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山东省菏泽市2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题(A)


高一数学试题(A)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? ??1,0,1, 2,3, 4? , N ? ??1, 2,3,5? , P ? M ? N ,则 P 的子集共有( A.8 个 B.6 个 C.4 个 D.2 个 )

2.以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等 于 ( A. 2? ) B. ? C.2 D.1

3.如图所示三棱柱 ABC-A1B1C1 中,过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于直线

DE,则 DE 与 AB 的位置关系是(
A.异面 C.相交

) B.平行 D.以上均有可能

4.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个 几何体的三视图,则这个几何体是( A.三棱锥 C.四棱锥 ) B.三棱柱 D.四棱柱 ) D. b> c> a

2 2 1 2 1 1 5.设 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 3 , c ? ( ) 3 ,则 a,b,c 的大小关系是( 3 3 3

A. a> b> c

B. a> c> b

C. c> a> b

6.过△ABC 所在平面 ? 外一点 P,作 PO⊥ ? ,垂足为 O,连接 PA,PB,PC,若 PA=PB=PC,则 点 O 是△ABC 的( A.垂心 ) B.外心 C.内心 D.重心 ) D.4 )

?3x , x ? 1 ? 7.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 ,则函数 y ? f ( x) ? x ? 4 的零点个数为( 1 ? ? 3

A.1

B.2

C.3

8.已知 m,n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.m∥n, m ? ? ? n ? ? B. ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ? m∥n

1

C. m ? ? , n ? ? ,m∥n ? ? ∥ ?

D. m ? ?, n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ? ? ∥ ? ) D.1

9.已知函数 f ( x) ? 5| x| , g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) ,若 f ( g (1)) ? 1 ,则 a=( A.-1 B.2 C.3

10.如图所示,E 是正方形 ABCD 所在平面外一点,E 在面 ABCD 上的正投影 F 恰在 AC 上,FG∥BC,

AB=AE=2,∠EAB=60°.有以下四个命题:
(1)CD⊥面 GEF; (2)AG=1;

(3)以 AC,AE 作为邻边的平行四边形面积是 8; (4)∠EAD=60°. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中的横线上) 11.指数函数 y ? ? ? 的图象如图所示,则二次函数 y ? ax 2 ? bx 的 a 顶点的横坐标的取值范 围是 .
?b? ? ?
x

12.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是



13. 已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数,A(0, ?1), B(3,1) 是其图象上的两点, 那么 f ( x ? 1) ? 1 的解集是 .

14.如图,ABCD—A1B1C1D1 为正方体,下面结论: ①BD∥平面 CB1D1 ; ②AC1⊥BD; ③AC1⊥平面 CB1D1 ; ④异面直线 AD 与 CB1 所成角为 60°。 错误 的有 .. 15.下列各式:
2

. (把你认为错误的序号全部写上)

5 1 (1) lg ? 2lg 2 ? ( )?1 ? ?1 2 2

(2)函数 f ( x) ?

e x ? e? x 是奇函数且在 (??, ??) 上为增函数; 2

(3)已知函数 f ( x) ? x2 ? (2 ? m) x ? m2 ? 12 为偶函数,则 m 的值是 2; (4)若 f ( x) 是幂函数,且满足 其中正确的 有 ..... 1 f (4) 1 ? 3 ,则 f ( )= ? . 2 f (2) 3 . (把你认为正确的序号全部写上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? log a x , (a ? 0且a ? 1) 的图象过 ( , 2) 点. 4

(1)求 a 的值. (2)若 g ( x) ? f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,求 g ( x) 的解析式与定义域.

17.(本小题满分 12 分) 如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 是 AB 上一点,

N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC.
(1)求证:AD1⊥平面 A1DC; (2)求 MN 与平面 ABCD 所成的角.

18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) 为二次函数,且满足 f (2) ? 1 ,
f ( x) 在 (0, ??) 上的两个零点为 1 和 3.

(1)求函数 f ( x) 在 R 上的解析式; (2)若 x ? (??, m) 时,函数 f ( x) 的图像恒在 y ? ?3 的上方,求 m 的取值范围.

