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吉林省吉林市普通中学2016届高三数学第四次调研测试试题 理

吉林市普通中学 2015—2016 学年度高中毕业班第四次调研测试 数学(理 科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色 字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知集合 A ? { x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0}, B ? { x| x ? 2} ,则 (?R A) ? B ? A. A 2. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限
2

B. ? R A

C. B

D. ? R B

1 ? 2i 所对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标为 A. ( , 0)

1 2

B. ( ?

1 , 0) 2

C.

1 (0, ) 8

D.

1 (0, ? ) 8

?y ?1 ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.4 B.3 C.2 D.1

5. 已知 lg a ? lg b ? 0 ,函数 f ( x ) ? a 与函数 g( x ) ? ? logb x 的图像可能是
x

y

y

y

y

1

1 1

1 1

1 1

O

x

O

x

O

x

O

1

x

A.

B.

C.

D.
-1-

6. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似 两个扣合(牟合)在一起方形伞(方盖) .其直观图如下左图,图中四边形是为体现其 直观性所作的辅助线 , 其实际直观图中四边形不存在, 当其正视图和侧视图完全相同时, 它的正视图 ... 和俯视图分别可能是

a

b

c

d

A. a , b

B. a , c

C. c , b

D. b, d

7. 已知实数 x ??1,2,3,4,5,6,7,8

? ,执行如图所示的

开始 输入x

121 的概率为 程序框图,则输出的 x 不小于 ...
A.

3 4 7 8

B.

5 8 1 2

n=1
n 3?
是 否

C.

D.

x = 3x + 1 n=n+1

输出x 结束

8. 下列命题正确 的个数是: .. 2 ① 对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有 关系”的把握程度越大; ② 在相关关系中,若用 y1 ? c1e
c2 x

拟合时的相关指数为 R12 ,用 y2 ? bx ? a 拟合时的

相关指数为 R2 2 ,且 R12 ? R2 2 ,则 y1 的拟合效 果好; ③ 利用计算机产 生 0~1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为

2 ; 3

④ “ a ? 0, b ? 0 ”是“ A. 1

a b ? ? 2 ”的充分不必要条件. b a
B. 2 C. 3 D. 4

-2-

9. 已知 A ? x1 , y1 ? 是单位圆 O 上任意一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转

? ,与单位圆 O 交于点 3

B ? x2 , y2 ? ,若 x ? my1 ? 2 y2 ? m ? 0? 的最大值为 2 ,则 m 的值为
A.1 10. 过双曲线 C : x 2 ? B.2 C. 2 2 D.3

y2 ? 1(b ? 1) 的左顶点 P 作斜率为 1 的直线 l ,若直线 l 与双曲线 b2

的两条渐近线分别相交于点 Q , R ,且 OP ? OR ? 2OQ (其中 O 为坐标原点) ,则双 曲线的离心率为 A.

??? ? ??? ?

????

5

B.

10

C.

5 2

D.

10 3

11. ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? 且 b sin(

?
4

,a ? 2

?
4

? C ) ? csin(

?
4

? B ) ? a ,则 ?ABC 的面积为

A.

1 8

B.

2 8

C.

1 2

D.

2 2

12. 设函数 f ( x ) 的图像是一条连续不断的曲线,且在实数集 R 上存在导数 f ?( x ) ,对任
2 意的 x ? R 有 f (? x ) ? f ( x ) ? x ,且 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x ) ? x ,

若 f (2 ? a ) ? f (a ) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围是 A.

[1, ?? )

B. ( ?? ,1]

C.

( ?? , 2]

D. [2, ?? )

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个题考生都必须作答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13. 2016 年 1 月 1 日我国全面二孩政策实施后,某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的 调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中,30 岁以下的约 2400 人,30 岁至 40 岁的约 3600 人,40 岁以上的约 6000 人。为了了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显 著差异,该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为 N 的样本进行调查,已知从 30 至 4 0 岁的 女性中抽取的人数为 60 人,则 N ?
-3-

14. 二项式 (

5 2 1 6 x ? ) 展开式中的常数项为 5 x

15. 已知 AB ? BC ? 0 , | AB |? 1,| BC |? 2, AD?DC ? 0 ,则 | BD | 的最大 值为 16. 已知在半径为 2 的球面上有 A, B, C , D 四点,若 AB ? CD ? 2 ,则四面体 ABCD 的 体积的最大值为

???? ????

