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光阴的故事---2013山东高考数学理科22题探究

光阴的故事------2013 山东高考理科 22 题探究
(2013 山东高考数学理科 22 题)椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 a 2 b2

3 , 2

过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 ? y2 ? 1 答案: 4

(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ) (Ⅱ) 在 的条件下, 过点 p 作斜率为 k 的直线 l, 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk2

此题评价: 由于只有“方程法”比较好做因此此题令考生十分难受,可以理解,多少考生只会韦达定理 法而不会其他方法?不过,就我个人而言倒是感觉十分过瘾。因为 2 年前“隐形的翅膀”就是研 究的 “方程法” 问题, 就是希望学生能够不完全依赖“韦达定理法” 从最近两年来看要想掌握“方 。 程法”对中等学生还是很困难,尖子生往往也不能合理驾驭。但是,我依然相信“方程法的研究” 很有价值。不过从 9 年高考题来看,这是唯一一次不能用“韦达定理”的情况,我也很感意外, 我没想到命题小组有着与我相同的“狂热”甚至“极端” ,如果换做是我会出一道“三法并行”的 题目。还有,此题可以用的解题方式太过灵活,甚至一些课外结论往往会是题目大大变简单,这 一点不如 2013 文科 22 题。如果数学依靠多掌握公式与结论就能多的分是不利于学生数学水平的 提高的,我觉得。如果将 2013 文理 22 提做个对比: 文科 22 题是“战略家”---注重思路方法能力(三法通用) ; 理科 22 题是“战术家”---突出技巧淡化通法(仅仅是法二的几种不同方式而已) 。 解析几何方法总结:解析几何常规方法主要是: 一、韦达定理法; 二、方程法; 三、三角代换法(非通法) 。 一般来讲学生只能掌握法一,法二尽管绝大部分题目可以用但是很少能够掌握且被很多师生 忽视;法三对应的“圆锥曲线参数方程”高考已经不要求且三角函数也在高考中降低要求因此已 经属于“补充”内容,而且三角代换并不能解决多数解析几何问题只适用于少数题目。我总结了 全部 9 年山东高考解析几何的命题特点如下: 法一(韦达定理) ,除了 2013 年山东理科 22 题外全都可以用; 法二(方程) ,2005 文理 22 题、2006 山东理科 21 题、2011 文理 22 题、2013 文理 22 题; 法三(三角代换) ,2009 理科 22 题(3)问;2011 理科 22 题(1) ;2013 文科 22 题(2)问; 综上述:三种方法尤其是前两种通法是一定有一种能够解决问题的。至于除着三种方法之外 的一些特殊技巧方法并不常见,诸如:向量法、数形结合法等我觉得还不能称之“方法” ,只能说 是一种“解法”吧!我印象中 2008 年理科 22 题(3)就有一种非常简单的“数形结合”的办法, 不过我想了三年才想出来且不具备“普遍性” ;还有理科 2009 年 2 题(3)也有一种利用“圆”的 办法,也是很难想到。 看看 9 年高考题,我有一种感觉:我们平时做了大量的解析几何题目,但是老师同学们是不 是都过分的在“韦达定理”法上反复浪费时间呢?其实,学生们把 9 年山东高考题都做熟做透就 足够了,每个山东高考题都做了三遍了吗?每个题目都从至少前两种方法思考对比了吗?。。。 。。。 下面我们从多个角度对 2013 山东理科数学高考 22 题(2) (3)问展开研究: 第(2)问中:法一(韦达定理)此题好像难以运用;法三(三角代换)很难发挥作用;

解读(2)问: (只能运用法二:方程法)如图: 方式一: d1 ? d 2 ) (
设点 P( x0 , y0 ) 满足:
2 x0 2 ? y0 ? 1 4

l PF1 : ( x0 ? 3 ) y ? y 0 x ? 3 y0 ? 0; l PF2 : ( x0 ? 3 ) y ? y0 x ? 3 y0 ? 0;
? y 0 (m ? 3 )
2 ( x0 ? 3 ) 2 ? y 0

点 P( x0 , y0 ) 到 l PF1 与l PF2 的距离 d1 ? d 2

?

y 0 (m ? 3 )
2 ( x0 ? 3 ) 2 ? y 0

?

(m ? 3 ) ( x0 ? 3 ) 2 ? 1 ?
2 x0 4

?

(m ? 3 ) ( x0 ? 3 ) 2 ? 1 ?
2 x0 4

?

(m ? 3 )

?

(m ? 3 )

?

m? 3 3 2? x0 2

?