3

19. (本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CC1⊥底面 ABC,

AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中点.
(1)求异面直线 AC1 与 BB1 所成的角; (2)求四面体 B1C1CD 的体积.

20. (本小题满分 13 分) 如图,四凌锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,AP=1,AD= 3 ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)当 PC⊥BD 时,求 PB 的长; (3)若底面 ABCD 为矩形,三棱椎 P-ABD 的体积 V ? 求二面角 P-BC-A 的余弦值.
3 , 4

21. (本小题满分 14 分)
?1 ? 1, 0 ? x ? 1, ? ?x 已知函数 f ( x) ? ? ?1 ? 1 , x ? 1. ? ? x

(1)判断函数 f ( x) 在区间 (0,1) 和 [1, ? ?) 上的单调性(不必证明) ;
1 1 (2)当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 时,求 ? 的值; a b
mb] (m ? 0) , (3)若存在实数 a, b (1 ? a ? b ? ,使得 x ? [a, b] 时, f ( x) 的取值范围是 [ma ,

1 1 求 ? 的值. a b

4

高一数学试题(A)参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 6.B 7.B 8.A 9.D 10.C

二、填空题
1 11. (? , 0) 2

12. 8 ?

2? . 3

13. ?x x ? 2? .

14.④. 15.①②③

三、解答题
1 16.解:(1)因为 f ( x) ? log a x (a ? 0且a ? 1) 的图象过 ( , 2) 点 4

所以 log a

1 1 ? 2 ,即 a 2 ? ,………………………………………………3 分 4 4 1 ;………………………………………………6 分 2

又 a ? 0且a ? 1 ,所以 a ?

(2)由(1)知 f ( x) ? log 1 x ,又 g ( x) ? f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,
2

所以 g ( x) ? log 1 (3 ? x) ? log 1 (3 ? x) = log 1
2 2
2

3? x ,…………………………10 分 3? x

要使此函数有意义,有 ?

?3 ? x ? 0 ,解之得: ?3 ? x ? 3 , ?3 ? x ? 0

所以该函数的定义域为 ?x ?3 ? x ? 3? .…………………………………12 分 17.证明: (1)由 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体知, CD ? 平面ADD1 A1 , AD1 ? 平面ADD1 A1 , 所以 CD ? AD1 ,又 ADD1 A1 为正方体知 AD1 ? A1 D ,
? ? 所以 AD1 ? CD ? ? AD1 ? 平面A1 DC ;…………………………………6 分 A1 D ? CD ? D ? ? AD1 ? A1 D

(2)因为 MN ? 平面A1 DC ,又由(1)知 AD1 ? 平面A1 DC ,所以 MN / / AD1 , 所以 AD1 与平面 ABCD 所成的角,就是 MN 与平面 ABCD 所成的角,….8 分 因为 D1 D ? 平面ABCD , 所以 ?D1 AD 即为 AD1 与平面 ABCD 所成的角, . .10 分 显然 ?D1 AD =

? ? ,所以 MN 与平面 ABCD 所成的角为 .………………12 分 4 4

18.解: (1)由题意,当 x ? 0 时,设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) ,
? f (2) ? 1 ,∴ a ? ?1,∴ f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ,

…………………………2 分
5

(注:设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, (a ? 0) 一样给分) 当 x ? 0 时, ?x ? 0 ,∵ f ( x) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? 4(? x) ? 3] ? x 2 ? 4 x ? 3 , 即 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 , ……………………………………5 分

当 x ? 0 时,由 f (? x) ? ? f ( x) 得: f (0) ? 0 …………………………………6 分
?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? ?? x ? 0 .……………………………………………7 分 所以 f ( x) ? ? 0, ? 2 ? x ? 4 x ? 3,?? x ? 0
, m ) 时, (2) 若 x ? (?? 函数 f ( x) 的图像恒在 y ? ?3
y

的上方,则 x ? (??, m) 时,函数 f ( x) 的最小
4

值大于 ?3 . 当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 其最小值为

3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 3 1 2 4 x

f(-2)=-1,……………………9 分
当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的图像开口向下, 令 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 =-3,
2