????

????

???? ????

????

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7 ,且 a2 , a4 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? ( )

1 2

an

,设其前 n 项和为 Sn ,求证:

1 4 ? Sn ? 2 7

18. (本小题满分 12 分) 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处 每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续 5 天的售出和收益情况,如下表: 售出水量 x (单位:箱) 收益 y (单位:元) 7 165 6 142 6 148 5 125 6 150

(Ⅰ) 若某天售出 8 箱水,求预计收益是多少元? (Ⅱ) 期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困 生,规定:特困生考入年级前 200 名,获一等奖学金 500 元;考入年级 201—500 名, 获二等奖学金 300 元;考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名 学生获一等奖学金的概率均为

2 5

,获二等奖学金的概率均为

1 3

,不获得奖学金的概

率均为

4 15

.

⑴ 在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率;
-4-

⑵ 已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所 获得奖学金总金额 X 的分布列及数学期望

?? 附: b

?x y
i ?1 n i

n

i

?nx y
2

?x
i ?1

? ? y ? bx ? , x ? 6, y ? 146, ,a

2 i

? nx

? xi yi ? 4420, ? xi2 ? 182
i ?1 i ?1

5

5

19.(本小题满分 12 分) 梯形 BDEF 所在平面 垂直于平面 ABCD 于 BD , EF // BD , EF ? DE ?

1 BD , 2

BD ? BC ? CD ? 2 AB ? 2 AD ? 2 , DE ? BC
(Ⅰ) 求证: DE ? 平面 ABCD (Ⅱ) 求平面 AEF 与平面 CEF 所成的锐二面角的余弦值
E

F C D

A

B

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知 A1 (?2,0), A2 (2,0), B1 ( x, 2), B2 ( x, ?2), P( x, y) , 若实数 ? 使得 ? 2 OB1 ? OB2 ? A1 P?A2 P ( O 为坐标原点). (Ⅰ) 求点 P 的轨迹 C 的方程,并讨论点 P 的轨迹类型; (Ⅱ) 当 ? ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

2 时,是否存在过点 B(0, 2) 的直线 l 与(Ⅰ)中点 P 的轨迹 C 相交于不同的 2

两点 E , F ( E 在 B , F 之间),且

1 S?BOE ? ? 1 ?若存在,求出该直线的斜率 k 的 2 S?BOF

取值范围;若不存 在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? bx ? a ln x
2

-5-

(Ⅰ) 若 b ? 2 ,函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,证明: f ( x2 ) ? ?

3 ? 2ln 2 ; 4

(Ⅲ) 若对任意 b ? [1, 2] ,都存在 x ? ?1, e ? ( e 为自然对数的底数) ,使得 f ( x ) ? 0 成立, 求实数 a 的取值范围

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知在△ ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,以 C 为圆心, CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于 点 E ,交 AD 于点 F ,交 AE 于点 M ,且 ?B ? ?CAE , FE : FD ? 4 : 3 .
A

(Ⅰ)求证: AF ? DF ; (Ⅱ)求 ?AED 的余弦值;
F M

B

D

C

E

23. (本 小 题 满 分 10 分 )选 修 4—4 坐 标 系 与 参 数 方 程 在直角坐标系中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 ,直线 l 的参数方程为 :
-6-

? 3 x ? 3? t ? ? 2 ( t 为参数),点 A 的极坐标为 (2 3, ? ) ,设直线 l 与 曲 线 C 相 交 于 P , Q 两 点 . ? 6 ?y ? 3? 1t ? ? 2
( Ⅰ) 写 出 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 和 直 线 l 的 普 通 方 程 ; ( Ⅱ) 求 AP ? AQ ? OP ? OQ 的 值

24.

( 本小题 满 分 10 分 ) 选 修 4 — 5: 不 等 式 选 讲

已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式: f ( x ) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ? a f ( ) .

b a

命题、校对:李大博 杨万江 王玉梅 牛国旺 李明玥 孙长青

-7-

吉林市普通中学 2015—2016 学年度高中毕业班第四次调研测试 数学(理科)参考答案及评分标准 评分说明: 1.本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题 ,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解 答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 5 分 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 14. 16. 7 B 8 C 9 B 3 10 B 11 C 12 B

二.填空题:每小题 5 分 13. 200 15. 三.解答题

5

4 3 3

? 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ( d ? ? ) ,由已知得 a? ? a? a? -----------------------2

分 即 (a? ? d ) ? ? (a? ? d )(a? ? ?d ) ,又 a? ? ? , d ? ? ,故 d ? ? ------------------- 4 分 ----------------------- - 6 分

从而 a? ? ? ,数列 {an } 的通项公式 an ? ?n ? ?

