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判别式与韦达定理


判别式与韦达定理 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式 2 2 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b -4ac 当△>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时,方程有两个相等的实数根, 当△<0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系
2 (1)如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两个根是 x1,x2,那么 x1 ? x2 ? ? b , x1 x2 ? c

a

a

(2)如果方程 x +px+q=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=-P, x1x2=q x1x2=q (3)以 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x -(x1+x2)x+x1x2=0. 2 x -(x1+x2)x+x1x2=0. 3.二次三项式的因式分解(公式法) 2 2 在分解二次三项式 ax +bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程 ax +bx+c=0 的两个根是 2 x1,x2,那么 ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2). 〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如: 2 关于 x 的方程 ax -2x+1=0 中,如果 a<0,那么梗的情况是( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题 中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如: 2 2 2 设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两根,则 x1 +x2 的值是( ) (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 3.在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中 又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力。 考查题型 2 1.关于 x 的方程 ax -2x+1=0 中,如果 a<0,那么根的情况是( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定 2 2 2 2.设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两根,则 x1 +x2 的值是( ) (A)15 (B)12 (C)6 (D)3 3.下列方程中,有两个相等的实数根的是( ) (A) 2y +5=6y(B)x +5=2 5 x(C) 3 x - 2 x+2=0(D)3x -2 6 x+1=0 4.以方程 x +2x-3=0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是( ) 2 2 2 2 (A) y +5y-6=0 (B)y +5y+6=0 (C)y -5y+6=0 (D)y -5y-6=0 2 2 5.如果 x1,x2 是两个不相等实数,且满足 x1 -2x1=1,x2 -2x2=1, 那么 x1·x2 等于( ) (A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1
2 2 2 2 2 2

2

6.如果一元二次方程 x +4x+k =0 有两个相等的实数根,那么 k= 2 2 7.如果关于 x 的方程 2x -(4k+1)x+2 k -1=0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围 是 2 2 8.已知 x1,x2 是方程 2x -7x+4=0 的两根,则 x1+x2= ,x1·x2= , (x1-x2) = 2 2 9.若关于 x 的方程(m -2)x -(m-2)x+1=0 的两个根互为倒数,则 m= 二、考点训练: 1、 不解方程,判别下列方程根的情况: (1)x -x=5
2

2

2

(2)9x -6 2 +2=0
2

2

(3)x -x+2=0

2

2、 当 m= 时,方程 x +mx+4=0 有两个相等的实数根; 2 当 m= 时,方程 mx +4x+1=0 有两个不相等的实数根; 2 3、 已知关于 x 的方程 10x -(m+3)x+m-7=0,若有一个根为 0,则 m= ,这时方程的另 3 一个根是 ;若两根之和为- ,则 m= ,这时方程的两个根为 . 5 4、 已知 3- 2 是方程 x +mx+7=0 的一个根,求另一个根及 m 的值。 5、 求证:方程(m +1)x -2mx+(m +4)=0 没有实数根。 6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1- 5 和 1+ 5 。 7、 设 x1,x2 是方程 2x +4x-3=0 的两根,利用根与系数关系求下列各式的值: x2 x1 2 (1) (x1+1)(x2+1) (2) + (3)x1 + x1x2+2 x1 x1 x2 解题指导 2 2 1、 如果 x -2(m+1)x+m +5 是一个完全平方式,则 m= ; 2 2、 方程 2x(mx-4)=x -6 没有实数根,则最小的整数 m= ; 3、 已知方程 2(x-1)(x-3m)=x(m-4)两根的和与两根的积相等,则 m= ; 2 4、 设关于 x 的方程 x -6x+k=0 的两根是 m 和 n,且 3m+2n=20,则 k 值为 ; 2 5、 设方程 4x -7x+3=0 的两根为 x1,x2,不解方程,求下列各式的值: 1 2 2 2 (1) x1 +x2 (2)x1-x2 (3) x1 + x2 *(4)x1x2 + x1 2 2 2 * 6. 实数s、t分别满足方程 19 s + 99 s+ 1 = 0 和且 19 + 99 t+t = 0 求代数式 st+4s+1 的值。 t 1 2 2 2 2 7.已知 a 是实数,且方程 x +2ax+1=0 有两个不相等的实根,试判别方程 x +2ax+1- (a x - 2 2 a -1)=0 有无实根? 2 8.求证:不论 k 为何实数,关于 x 的式子(x-1)(x-2)-k 都可以分解成两个一次因式的积。 2 9.实数 K 在什么范围取值时,方程kx +2(k-1)x-(K-1)=0 有实数正根? 独立训练(一) 1、 不解方程,请判别下列方程根的情况; 2 2 (1)2t +3t-4=0, ; (2)16x +9=24x, ; 2 (3)5(u +1)-7u=0, ; 2 2 2、 若方程 x -(2m-1)x+m +1=0 有实数根,则 m 的取值范围是 ;
2 2 2 2 2

3、 一元二次方程 x +px+q=0 两个根分别是 2+ 3 和 2- 3 ,则 p=
2

2

,q=

;

4、 已知方程 3x -19x+m=0 的一个根是 1,那么它的另一个根是 ,m= ; 2 5、 若方程 x +mx-1=0 的两个实数根互为相反数,那么 m 的值是 ; 2 2 n 6、 m,n 是关于 x 的方程 x -(2m-1)x+m +1=0 的两个实数根,则代数式 m = 。 2 7、 已知关于 x 的方程 x -(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6,求 k 的值; 2 8、 如果α 和β 是方程 2x +3x-1=0 的两个根,利用根与系数关系,求作一个一元二次方程, 1 1 使它的两个根分别等于α + 和β + ; β α 2 2 2 2 9、 已知 a,b,c 是三角形的三边长,且方程(a +b +c )x +2(a+b+c)x+3=0 有两个相等的实数根, 求证:这个三角形是正三角形 2 2 10.取什么实数时,二次三项式 2x -(4k+1)x+2k -1 可因式分解. 1 2 2 11.已知关于 X 的一元二次方程m x +2(3-m)x+1=0 的两实数根为α ,β ,若s= α 1 + ,求s的取值范围。 β 独立训练(二) 2 1、 已知方程 x -3x+1=0 的两个根为α ,β ,则α +β = , α β = ; 2 2 2、 如果关于 x 的方程 x -4x+m=0 与 x -x-2m=0 有一个根相同,则 m 的值为 ; 1 2 3、 已知方程 2x -3x+k=0 的两根之差为 2 ,则 k= ; 2 2 2 4、 若方程 x +(a -2)x-3=0 的两根是 1 和-3,则 a= ; 2 5、 方程 4x -2(a-b)x-ab=0 的根的判别式的值是 ; 2 2 6、 若关于 x 的方程 x +2(m-1)x+4m =0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么 m 的值 为 ; 2 7、 已知 p<0,q<0,则一元二次方程 x +px+q=0 的根的情况是 ; 2 8、 以方程 x -3x-1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ; 2 9、 设 x1,x2 是方程 2x -6x+3=0 的两个根,求下列各式的值: 1 1 2 2 (1)x1 x2+x1x2 (2) - x1 x2 2 2 10.m 取什么值时,方程 2x -(4m+1)x+2m -1=0 (1) 有两个不相等的实数根, (2)有两个相等的实数根, (3)没有实数根; 2 11.设方程 x +px+q=0 两根之比为 1:2,根的判别式Δ =1,求 p,q 的值。 x1 2 2 12. 是否存在实数k, 使关于x的方程 9x -(4k-7)x-6k =0 的两个实根 x1,x2, 满足| | x2 3 = ,如果存在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由。 2


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