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高中数学北师大版必修三应用案巩固提升案:第1章 6 §4 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差

[A 基础达标] 1.已知一组数据 10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系 是( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 解析:选 D.中位数、平均数、众数都是 50,从中看出一组数据的中位数、众数、平均 数可以相同. - - 2. 如图所示, 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体, 它们的样本平均数分别为 x A 和 x
B,样本标准差分别为 sA 和 sB,则(

)

- - A. x A> x B,sA>sB - - C. x A> x B,sA<sB

- - B. x A< x B,sA>sB - - D. x A< x B,sA<sB

- - 解析:选 B.A 中的数据都不大于 B 中的数据,所以 x A< x B,但 A 中的数据比 B 中的数 据波动幅度大,所以 sA>sB. 3.期中考试后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当成一个 同学的分数, 与原来的 40 个分数一起, 算出这 41 个分数的平均数为 N, 那么 M∶N 为( 40 A. 41 B.1 41 C. 40 D.2 )

x1+x2+…+x40 解析:选 B.设 40 位同学的成绩为 xi(i=1,2,…,40),则 M= ,N= 40 x1+x2+…+x40+M 40M+M = =M. 41 41 故 M∶N=1. 4.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如下表,则这 100 人成绩的标准差 为( ) 分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

A. 3 C.3

2 10 B. 5 8 D. 5

- 20×5+10×4+30×3+30×2+10×1 解析:选 B. x = =3, 100 所以 s2= 1 160 8 2 10 (20×22+10×12+30×12+10×22)= = ,所以 s= ,故选 B. 100 100 5 5

5. 一组数据中的每一个数据都减去 80, 得到一组新数据, 若求得新数据的平均数是 1.2, 方差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( A.81.2,4.4 C.81.2,84.4 ) B.78.8,4.4 D.78.8,75.6

解析:选 A.由平均数和方差的计算公式知,如果数据中的每一个数都减去 80,则平均 数就减去 80,因而原来数据的平均数为 80+1.2=81.2,而方差并不发生变化,仍为 4.4.因 此答案选 A. - 6.若 a1,a2,…,a20,这 20 个数据的平均数为 x ,方差为 0.20,则数据 a1,a2,…, - a20, x 这 21 个数据的方差为________. 1 - - - 解析:这 21 个数的平均数仍为 x ,从而方差为 ×[20×0.2+( x - x )2]≈0.19. 21 答案:0.19 7.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 2,则 xy=________. 解析:由平均数是 10,得 x+y=20,由标准差是 2,得 1 [(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2] = 2 ,所以 5 (x-10)2+(y-10)2=8,所以 xy=96. 答案:96 8.已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3,7,a,b,12,20,且总体的中位数为 12,若要使该总体的标准差最小,则 a=________. 解 析 : 由 中 位 数 为 12 可 得 a+b = 12 , 所 以 a + b = 24 , 所 以 总 体 的 平 均 数 为 2

3+7+a+b+12+20 =11,要使该总体的标准差最小,需要(a-11)2+(b-11)2 最小,而(a 6 -11)2+(b-11)2=(a-11)2+(24-a-11)2=2(a-12)2+2, 所以 a=12 时总体的标准差最小. 答案:12 9.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩情况如图.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和(1)算得的结果,对两人的训练成绩做出评价. 解:(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为: 甲 乙 10 分 13 分 13 分 14 分 12 分 14 分 12 分 12 分 16 分 14 分

10+13+12+14+16 甲的平均得分为 =13, 5 13+14+12+12+14 乙的平均得分为 =13. 5 1 2 2 2 2 2 s2 甲= [(10-13) +(13-13) +(12-13) +(14-13) +(16-13) ]=4, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(13-13) +(14-13) +(12-13) +(12-13) +(14-13) ]=0.8. 5
2 (2)由 s甲 >s2 乙可知乙的成绩较稳定.