? ?n ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ( ) ?
8分

? ? [? ? ( ) n ] ? ----------------------------------, 故 Sn ? ? ? ?? ?


? ? ? ? [? ? ( ) n ] ? ? ? ?
------------------------------------------------------------------------- 10 分 又 bn ? ( ) 12 分

? ?

?n ? ?

? ? ,因此 S n ? S? ?

? ? ? ,故 ? S n ? ? ? ?

--------------------------------

?? 18. 解:(Ⅰ) b

? x y ?5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

2 i

? 5x

2

?

4420 ? 5 ? 6 ?146 ? 20 ??????2 分 182 ? 5 ? 62

? ? y ? bx ? ? 146 ? 20 ? 6 ? 26 ??????3 分 a
?? y ? 20x ? 26
-8-

当 x ? 8 时, ? y ? 20 ? 8 ? 26 ? 186 (元) 即某天售出 8 箱水的预计收益是 186 元??????5 分 (Ⅱ) ⑴设事件 A 为“学生甲获得奖学金”,事件 B 为“学生甲获得一等奖学金”,则

2 P( AB) 5 6 P( B A) ? ? ? P( A) 11 11 15
即学生甲获得奖学金的条件下,获得一等奖学金的概率为 ⑵ X 的取值可能为 0,300,500,600,800,1000

6 ??????7 分 11

4 4 16 ? ? 15 15 225 4 16 1 2 P( X ? 500) ? C2 ? ? 5 15 75 2 4 1 1 P( X ? 800) ? C2 ? ? 3 5 15 即 X 的分布列为 P( X ? 0) ?
X P
0 300 500 600 800

4 8 1 1 P( X ? 300) ? C2 ? ? 3 15 45 1 2 1 P ( X ? 600) ? ( ) ? 3 9 2 4 P( X ? 1000) ? ( ) 2 ? 5 25
1000

16 225

8 45

16 75

1 9

4 15

4 25
??????10 分

X 的数学期望 6 8 16 1 4 4 E( X ) ? 0 ? ? 300 ? ? 500 ? ? 600 ? ? 800 ? ? 1000 ? ? 600 225 45 75 9 15 25
(元)??????12 分 19. 解:(Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O

? BD ? BC ? CD 且 AB ? AD,? AC ? BD
由于平面 BDEF ? 平面 ABCD ,交线为 BD ,且 AC ? 平面 ABCD ? AC ? 平面 BDEF ? DE ? 平面 BDEF ,? DE ? AC 又? DE ? BC 且 AC ? BC ? C ,? DE ? 平面 ABCD ??????6 分 (Ⅱ)? EF / / BD, EF ?

z

1 BD, 且 O 是 BD 中点,? ODEF 是平行四边形 2

?OF / / DE,?OF ? 平面 ABCD ??????8 分
分别以 OA, OB, OF 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系

O
y

x A(1,0,0),C(? 3,0,0), E(0, ?1,1), F(0,0,1) ?? ??? ? ?? ? ?m?AF ? 0 ?? 设平面 AEF 的法向量 m ? ( x, y, z) ,由 ? ?? ??? 得 m ? (1,0,1) ??????9 分 ? ? ?m?EF ? 0

-9-

? ??? ? ? ? n ? CF ?0 ? ? 设平面 CEF 的法向量 n ? ( x, y, z) ,由 ? ? ??? 得 n ? (1,0, ? 3) ??????10 分 ? n ? EF ? 0 ? ? ?? ? ?? ? m?n 2? 6 ? cos ? m, n ?? ?? ? ? 4 m n
即平面 AEF 与平面 CEF 所成的锐二面角的余弦值为 20.解:解:(Ⅰ) OB1 ? OB2 ? x2 ? 4, A1P?A2 P ? x2 ? 4 ? y2 由已知得: ? 2 ( x2 ? 4) ? x2 ? 4 ? y 2 , 即 (1 ? ? 2 ) x2 ? y 2 ? 4(1 ? ? 2 ) 为点 P 的轨迹 C 的方程 ①_x0001_ ②_x0001_ ??????2 分 ??????3 分 ??????4 分

6? 2 4

??????12 分

???? ???? ?

