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三 角 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值


三 角 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值
湖南省南县一中 陈敬波(hncjbcjb@sohu.com)(413200)

三角函数的最值问题是对三角函数的概念、 图象与性质以及诱导公式、 同角间的基本关 系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现.解决三角函数的最值问题可 通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性 或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型. (1) y = a sin x + b (或 y = a cos x + b )型的函数 此类函数利用 sin x ≤ 1 (或 cos x ≤ 1 )即可求解, ymax =| a | +b, ymin = |a|+b, 显然这 里 x∈R . 例 1.求 y = sin x



π

cos x 的最大值与最小值. 6

解:∵ y = sin x



π

1 π π 1 π 1 cos x = sin 2 x sin = sin 2 x , 6 2 6 6 2 6 4

1 1 1 1 1 3 ∴ ymax = × 1 = , ymin = × ( 1) = . 2 4 4 2 4 4
(若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法) 解:

3 1 3 1 3 1 1 + cos 2 x 2 ∵y= 2 sin x 2 cos x cos x = 2 sin x cos x 2 cos x = 4 sin 2 x 2 × 2 =

π 1 3 1 1 1 1 1 1 1 sin 2 x cos 2 x = sin 2 x × cos 2 x = sin 2 x 4 4 4 2 2 2 6 4 4 2

1 1 1 1 1 3 ∴ ymax = × 1 = , ymin = × ( 1) = . 2 4 4 2 4 4
(2) y = a sin x + b cos x 型的函数 此类函数可转化为 a + b sin (α + ) 其中辅助角 所在的象限由 a,b 的符号确定,角 的
2 2

值由 tan = 例 2.当

π
2

b 确定. a ≤x≤

π

2

时,函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x 的(



A. 最大值是1,最小值是-1 B. 最大值是1,最小值是-

1 1 2

C. 最大值是2,最小值是-2 D. 最大值是2,最小值是-1

解析: f ( x ) = sin x + 3 cos x = 2 sin x +



π

. 3



π
2

≤x≤

π
2

,∴

π
6

≤ x+

π
3



∴x+ x+

π
3

=

π
2

,x =

π
6

5π , 6

, f ( x )max = 2, 1 , f ( x )min = 2 × = 1. 2 2

π
3

=

π
6

,x =

π

故选(D) (3) y = a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x 型的函数 此类函数可先降次,再整理转化为 y = A sin (ω x + ) + B 的形式来解决. 例 3.求 y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3cos 2 x 的最小值,并求 y 取最小值时的 x 的集合.
2 2 2 2 2 解:∵ y = sin x + 2sin x cos x + 3cos x = sin x + cos x + 2sin x cos x + 2 cos x

(

)

π = 1 + sin 2 x + (1 + cos 2 x ) = sin 2 x + cos 2 x + = 2 sin 2 x + + 2 , 4
∴ 当 sin 2 x +



π

π π 3π ( k ∈ Z ) 时 ,y 取 最 小 值 = 1 即 2 x + = + 2 k π , x = k π 4 2 8 4

3π 2 + 2, 使 y 取最小值的 x 的集合为 x | x = kπ , k ∈ Z . 8
(4) y = a sin 2 x + b cos x + c 型的函数 此类函数可转化为形如 y = At + Bt + C ( 1 ≤ t ≤ 1) 的二次函数,从而讨论其最值.
2

例 4.求函数 y = cos 2 x 2a sin x a ( a 为定值)的最大值 M. 解: y = cos x 2a sin x a = 1 sin x 2a sin x a = ( sin x + a ) + a a + 1.
2 2 2 2

(

)

令 sin x = t ,则 y = ( t + a ) + a a + 1(| t |≤ 1) . 如下图
2 2

(1)若-a<-1,即 a>1,则当 t=-1 时,有最大值 M=-(-1+a)2+a2-a+1=a; (2)若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1,则当 t=-a 时,有最大值 M=a2-a+1; (3)若-a>1,即 a<-1,则当 t=1 时,有最大值 M=-3a. 注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. (5) y =

a sin x + c 型的函数 b cos x + d

此类函数可转化为 sin ( x + ) = g ( y ) 去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理. 例 5.求下列函数的最大值与最小值.

(1) y =

3 cos x 2 + cos x ; ( 2) y = ( x ∈ R). 2 + sin x 2 cos x

解: (1)原函数可变形为 y sin x + cos x = 3 2 y , 即 sin ( x + ) =

3 2y y2 +1

, 又 | sin ( x + ) |≤ 1



3 2y y +1
2

≤ 1 ( 3 2 y ) ≤ y 2 + 1 3 y 2 12 y + 8 ≤ 0 2
2

2 3 2 3 ≤ y ≤ 2+ . 3 3

故所求最小值与最大值分别为: 2

2 3 2 3 ,2+ . 3 3

(2)原函数可转化为 cos x =

2 ( y 1) 2 ( y 1) ,则 ≤ 1 3 y 2 10 y + 3 ≤ 0, y +1 y +1

解得

1 1 ≤ y ≤ 3,∴ ymin = , ymax = 3. 3 3

(6) 巧用换元法转化为代数函数的最值问题 ① 对 于 含 有 sin x ± cos x, sin x cos x 的 函 数 的 最 值 问 题 , 常 用 的 解 决 方 法 是 令

sin x ± cos x = t , | t |≤ 2 ,将 sin x cos x 转化为 t 的关系式,最终化归为二次函数或其
他函数的最值问题. 例 6.已知 0 < a ≤

2 ,求函数 y = ( sin x + a )( cos x + a ) 的最值

解: y = ( sin x + a )( cos x + a ) = sin x cos x + a ( sin x + cos x ) + a 设 sin x + cos x = t ,则 | t |≤

2

2,sin x cos x =

t 2 1 , 2

∴y =

t 2 1 1 2 + at + a 2 = ( t + a ) + a 2 1 . 2 2 a2 1 1 2 = ;当 t = 2 时, ymax = a + 2a + . 2 2

当 t = a 时, ymin 例 7.求函数 y =

sin 2 x 的最大值与最小值. 1 + sin x cos x sin 2 x 2sin x cos x = 解: ∵ y = 1 + sin x cos x 1 + sin x cos x
令: sin x cos x = t , 则 | t |≤

2 且 t ≠ 1

原函数变为: y =

1 t2 = 1 + t. 1 t

则 y ∈ [1 2, 1) ∪ ( 1,1 + 2].

ymin = 1 2, ymax = 1 + 2.
② 首先利用换元法转化为代数函数 y = ax + 例 8.已知 y = sin x cos x +

b ,再利用函数的单调性求最值. x

1 π , x ∈ 0, ,求 y 的最小值. sin x cos x 2

解析:令 u = sin x cos x = 则y=u+

1 1 π sin 2 x, x ∈ 0, , u ∈ (0, ] 2 2 2

1 1 , u ∈ (0, ]. u 2 1 1 在 u ∈ (0, ] 上是减函数, u 2

由函数的单调性的定义易证 y = u +

∴ ymin =

1 5 +2= . 2 2


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