学一轮复习:对数与对数函数


1.对数
1.对数的定义: 如果ab=N(a>0且a≠1),那么数b叫作以a为底N的对数, 记作 b=logaN ,其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数.

2.几种常见对数: 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lg N ln N

二、对数的性质与运算法则 1.对数的运算法则: 如果a>0,且a≠1,M >0,N>0,那么: (1)loga(M·N)= logaM+logaN ;

M logaM-logaN (2)loga N = ; (3)logaMn= nlogaM (n∈R);

2.对数的性质:

(1)alogN= N ;(2)logaaN= N (a>0且a≠1). a
3.对数的重要公式:
logaN (1)换底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1); logab 1 (2)logab= . logba

三、对数函数的定义、图像与性质
[动漫演示更形象,见配套课件]

定义

函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数 a>1 0<a<1

图像

定义

函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数
(0,+∞) 定义域: 值域:R

(1,0) 当x=1时,y=0,即过定点
性质 当0<x<1时, y∈ (-∞,0) 当0<x<1时, ; y∈ (0,+∞) ; 当x>1时,y∈ (0,+∞) 当x>1时,y∈(-∞,0)

在(0,+∞)上为 增函数 在(0,+∞)上为 减函数

四、指数函数与对数函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且 a≠1)互为 反函数 ,它们的图像关于直线 y=x 对称.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)2log510+log50.25= A.0 C.2 B.1 D.4 ( )

解析:2log510+log50.25=log5100+log50.25= log525=2.

答案:C

2.(2012·白鹭洲模拟)若函数f(x)=loga(x-1)(a>0,

a≠1)的图像恒过定点,则定点的坐标为 (
A.(1,0) B.(2,0)

)

C.(1,1)

D.(2,1)

解析:由于loga1=0,∴x=2时f(2)=loga1=0, ∴图像过点(2,0). 答案:B

3.函数y=lg |x| A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增

(

)

解析:y=lg |x|是偶函数,由图象知在(-∞,0)上 单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 答案:B

4.(2012· 江苏高考)函数 f(x)=

1-2log6x的定义域为

________. 1 解析:由 1-2log6x≥0,解得 log6x≤ ?0<x≤ 6,故 2

所求定义域为(0, 6 ]. 答案:(0, 6 ] 5.(2012·北京高考)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,
则f(a2)+f(b2)=________. 解析:由f(ab)=1得ab=10,于是f(a2)+f(b2)=lg a2 +lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2lg 10=2. 答案:2

1.在运用性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件,在

无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n为偶数).
2.对数值取正、负值的规律: 当a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1时,logab>0;

当a>1且0<b<1,或0<a<1且b>1时,logab<0.
3.对数函数的定义域及单调性: 在对数式中,真数必须大于0,所以对数函数y=logax

的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和a的值有关,因
而,在研究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分 类讨论.

对数式的化简与求值

[例1] 求解下列各题.
1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245=________; 2 49 3
1 1 (2)若 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=________.
a b

[自主解答]

1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245 2 49 3

1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2

(2)由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴a+b=logm2+logm5=logm10. 1 1 ∵a+b=2, ∴logm10=2,即 m2=10. 解得 m= 10(∵m>0).

[答案]

1 (1) 2

(2) 10

对数式的化简与求值的常用思路

(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成
分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数 运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数

的积、商、幂再运算.

1.化简:
3 (1)lg +lg 70-lg 3- lg23-lg 9+1; 7
?lg 4-lg 60? ? ?3 - (2)? -45×2 11. ? ? lg 3+lg 5 ?

3 ×70 7 解: (1)原式=lg - lg23-2lg 3+1 3 =lg 10- ?lg 3-1?2 =1-|lg 3-1|=lg 3.
?lg (2)原式=? ? ?

4-?lg 4+lg 15??3 ? -210×2-11 ? lg 15 ?

?-lg 15? ?3 =? -2-1 ? lg 15 ? ? ?

3 =- . 2

对数函数的图象及应用

[例2] 致为

(1)(2013· 烟台调研)函数y=ln(1-x)的图象大 ( )

1 (2)(2012· 新课标全国卷)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 2 的取值范围是
? A.?0, ? ?

(
? B.? ? ? ? 2 ? ,1? 2 ?

)

2? ? 2? ?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

[自主解答]

(1)由1-x>0,知x<1,排除选项A、

B;设t=1-x(x<1),因为t=1-x为减函数,而y=ln t 为增函数,所以y=ln(1-x)为减函数,可排除D选C.

(2)法一:构造函数f(x)=4x和g(x)= logax,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,
? ?1? 1? 画出两个函数在 ?0,2? 上的图像,可知f ?2? ? ? ? ?

<g
? ? ? ?

?1? ? ? ?2?

2 ,则a> ,所以a的取值范围为 2

? 2 ? ,1?. 2 ?

1 法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴ 2
1 1 1 0<a<1,排除选项 C,D;取 a= ,x= ,则有 4 2 =2, 2 2

1 log 1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 2
2

[答案]

(1)C

(2)B

1.对一些可通过平移、对称变换能作出其图象 的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最 值)、零点时,常利用数形结合求解. 2.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转

化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解.

2.已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx 的图像可能是 ( )

1 1 解析:由题意知,a= b ,则g(x)=-logbx=log b x= logax,所以f(x)与g(x)互为反函数,图像关于直线y=x对 称.

答案:B

对数函数的性质及应用

[例3]

已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(x)定义域为R,求a的取值范围; (2)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,
求出a的值;若不存在,说明理由.