???? ???? ?

当 ? ? ?1 时,方程为 y ? 0 ,轨迹 C 为一条直线 当 ? ? 0 时,方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,轨迹 C 为圆 当 ?1 ? ? ? 0 或 0 ? ? ? 1 时 , 方 程 为

③_x0001_

x2 y2 ? ?1 , 轨 迹 C 为 椭 4 4(1 ? ? 2 )

圆??????5 分 ④_x0001_ 线 (Ⅱ)当 ? ? 当 ? ? ?1 或 ? ? 1 时 , 方 程 为

x2 y2 ? ?1 , 轨 迹 C 为 双 曲 4 4(? 2 ? 1)

??????6 分

2 x2 y 2 ? ? 1 ??????7 分 时,点 P 的轨迹 C 的方程为 4 2 2

设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 )

?

x S?BOE 1 x1 ? ? 1 , 由 题 意 可 得 x1 , x2 同 号 ? 1 , 即 2 x2 S?BOF x2

?

1 x1 ? 2 x2

?????8 分 1?

由题意得直线 EF 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 2

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 4 ? 0 ?1 ? ? ?4 2

? ? 64k 2 ?16(1 ? 2k 2 ) ? 0 ,? k 2 ?

1 8k 4 , x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ??????9 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
- 10 -



8k 4 x1 2 , mx2 ? ? m ,则 (m ? 1) x2 ? ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 x2

? (m ? 1)2

(m ? 1)2 16k 2 4 64k 2 ? ? ? m 1 ? 2k 2 m(1 ? 2k 2 ) (1 ? 2k 2 )2

1 1 9 (m ? 1) 2 1 ? m ? ? 2 ,? ? m ? 1 ,? 4 ? m ? ? 2 ? 2 m 2 m m
即? 4 ?

16k 2 9 1 9 ? ,? ? k 2 ? 2 1 ? 2k 2 2 14

?k ? (

2 3 14 3 14 2 , ) ? (? ,? ) 为所求??????12 分 2 14 14 2

2 21.( Ⅰ) 由 已 知 , b ? 2 时 , f (x)? x ? 2 x ? a lnx, f (x) 的 定 义 域 为 ? 0, ???

求 导 数 得 : f ?(x) ? 2 x ? 2 ?

a 2x2 ? 2x ? a ? x x

? f (x) 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 , f ?(x) ? 0 有 两 个 不 同 的 正 根 x1 , x2 ,
2 故 2 x ? 2 x ? a ? 0 的 判 别 式 ? ? 4 ? 8a ? 0 , 即 a ?

1 2

且 x1 ? x2 ? 1 , x1 x2 ? (Ⅱ)由( Ⅰ) 得 ,

a ? 1? ? 0 , 所 以 a 的 取 值 范 围 为 ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 2 ? 2?

1 2 ? x2 ? 1 且 f ?(x 2 ) ? 0 , 得 a ? 2x2 ? 2x2 2

2 2 ? f (x2 ) ? x2 ? 2x2 ? (2x 2 ? 2x 2 )lnx 2

令 F(t) ? t ? 2t ? (2 t ? 2 t ) lnt, (
2 2

1 ? t ? 1) 2

则 F?(t) ? 2(1 ? 2 t) lnt 当 t ? ? ,1? 时 , F? (t)? 0 , ? F (t) 在 ? ,1? 上 是 增 函 数

?1 ? ?2 ?

?1 ? ?2 ?

1 ?3 ? 2 ln 2 3 ? 2 ln 2 ? F (t) ? F ( ) ? , ? f (x 2 ) ? F (x 2 ) ? ? ????????7 分 2 4 4
(Ⅲ)令 g(b) ? ?xb ? x ? a ln x, b ??1,2?
2

由 于 x ? ?1, e ? ,所以 g (b) 为关于 b 的递减的一次函数 根据题意,对任意 b ??1, 2? ,都存在 x ? ?1, e ? ( e 为自然对数的底数) ,使得 f ( x) ? 0 成立
- 11 -

则 x ? ?1, e ? 上 gmax (b) ? g(1) ? ? x ? x2 ? a ln x ? 0 有 解 令 h(x) ? ? x ? x2 ? a ln x , 则 只 需 存 在 x0 ? ?1, e? 使得 h(x0 ) ? 0 即可 由于 h?(x) ?