3?m 3 2? x0 2

, (? M ? 线段F1 F2 , x 0 ? (?2,2))

3 3 (2 ? x0 ) 2 (2 ? x0 ) 2 2 2 3 ? 3 3? ? m ? x0 ? ? ? , ? 4 ? 2 2?
注意 1:若不能合理使用方程

2 y0 (m ? 3 ) y0 (m ? 3 ) x0 2 ? y0 ? 1 , 就只能平方,运算量巨大。 ? 2 2 4 ( x0 ? 3 ) 2 ? y0 ( x0 ? 3 ) 2 ? y0
2 2

注意 2: ( x0 ? 3 ) ? y 0 , ( x0 ? 3 ) ? y 0 分别就是 PF 、 2 ,也就是椭圆的焦半径,此处恰好又给出了 1 PF
2 2

x2 y2 焦半径 PF ? a ? ex0、 2 ? a ? ex0 的一种推导方式,即对于椭圆: 2 ? 2 ? 1 的焦半径 PF 、 2 : PF 1 1 PF a b
2 x0 PF1 ? ( x0 ? c) ? y ? ( x ? 2cx0 ? c ? b (1 ? 2 ) ? a ? a ? ex0 , (? x0 ? ?? a, a ?) 2 2 0 2 0 2 2

c2 2 c x ? 2cx0 ? a 2 ? ( x0 ? a) 2 2 0 a a

同理: 2 ? a ? ex0; PF ..........这种方法及问题“李真 . 、周琪卓兰曾同时运用 过。
建议焦半径公式: PF ? a ? ex0、 2 ? a ? ex0 可以补充给尖子生; PF 1 注意 3:2010 年青岛市一模文科 21 题(1)及 2009 年青岛一模文理 22 题(2)也是此类问题。 注意 4:2010 年全国卷理科 21 题做法上与此题也是极为类似,手头暂无材料无法展示此题了。好像是内切圆。

注意 5:直线方程还有一种常见处理方式(不再作为一种方法只是另一种处理方式而已) :

l PF1 : y ? k1 ( x ? 3 );l PF2 : y ? k1 ( x ? 3 ); k1 ?
k1 (m ? 3 ) 1 ? k12 k 2 (m ? 3 )
2 1 ? k2

y0 x0 ? 3

, k2 ?

y0 x0 ? 3



d1 ? d 2 ? ? m2 ? (

?

? m 2 ? 2 3(

2 2 k12 ? k 2 ? 2k12 k 2 )m ? 3 ? 0 2 k12 ? k 2

3x 4 3x0 4 ? )m ? 3 ? 0 ? m ? 0 或m ? (舍, m ? ? 3, 3 ; 过P与PM垂直的也满足 1 ? d 2) ? d ) x0 4 4 x0

?

?

方式二: (正弦定理或结论)
在 ?AF M 中由正弦定理知: 1

F1 M sin

?
2

?

PF1 sin ?PMF1

; 在 ?AF2 M 中由正弦定理知:

F2 M sin

?

?

PF2 sin ?PMF2

;

2

又? ?PMF ? ?PMF2 ? ? , PF1 ? 2 ? 3,2 ? 3 1

?

?

?

F1 M F2 M

?

PF1 PF2

?

3?m 3?m

?

PF1 4 ? PF1

?m?

3 ? 3 3? PF1 ? 3 ? ? ? , ? 2 ? 2 2?

注意 1:由于涉及边较多故选用正弦定理而非余弦定理; 注意 2:巧用椭圆定义,建立 m ? f ( PF ) 的函数关系; 1 注意 3:关于角平分线的一个重要结论:

F1M F2 M

?

PF1 PF2

。我认为是可以直接运用的,则此题又会大大简化。

方式三: (光学原理+第三问结论)如图结合物理光学知识不难发现:
光线从 F1 出发到点 P 经过椭圆(相当于入射过点 P 与椭圆相切的直线 l 上)反射经过点 F2 ,由入射角等于反射 角原理可知: PM ? l ;在第(3)问中我们可以推出:k ? ?

x0 y0 x ,? k PM ? k ? ?1 ,? ? (? 0 ) ? ?1 4 y0 x0 ? m 4 y0

?m?

3 ? 3 3? x0 , x0 ? ?? 2,2?,? m ? ? ? , ? 4 ? 2 2?

注意 1:此法前提为第三问 k ? ?

x0 要能够推导出来。 4 y0

注意 2:这个光学原理我没有证明,但是我很有信心它是正确的。

方式四: cos (

?
2

?

PF1 ? PM PF1 PM

?

PF2 ? PM PF2 PM
?



PF1 PF1

?

PF2 PF2

与PM共线 ) PF2 ? PM PF2

解:由角平分线知: cos

?
2

?

