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浙江省舟山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题(新)

舟山中学 2015-2016 学年第二学期高二期中考试数学试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷满分 110 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高
1 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S2 ) 其中 S1 、 S 2 、 h 分别表示台体的上、下底面积、高 3 球的表面积公式: S =4πR 2 球的体积公式: V = 4 πR 3 其中 R 表示球的半径 3

锥体的体积公式: V ? Sh

选择题部分(共 32 分) 一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 已知集合 A ? x y ? lg x ,B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , 则 A? B ?
2

?

?

?

?

( ▲ )

A. (0,3) A.必存在平面 ? B.必存在平面 ? C.必存在平面 ? D.必存在平面 ?

B. (?1,0)

C. (??,0) ? (3, ??)

D. ( ?1,3) ( ▲ )

2.已知 a ,b 为异面直线,下列结论不正确 的是 ... 使得 a / /? , b / /? 使得 a , b 与 ? 所成角相等 使得 a ? ? , b ? ? 使得 a , b 与 ? 的距离相等

?2 x ? y ? 0 ? 3.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 3 ?
A. 1 B. 3 C. ?1
2 2

( ▲ ) D. ? 3

4.已知直线 l : y ? kx ? b ,曲线 C : x ? y ? 2 x ? 0 ,则“ k ? b ? 0 ”是“直线 l 与曲线 C 有公共点” 的 A.充分不必要条件 ( ▲ ) D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

5.设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) ,则满足上 述条件的 f ( x) 可以是 A. f ( x) ? cos ( ▲ ) B. f ( x ) ? sin

?
3

x

?x
3

2 C. f ( x ) ? 2 cos

?
6

x

2 D. f ( x ) ? 2 cos

?
12

x

6.如图,已知 F1 , F2 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2

???? ? ???? ???? ? ???? ? 且满足 | F2 P |? a ,( F 线段 PF2 与 P ? F F ) ? F P ? 0, P 为第一象限内一点, 1 1 2 2
双曲线 C 交于点 Q ,若 F2 P ? 5F2Q ,则双曲线 C 的渐近线方程为 ( ▲ )

???? ?

???? ?

(第 6 题图)

1

3 3 D. y ? ? x x 2 3 ??? ? ??? ? ??? ? ? 7.已知 O 为三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? ?OB ? (? ?1)OC ? 0 ,若 △OAB 的面积与 △OAC 的面 1 积比值为 , 则 ? 的值为 ( ▲ ) 3 3 1 1 A. B. 2 C. D. 2 3 2
A. y ? ? B. y ? ?

5 x 5

1 x 2

C. y ? ?

8.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 1 , BC ? 3 ,点 M 在棱 CC1 上,且 MD 1 ? MA ,则当

?MAD1 的面积最小时,棱 CC1 的长为
A.

( ▲ )

3 2 2
D1 A1 B1

B.
C1

10 2

C. 2

D. 2

M D A B
(第 8 题图) (第 11 题图)

C

非选择题部分 (共 78 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每题 4 分,第 13 至 15 题每题 3 分,共 25 分) 9. 已知角 ? 的终边落在直线 y ? ?2 x 上,则 tan? = 10.已知钝角 ..?ABC 的面积为 ▲ , cos(2? ? ▲

3 ?) = ▲ 2
, AC ? ▲

. ▲ .
n

1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则角 B ? 2




11.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为

,表面积为

12.已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,若 a1 ? 2 且数列 {an bn } 的前 n 项和是 (2n ? 1) ? 3 ?1, 则 b1 ? ▲ ,数列 {an } 的通项公式是 ▲ .

13.已知函数 f ( x) ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 4 x 2

1 x ,则 a 的值是 ▲ . 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 14. 已知 ?ABC 中, 点 P 为线段 BC 上的动点, 动点 Q 满足 PQ ? PA ? PB ? PC , | BC |? 1 ,BA ? BC ? 2 , y?
则 PQ ? PB 的最小值等于 15.已知斜率为

??? ? ??? ?





1 2 的直线 l 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 交于位于 x 轴上方的不同两点 A , B ,记直线 OA , 2
2

OB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则 k1 ? k2 的取值范围是 ▲ .
三、解答题(本大题共 5 小题,共 53 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? cos2
x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f ?? ? ?
3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

17. (本题满分 10 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 ,且 4S1 ,3S2 , 2S3 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . lg an ? lg an ?1

18. (本题满分 10 分) 如图,平行四边形 ABCD ? 平面 CDE , AD ? DC ? DE ? 4 , ?ADC ? 600 , AD ? DE . (Ⅰ)求证: DE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 C ? AE ? D 的余弦值的大小.

A

B

D

C

E
19. (本题满分 11 分)

(第 18 题)

3

已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 , (Ⅰ)设 g( x ) ? ( 2 x ? 3) f ( x ) ,若 y ? g( x ) 与 x 轴恰有两个不同的交点,试求 a 的取值集合; (Ⅱ)求函数 y ?| f ( x ) | 在 [0,1] 上的最大值.

20. (本题满分 12 分) 过离心率为
y2 2 x2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F (1,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 2 a b

A、B ,设 | FA |? ? | FB | , T ( 2,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 1 ? ? ? 2 ,求 ?ABT 中 AB 边上中线长的取值范围.

4


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