从折线统计图看,甲的成绩基本上呈上升状态,而乙的成绩在平均线上下波动,可知甲 的成绩在不断提高,而乙的成绩无明显提高. 10.在射击比赛中,甲、乙两名运动员分在同一小组,统计出他们命中的环数如下表: 甲 乙 9 2 6 4 7 6 6 8 2 7 7 8 7 9 9 7 8 9 9 10

赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者,如果你是裁判,你将给出怎样的评判? 解:为了分析的方便,先计算两人的统计指标如下表所示. 平均数 甲 乙 7 7 方差 4 5.4 中位数 7 7.5 命中 10 环次数 0 1

(1)平均环数和方差相结合,平均环数高者胜.若平均环数相等,则再看方差,方差小 者胜,则甲胜. (2)平均环数与中位数相结合,平均环数高者胜,若平均环数相等,则再看中位数,中 位数大者胜,则乙胜. (3)平均环数与命中 10 环次数相结合,平均环数高者胜.若平均环数相等,则再看命中 10 环次数,命中 10 环次数多者胜,则乙胜.

[B

能力提升]

11.若某同学连续三次考试的名次(第一名为 1,第二名为 2,以此类推且可以有名次并 列的情况)均不超过 3,则称该同学为班级尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续 三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是( A.甲同学:平均数为 2,中位数为 2 B.乙同学:平均数为 2,方差小于 1 C.丙同学:中位数为 2,众数为 2 D.丁同学:众数为 2,方差大于 1 解析:选 D.甲同学名次数据的平均数为 2,说明名次之和为 6,又中位数为 2,得出三 次考试名次均不超过 3,断定甲是尖子生;乙同学名次数据的平均数为 2,说明名次之和为 6,又方差小于 1,得出三次考试名次均不超过 3,断定乙是尖子生;丙同学名次数据的中位 数为 2,众数为 2,说明三次考试中至少有两次名次为 2,故丙可能是尖子生;丁同学名次 数据的众数为 2,说明某两次名次为 2,设另一次名次为 x,经验证,当 x=1,2,3 时,方 差均小于 1,故 x>3,断定丁一定不是尖子生. 12.某市有 15 个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为 20 万,标 准差为 s,后来经核实,发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为 20 万,被误 统计为 15 万,乙景点实际为 18 万, 被统计成 23 万;更正后重新计算,得到标准差为 s1, 则 s 与 s1 的大小关系为( A.s=s1 C.s>s1 ) B.s<s1 D.不能确定 )

解析:选 C.由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游 - 人数的平均数是相同的,设为 x , 则 s= s1= 1 - - - - [(15- x )2+(23- x )2+(x3- x )2+…+(x15- x )2], 15 1 - - - - [(20- x )2+(18- x )2+(x3- x )2+…+(x15- x )2]. 15

- - - - 若比较 s 与 s1 的大小,只需比较(15- x )2+(23- x )2 与(20- x )2+(18- x )2 的大小即 - - - - - - - - 可.而(15- x )2+(23- x )2=754-76 x +2 x 2,(20- x )2+(18- x )2=724-76 x +2 x 2, - - - - 所以(15- x )2+(23- x )2>(20- x )2+(18- x )2.从而 s>s1. 13.已知数据 80,82,84,86,88 的方差为 s2,且关于 x 的方程 x2-(k+1)x+k-3=0 的两根的平方和恰好是 s2,则 k=________. 解析:样本的平均数是 84, 1 所以 s2= ×[(80-84)2+(82-84)2+(84-84)2+(86-84)2+(88-84)2]=8.设方程的两 5

根为 x1,x2,则
2 2 2 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=(k+1) -2(k-3)=8,

即 k2=1,解得 k=± 1,且当 k=± 1 时,满足方程有两根,即 k=± 1. 答案:± 1 14.(选做题)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表. 工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年龄 40 44 40 41 33 40 45 42 43 工人编号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 年龄 36 31 38 39 43 45 39 38 36 工人编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 年龄 27 43 41 37 34 42 37 44 42 工人编号 28 29 30 31 32 33 34 35 36 年龄 34 39 43 38 42 53 37 49 39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; - (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s2; - - (3)36 名工人中年龄在 x - s 与 x + s 之间有多少人?所占的百分比是多少 ( 精确到 0.01%)? 解:(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,根据题意,所抽取工人编号 为 2,6,10,14,18,22,26,30,34,相应工人的年龄数据为 44,40,36,43,36,37, 44,43,37. - 1 (2)样本均值 x = ×(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40. 9 1 样本方差 s2= ×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2 9 1 +(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]= ×[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(- 9 100 3)2]= . 9 10 - - - (3)由于 x =40,s= s2= ≈3.33,36 名工人中年龄在 x -s≈36.67 与 x +s≈43.33 之 3 间有 23 人, 23 所占比例为 ≈63.89%. 36


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