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北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编2函数

高中数学组——郭子敬整理

北京 2013 届高三理科数学最新模拟试题分类汇编 2:函数
一、选择题
1 .( 2013 北 京 朝 阳 二 模 数 学 理 科 试 题 ) 已 知 函 数 f (x) ? a ? 2 x ?1(a ? 0) , 定 义 函 数

F ( x)

?

? f (x), ??? f (x),

x ? 0,
给出下列命题:
x ? 0.

① F(x) ? f (x) ; ②函数 F(x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有

F( m)? F( n)? 0成立,其中所有正确命题的序号是

()

A.②

B.①②

C.③

D.②③

2 .(2013 届东城区一模理科)已知定义在 R 上的函数 f (x) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时,

f (x) ? 2x ? 3 .若函数 f (x) 在区间 (k ?1, k) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为

()

A. 2 或 ?7

B. 2 或 ?8

C.1或 ?7

D.1或 ?8

3 .(2013 北京房山二模数学理科试题及答案)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调

递增的是

()

A. y ? x ?1

B. y ? tan x

C. y ? x3

D. y ? log2 x

4 .( 2013 北 京 丰 台 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 偶 函 数 f (x)(x ? R) , 当 x ? (?2, 0]

时, f (x) ? ?x(2 ? x) ,当 x ?[2, ??) 时, f (x) ? (x ? 2)(a ? x) ( a ? R ).

关于偶函数 f (x) 的图象 G 和直线 l : y ? m( m? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ?[0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2;

③ ?m?(1, ??), ?a ?(4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相

等.

其中正确命题的序号是

()

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

第二部分(非选择题 共 110 分)

5

.(2013 届北京市延庆县一模数学理)已知函数

f

(x)

?

?log

? ?3

x

,

4
x

x, ?

x 0

?

0

,则

f[f

( 1 )] ? 16





A. 9

1 B. 9

C. ? 9

1 ? D. 9

-1-

高中数学组——郭子敬整理

6 .(北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)已知函数 f (x) ? 2x ?1, x ? N* .若

?x0 , n ? N* ,使 f (x0 ) ? f (x0 ?1) ? ? f (x0 ? n) ? 63 成立,则称 (x0 , n) 为函数 f (x) 的

一个“生成点”.函数 f (x) 的“生成点”共有

()

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

7 .(2013 届北京西城区一模理科)已知函数 f (x) ? log2 x ? 2 log2 (x ? c) ,其中 c ? 0 .若对

于任意的 x ? ( 0, ? ? ) ,都有 f (x) ? 1,则 c 的取值范围是

()

A. (0, 1 ] 4

B.[1 , ??) 4

C. (0, 1] 8

D.[1 , ??) 8

8 .(2013 届北京丰台区一模理科)如果函数 y=f(x)图像上任意一点的坐标(x,y)都满足方程

lg(x ? y) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项是

()

A.y=f(x)是区间(0, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 B.y=f(x)是区间(1, ?? )上的增函数,且 x+y ? 4 C.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4 D.y=f(x)是区间(1, ?? )上的减函数,且 x+y ? 4
9 .(2013 北京西城高三二模数学理科)已知函数 f (x) ? x ?[x] ,其中[x] 表示不超过实数 x 的

最大整数.若关于 x 的方程 f (x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 ( )

A. [?1, ? 1) (1 , 1] 2 43

B. (?1, ? 1] [1 , 1) 2 43

C.[? 1 , ? 1) (1 34 2

10.(2013 届北京市延庆县一模数学理)已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? 2(a ? 0) 有且仅有两个不

同的零点 x1 , x2 ,则

()

A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 0 B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 0

C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1x2 ? 0

11.(2013 届北京大兴区一模理科)若集合 M = {y | y = 2- x} ,P = {y | y = x - 1},则 M P =

()

A.{y | y ? 1}

B.{y | y ? 1}

C.{y | y ? 0}

D.{y | y ? 0}

二、填空题

? ? 12.(北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析))已知定义域为 R 的偶函数 f x

-2-

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? ? 在 ?? ?,0?上是减函数,且 f ?? 1 ?? ? 2 ,则不等式 f 2x ? 2 的解集为_____________. ?2?

13.(2013

届北京海滨一模理科)已知函数

f

(x)

?

??2x

? ??

x2

? a, ? 3ax

?

a,

x ? 0, 有三个不同的零点,则
x?0

实数 a 的取值范围是_____.

14 .( 2013

届北京大兴区一模理科)已知函数

f

(x)

=

ì????í??????

2x, 0 ≤ x ≤ 1 2
2- 2x, 1 < x ≤1 2







f1(x) = f (x) , fn (x) = f ( fn- 1(x)) ,( n≥ 2 , n ? N* ).把满足 fn (x) = x ( x ? [0,1])

的 x 的个数称为函数 f (x) 的“ n- 周期点”.则 f (x) 的 2- 周期点是

; n- 周期

点是



15.(2013 届房山区一模理科数学)某商品在最近100 天内的单价 f (t) 与时间 t 的函数关系是

f

(t)

?

?t ?? 4 ? ????

?
t 2

22 ? 52

(0 ? t ? 40,t ? N) (40 ? t ?100,t ? N)

日销售量 g(t) 与时间 t 的函数关系是 g(t) ? ? t ? 109 (0 ? t ?100,t ?N) .则这种商品 33
的日销售额的最大值为 .

16(.2013 届房山区一模理科数学)已知函数 f (x) 的定义域是 D,若对于任意 x1, x2 ? D ,当 x1 ? x2

时,都有 f (x1) ? f (x2 ) ,则称函数 f (x) 在 D 上为非减函数.设函数 f (x) 在[0, 1] 上为非减

函数,且满足以下三个条件:① f (0) ? 0 ;

则 f (4) ? , f ( 1 ) ? .

5

2013

② f ( x) ? 1 f (x) ; 52

③ f (1? x) ?1? f (x) .

? ? 17.(北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析))函数 f x 的定义域为 A ,若

x1, x2 ? A 且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 时 总 有 x1 ? x2 , 则 称 f ?x? 为 单 函 数 . 例 如 , 函 数 f ?x? ? x ? 1?x ? R?是单函数.下列命题:

①函数 f ?x? ? x2 ? 2x?x ? R?是单函数;

-3-

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②函数

f

?x?

?

?log ??2 ?

2 x, x ? 2, x, x ? 2

是单函数;

③若 f ?x? 为单函数, x1, x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ;

④函数 f ?x? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ?x? 一定是单函数.

其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).

18.(2013 届门头沟区一模理科)定义在 (??, 0) (0, ??) 上的函数 f (x) ,如果对于任意给定

的等比数列 {an} , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f (x) 为“等比函数”。现有定义在

(??, 0) (0, ??) 上的如下函数:① f (x) ? 2x ;② f (x) ? log2 x ;③ f (x) ? x2 ;④

f (x) ? ln 2x ,则其中是“等比函数”的 f (x) 的序号为



三、解答题

19.(2013

届门头沟区一模理科)对于集合

M

,定义函数

fM

(x)

?

??1, x ? M

? ?

1, x ? M

,对于两个集合

? ? M , N ,定义集合 M ? N ? x fM (x) ? fN (x) ? ?1 .已知 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6? ,

B ? ?1,3,9, 27,81? .

(Ⅰ)写出 fA (2) 与 fB (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; (Ⅱ)用 Card (M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B) 的
最小值;
(III)有多少个集合对 (P, Q) ,满足 P, Q ? A B ,且 (P ? A) ? (Q ? B) ? A ? B .

-4-


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