[自主解答]

(1)因为 f(x)的定义域为 R,

所以 ax2+2x+3>0 对任意 x∈R 恒成立. 显然 a=0 时不合题意,
?a>0, ? 从而必有? ?Δ<0, ? ?a>0, ? 即? ?4-12a<0, ?

1 解得 a> . 3

即a

?1 ? 的取值范围是?3,+∞?. ? ?

(2)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a= -1,

这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函数定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3. 则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,

所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是
(1,3).

(3)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, ?a>0, ? 因此应有?3a-1 ? a =1, ? 1 解得 a= . 2

1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2

本例(1)中的条件“若f(x)的定义域为R”改为“若 f(x)值域为R”,试求a的取值范围.
解:当a=0时,ax2+2x+3=2x+3, 显然f(x)=log4(2x+3)值域为R; 当a≠0时,必须真数ax
?a>0, ? 即? ?4-12a≥0 ?
2

?a>0, ? +2x+3能取到一切正数,则? ?Δ≥0. ?

1 ?0<a≤ . 3

? 1? ?0, ?. 综上可知a的取值范围为 3? ?

研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先 研究其定义域,分析复合的特点,结合函数u=f(x)及y =logau的单调性(最值)情况确定函数y=logaf(x)的单调 性(最值)(其中a>0,且a≠1).

3.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域;

(2)判断函数f(x)的单调性.
解:(1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0; 当0<a<1时,x<0. ∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).

(2)当a>1时,设0<x1<x2,则1<ax1<ax2, 故0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1). ∴f(x1)<f(x2).

故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.
类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

[典例]
? 1 2

(2012· 大纲全国卷)已知 x=ln π,y= ( B.z<x<y )

log52,z=e ,则 A.x<y<z

C.z<y<x

D.y<z<x

[常规解法]

因为 ln π>ln e=1,log52<log55=1,所

1 ?1 1 以 x>y.故排除 A、B;又因为 log52<log5 5= ,e 2 = 2 e 1 > ,所以 z>y.故排除 C. 2

[答案]

D

本题在比较三个数的大小时利用中间值,进行第一 次比较时,中间值常选用的有0,1,由指数、对数式可知 x>1,0<y<1,0<z<1,再进一步比较y、z的大小,其中对 数logaN的符号判定可简记为“同正异负”,即a与N同时大

于1或同时大于0小于1,则logaN>0;反之,logaN<0.

?针对训练
?1? (2013· 北京东城区综合练习)设a=log 1 3,b=?3?0.3,c= ? ?
2

ln π,则

(

)

A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b
解析:

D.b<a<c

?1? ? ? 0.3 ?1? 0 a=log 1 3<log 1 1=0,0<b=?3? < 3 =1,c=ln ? ? ? ?
2 2

π>ln e=1,故 a<b<c.

答案:A

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= 3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为 ( )

A.-4

B.4

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(十一)”

C.-6 D.6 解析:由题知f(0)=1+m=0,m=-1.则x≥0时,
f(x)=3x-1,所以f(-log35)=-f(log35)=-(3log35 -1)=-4.

答案:A

2.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是
? 3? A.?-∞,2? ? ? ? 3? C.?-1,2? ? ? ?3 ? B.?2,+∞? ? ? ?3 ? D.?2,4? ? ?

(

)

解析:函数f(x)的定义域为(-1,4),又y=4+3x-x2的递
?3 ? ?3 ? 减区间为?2,+∞?,所以y=f(x)的递减区间为?2,4?. ? ? ? ?

答案:D

3.已知函数f(x)=|lg x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b 的取值范围是
A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

(

)

解析:由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞) 上单调递增,当0<a<b,且f(a)=f(b)时,只能0<a<1,b>1, 故f(a)=|lg a|=-lg a,f(b)=|lg b|=lg b.由f(a)=f(b),得- lg a=log b,即lg(ab)=0,故ab=1.则2a+b≥2 2ab=2 2, 当且仅当2a=b,即a= 2 ,b= 2时取等号. 2

答案:B

log2|x| 4.(2012· 安徽名校模拟)函数 y= x 的大致图像是(

)

log2|-x| log2|x| log2|x| 解析:由于 =- x ,所以函数 y= x 是 -x 奇函数,其图像关于原点对称.当 x>0 时,对函数求导 可知函数先增后减,结合选项可知选 C.

答案:C

4 5.化简:log3

2 1 27 · 5[4 2 log210-(3 3) 3 -7log72]. log 3
3 4

解:原式=log3 3 · 5[2log210-(3 ) -7log72] log 3
?3 ? =?4log33-log33?· 5(10-3-2) log ? ? ?3 ? 1 =?4-1?· 55=- . log 4 ? ?

2 3

2 3

6.(2012· 上海徐汇二模)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x) =log2x.

(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域;
(2)如果对任意的 x∈[1,4], 不等式 f(x2)· x)>k· f( g(x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

解:(1)h(x)=(4-2log2x)· 2x=-2(log2x-1)2+2, log 因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2]. 故函数h(x)的值域为[0,2].

(2)由 f(x2)· x)>k· f( g(x)得 (3-4log2x)(3-log2x)>k· 2x, log 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k·对一切 t∈[0,2]恒成立, t

①当t=0时,k∈R;
?3-4t??3-t? 9 ②当 t∈(0,2]时,k< 恒成立,即 k<4t+ t - t 15 恒成立, 9 9 3 因为 4t+ t ≥12,当且仅当 4t= t ,即 t= 时取等号, 2 9 所以 4t+ t -15 的最小值为-3,即 k∈(-∞,-3).


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