PF1 ? PM PF1 PM

PF2 ? PM PF2 PM

?

PF1 ? PM PF1

?

2 3 2 2 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4x0 ?16) ? 3x0 ?12x0 ,因为 x0 ? 4 ,

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? ( ? , ) 4 2 2

注意::这是网上提供的一种解法,我算过运算量很大,我觉得没啥意思;

? c2 c2 ? 此题推广至一般结论: m ? ? ? , ? ? a a ? ? ?

总体看(2)问重点考察了“方程思想” ,方式较多也显得技巧由于高度不足(最好避开结论) 。

解读第(3)问: (法一:韦达定理)如图,由题意知:

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k ( y 0 ? kx0 ) x ? (4k 2 x0 ? 4 y 0 ? 8kx0 y 0 ? 4 ? 0 ?4 ? y ? k(x ? x ) ? y 0 0 ? 2 2 ? ? 0 ? (4 ? x0 )k 2 ? 2 x0 y 0 k ? 1 ? y 0 ? 0.......... 此处运算量很大 我算了一遍, 很难短时间内算对。 ...... ,
2 2 x0 x0 2 (4 ? x )k ? 2 x0 y 0 k ? 1 ? y ? 0 ? 4 y k ? 2 x0 y 0 k ? ? 0.......... 此处灵活运用“ ? y 0 ? 1”实现 4 4 x 2 2 ? 4 y 0 k 2 ? 2 x0 y 0 k ? 4 x0 ? 2 y 0 k ? 0 ) 2 ? 0, ( 2 x ?k ? ? 0 , 4 y0 2 0 2 2 0 2 0 2

又k1 ?

y0 x0 ? 3

, k2 ?

y0 x0 ? 3

??

4 y 2x 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ? 0 ( 0 ) ? ?8 kk1 kk 2 k k1 k 2 x0 y 0

(法二:方程法)
导数方式一:

x x2 x2 x x ? y 2 ? 1 ? ( )? ? ( y 2 )? ? 1? ? ? 2 yy ? ? 0 ? y ? ? ? ,? k ? ? 0 ,以下略。 4 4 2 4y 4 y0
当y ? 0时,y ? 1 ? x2 1 x2 ? x , y ? ? ? (1 ? ) 2 ? (? ) ? ? 4 2 4 2
1 1

x 4 1? x2 4 x2 4

??

x ; 4y x ; 4y

导数方式二: 当y ? 0时,y ? ? 1 ?

x2 1 x2 ? x , y ? ? ? ? (1 ? ) 2 ? (? ) ? 4 2 4 2

x 4 1?

??

?? k ? ?

x0 .......... .......... 以下略。 ....... 4 y0
x0 x x ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,以下略。 4 4 y0

结论法:椭圆的在 P 点处的切线方程为:

注意:椭圆切线的一般性结论:

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 (可类比原点圆的切线: x0 x ? y0 y ? r 2 ) 2 a b

(法三:光学原理+第(2)问结论)如图结合物理光学知识不难发现:
光线从 F1 出发到点 P 经过椭圆(相当于入射过点 P 与椭圆相切的直线 l 上)反射经过点 F2 ,由入射角等于反射 角原理可知: PM ? l ;在第(2)问中我们可以推出: m ?

3 x0 ;又 k PM ? k ? ?1,? 4

y0 ? k ? ?1 3x0 x0 ? 4

?k ??

x0 ,以下略。 4y 0

推广至一般结论: k ? ?

b 2 x0 1 1 2a 2 , ? ?? 2 a 2 y0 kk1 kk2 b

对比 1:切线问题巧解 2009 山东文科 22 题(3)
(2009 山东文 22(3) )设直线 l 与圆 C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E: 共点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

x2 ? y 2 ? 1 只有一个公 4

解读:此题与 2013 山东理科 22 题(3)极为类似。 法一联立判别式的方式不再展开了,也是运算量很大很大! 法二:方程法+导数
2 2 设B1 ( x0 , y0 ) ,由于直线 l 是圆 C 与椭圆 E 公切线, A1 B1 ? OB1 ? OA1 ? x0 ? y 0 ? R 2 2 2 2

由椭圆切线知:

x x2 x2 x x ? y 2 ? 1 ? ( )? ? ( y 2 )? ? 1? ? ? 2 yy ? ? 0 ? y ? ? ? ,? k ? ? 0 , 4 4 2 4y 4 y0
x0 x ? y0 y ? 1 ;同时作为圆的切线得: 4

椭圆切线 l 的方程为:

1 x 2 ? y0 16
2

2 0

?R?

1 x 3x ?1? 16 4
2 0 2 0

2 ? R, ? 3x0 ? 16 ?