-3 -4

解得 x=0 或 x=4,………………………11 分 综上可知, m ? 4 .………………………12 分

19. (本题满分 12 分) (1)因为 BB1 / / CC1 ,所以异面直线 AC1与BB1 所成的角就 是 AC1与CC1 所成的角, 即 ?AC1C ;……………………………………2 分 由 CC1 ? 底面ABC , AC ? CC1 , 可得 ?AC1C = 角为

? ;所以异面直线 AC1 与 BB1 所成的 4

? .………………………………………4 分 4

(2)在平面 ABC 内作 DF⊥BC 于点 F, ∵ CC1 ? 底面ABC , DF ? 平面ACB ,∴ CC1 ? DF ;
6

∵ BC ? CC1 ? C ,∴ DF ? 平面BCC1 B1 . ∴DF 是三棱锥 D ? CC1 B1 的高,…………………………………………………8 分 ∵ AC ? BC ? CC1 ? 2 ,∴ S?B C C ? 2
1 1



DF ? 1 ,………………………………10 分

1 2 ∴四面体 B1C1CD 的体积为 VD ? B1C1C ? S?B1C1C ? h ? .…………………………12 分 3 3 20. (本小题满分 13 分)

(1)证明:设 AC 与 BD 交于点 O, ∵ABCD 是平行四边形, 故 O 是 BD 中点,连结 OE,在△DPB 中, ∵E 是 PD 的中点,∴OE∥PB,………………2 分 ∵OE ? 平面 AEC,∴PB//平面 AEC;……4 分 (2)解:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD,PA⊥AB; ∵PC⊥BD,∴BD⊥平面 PAC,∴BD⊥AC, ∴平形四边形 ABCD 是菱形,……………………………6 分 ∴AB=AD= 3 ,∴在直角△PAB 中,PB= AB2 ? PA2 ? 3 ? 1 =2;…………8 分 (3)因底面 ABCD 为矩形,则△DAB 是直角三角形,AB⊥BC, 又 PA⊥BC,所以 BC⊥面 PAB, 所以 PB⊥BC,∠PBA 即为二面角 P ? BC ? A 的平面角, ∴三棱椎 P-ABD 的体积 V ? ? AB ? AD ? AP ? 在直角△PAB 中,PB= AB 2 ? PA2 ? ( ) 2 ? 1 ?
3 AB 3 13 在直角△PAB 中 cos ?PBA ? , ? 2 ? PB 13 13 2
3 2 1 1 3 2 3 3 ,解得 AB ? ,………10 分 4 2 13 , 2

所以二面角 P ? BC ? A 的余弦值为 21.(本小题满分 14 分)

3 13 .……………………………………13 分 13

解: (1) f ( x) 在区间 (0,1) 上为减函数,在 [1, ??) 上为增函数; ………………2 分 (2)由 0 ? a ? b ,且 f (a)=f (b),根据单调性可得 0 ? a ? ? ? b ,
7

则 f (a) ?

1 1 ? 1 , f (b) ? 1 ? , a b

1 1 1 1 由 f (a) ? f (b) 得 ? 1 ? 1 ? ,即 ? ? 2 . ……………………………6 分 a b a b

(3)因为 1 ? a ? b , ma ? mb ,所以 m ? 0 ,

(?)

? ?) 上为增函数, 因为 1 ? a ? b ,且 f ( x) 在[1 ,

所以 ?

? f ( a ) ? ma, ? f (b) ? mb,

…………………………………8 分

? 1 1 ? ? ma , ? ? a 即? ?1 ? 1 ? mb, ? ? b

?ma 2 ? a ? 1 ? 0, ? 所以 ? 2 ? ?mb ? b ? 1 ? 0,

……………………………9 分

所以 a,b 是方程 mx 2 ? x ? 1 ? 0 的两根, 所以 a ? b ?

…………………………11 分

1 1 , ab ? ,……………………………………………………13 分 m m

1 1 1 a?b m ? ? ? ? 1 .………………………………………………………14 分 1 a b ab m

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)

8


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