2x2 ? x ? a ,令 ?(x) ? 2x 2 ? x ? a, x ? ?1, e ? , ? ?(x) ? 4 x ? 1 ? 0 x

?? (x) 在 ?1, e ? 上单调递增,?? (x) ? ? (1) ? 1 ? a
①_x0001_ 当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时, ? (x) ? 0,? h?(x) ? 0

? h(x) 在 ?1, e ? 上是增函数,? h(x) ? h(1) ? 0 ,不符合题意
②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时, ? (1) ? 1 ? a ? 0,
2

? (e) ? 2e2 ? e ? a

(ⅰ)若 ? (e) ? 0 ,即 a ? 2e ? e ? ?1 时,在 x ? ?1, e ? 上 ? (x) ? 0 恒成立 即 h?(x) ? 0 恒成立,? h(x) 在 ?1, e ? 上单调递减,

? 存在 x0 ? ?1, e? 使得? h(x 0 ) ? h(1) ? 0 ,符合题意
(ⅱ)若 ? (e) ? 0 ,即 2e ? e ? a ? ?1 时,在 ?1, e ? 上存在实数 m ,使得 ? (m) ? 0
2

? 在 ?1, m? 上, ? (x) ? 0 恒成立,即 h?(x) ? 0 恒成立
? h(x) 在 ?1, e ? 上单调递减,

? 存在 x0 ? ?1, e? ,使得 h(x 0 ) ? h(1) ? 0 符合题意
综上所述, 当 a ? ?1 时, 对任意 b ??1, 2? , 都存在 x ? ?1, e ?( e 为自然对数的底数) , 使得 f ( x) ? 0 成立 ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 22.(Ⅰ)证明: ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵∠B=∠CAE, ∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE. ∵∠ADE=∠BAD+∠B, ∴∠ADE=∠DAE. ∴EA=ED. ∵DE 是半圆 C 的直径, ∴∠DFE=90°. ∴AF=DF. ??????5 分 (Ⅱ)解:连结 DM, ∵DE 是半圆 C 的直径, ∴∠DME=90°. ∵FE∶FD=4∶3, ∴可设 FE=4x,则 FD=3x.
- 12 -

由勾股定理,得 DE=5x. ∴AE=DE=5x,AF=FD=3x. 由切割线定理的推论,得 AF*AD=AM*AE. ∴3x(3x+3x)=AM*5x. ∴ AM ?

18 18 7 x . ∴ ME ? AE ? AM ? 5 x ? x ? x . 5 5 5

7 x ME 5 7 在 Rt△DME 中,cos∠AED= . ??????10 分 ? ? DE 5x 25
23. 解: ( Ⅰ) 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ??????2 分 直 线 l 的 普 通 方 程 为 x ? 3 y ? 0 ??????4 分 ( Ⅱ) 点 A 的直角坐标为 (3, 3 ),设点 P, Q 对应的参数分别为 t1 , t2 ,点 P, Q 的极坐标分别为

( ?1 , ), ( ? 2 , ) 6 6

?

?

? 3 x ? 3? t ? ? 2 2 2 2 将? ( t 为参数)与 ( x ? 2) ? y ? 3 联 立 得 : t ? 2 3t ? 1 ? 0 ?y ? 3 ? 1 t ? 2 ?
由 韦 达 定 理 得 : t1t2 ? 1 , AP AQ ? 1 ??????6 分 将直线的极坐标方程 ? ?

?
6

( ? ? R ) 与 圆 的 极 坐 标 方 程 ? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 联 立 得 :

? 2 ? 2 3? ? 1 ? 0 , 由 韦 达 定 理 得 : ?1?2 ? 1 , 即 OP ? OQ ? 1 ??????8 分
所 以 , AP ? AQ? OP ? OQ ?
1 2

t t? 1? 2 ? 1??????10 分

? ?-2x-2,x≤-3, -3≤x≤1, 24. 解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? ?2x+2, x≥1.
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( ????4 分 ????5 分 ????6 分
- 13 -

b )即|ab-1|>|a-b|. a

因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. ????10 分
2 2 2 2 2 2 2 2

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