16 R2

2 2 2 ? A1 B1 ? x0 ? y 0 ? R 2 ? x0 ? 1 ?

2 x0 4 ? R 2 ? 5 ? ( 2 ? R 2 ) ? 1, 等号当仅当R ? 2 。 4 R

对比 2:圆锥曲线切线问题在 2008 山东理科 22 题、2012 理科 22 题、2009 文科 22 题、2013 文理 11 题、2013 理科 22 题均涉及,值得关注。
(2012 山东理科 21)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上位于 第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为

3 。 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在, 说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l:y=kx+

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q 有两个不同的 4
的最小值。

交点 D,E,求当

1 ≤k≤2 时, 2

(2008 年山东高考理科 22 题) 如图, 设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,M 为直线 y ? ?2 p 上任意一点, M 过
2

引抛物线的切线,切点分别为 A,B . (Ⅰ)求证: A,M ,B 三点的横坐标成等差数列;

? (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为 (2, 2 p) 时, AB ? 4 10 .求此时抛物线的方程;
2 (Ⅲ)是否存在点 M ,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 上,其中,点 C 满足

??? ??? ??? ? ? ? OC ? OA ? OB ( O 为坐标原点) .若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
以上两题切线较好处理,因为开口向上的抛物线本身就是二次函数,容易想到导数。 总之,2013 山东理科高考题 22 题重点考察了“方程法” ,这一点估计很多老师同学不会喜欢, 不过符合我的胃口。我在《隐形的翅膀》中已经表达很多了。但是,方程法相对于韦达定理更加 灵活,需要老师们在教学中多家研究、精心指导。

对比 3: “光阴的故事”---2011 年高考前的一道改编题目。
圆 D : x 2 ? y 2 ? 3 。探究:是否存在离心率为

x2 y2 2 的椭圆 M : 2 ? 2 ? (a ? b ? 0) ,使得圆 D 上任意一点引 2 a b

椭圆 M 的两条切线互相垂直。若存在请求出椭圆 M 的标准方程;不存在请说明理由。

x2 2 2 2 2 2 ( ? y 2 ? 1. 解析: (Ⅰ)由 e ? 知 a ? 2b 当取特殊位置如图: a,b) 在圆 x ? y ? 3 上,C 方程为 2 2
下面证明:圆 D : x 2 ? y 2 ? 3 上任意一点 P 作椭圆 M 的两条切线 m, n . m ? n . (韦达定理+判别式+方程法) 设 P( x0 , y0 ) .当 x0 ? ? 2 时, 有一条切线斜率不存在, 此时, y0 ? ?1 , 可见, 另一条切线平行于 x 轴,m ? n ; 设 x0 ? ? 2 ,则两条切线斜率存在.设直线 m 的斜率为 k ,则其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x2 ? y 2 ? 1 并 整 理 得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 ) 2 ? 2 ? 0. 即 y ? kx ? y0 ? kx0 . 代 入 2
2 2 2 2 2 2 由 ? ? 0 可得: (2 ? x0 )k 2 ? 2x0 y0 k ? 1 ? y0 ? 0 ,? ( y0 ? 1)k 2 ? 2x0 y0 k ? (1 ? y0 ) ? 0 , ? x0 ? y0 ? 3 ) (
2 1 ? y0 m, n 的斜率 k1 , k 2 就是上述方程的两根,由韦达定理, k1k 2 ? 2 ? ?1 .这就证明了 m ? n . y0 ? 1

(这是一种方程思想,既与 2013 山东理科 22 题(3)问类似与 2006 山东理科 21 题“逆用方程”也很类似) .............. ..... .. ....... ..... ............ .. . . .. . 综上所述,过圆 D 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m, n ,总有 m ? n .

春天的花开秋天的风以及冬天的落阳, 忧郁的青春年少的我曾经无知的这么想, 风车在四季轮回的歌里它天 天地流转,风花雪月的诗句里我在年年的成长,流水它带走光阴的故事改变了一个人,就在那多愁善感而初次等 待的青春 发黄的相片古老的信以及褪色的圣诞卡, 年轻时为你写的歌恐怕你早已忘了吧, 过去的誓言就象那课本里缤 纷的书签,刻划着多少美丽的诗可是终究是一阵烟,流水它带走光阴的故事改变了两个人,就在那多愁善感而初 次流泪的青春 遥远的路程昨日的梦以及远去的笑声, 再次的见面我们又历经了多少的路程, 不再是旧日熟悉的我有着旧日 狂热的梦,也不是旧日熟悉的你有着依然的笑容,流水它带走光阴的故事改变了我们,就在那多愁善感而初次回 忆的青春


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